2022屆黑龍江省雙鴨山市第一中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析

這是一份2022屆黑龍江省雙鴨山市第一中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析，共17頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022屆黑龍江省雙鴨山市第一中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，則A． B．C． D．【答案】B【詳解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，從而求得集合A，之后根據(jù)集合補(bǔ)集中元素的特征，求得結(jié)果.詳解：解不等式得，所以，所以可以求得，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)一元二次不等式的解法以及集合的補(bǔ)集的求解問題，在解題的過程中，需要明確一元二次不等式的解集的形式以及補(bǔ)集中元素的特征，從而求得結(jié)果.2．若對數(shù)有意義，則實數(shù)a的取值范圍為（       ）A．（-∞，3） B．C．∪（1，+∞） D．∪（1，3）【答案】D【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可列不等式，求解不等式即可【詳解】由已知，得且，故選：D.3．已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(diǎn)(3，)，則f(x)（       ）A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)【答案】D【分析】利用冪函數(shù)的定義求得指數(shù)的值，得到冪函數(shù)的解析式，進(jìn)而結(jié)合冪函數(shù)的圖象判定單調(diào)性和奇偶性【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得，解得，∴，函數(shù)的定義域為,是非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故選：D.4．設(shè)，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較與中間量0和1,，的大小即可得答案【詳解】解：因為在上為減函數(shù)，且，所以，即，因為在上遞增，且，所以，即，因為，所以，故選：B5．在，其內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則的形狀是（       ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．.等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理邊角互化得，進(jìn)而移項整理得，再結(jié)合得或，進(jìn)而得答案.【詳解】解：根據(jù)正弦定理邊角互化得，所以，所以，所以，即，所以或，所以或，即的形狀是等腰或直角三角形.故選：D6．函數(shù)的部分圖像如圖所示，圖像與y軸交于M點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)N在圖像上，且點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是（       ）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱C．函數(shù)在單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移后，圖像關(guān)于y軸對稱【答案】B【分析】因為點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求得，結(jié)合圖象求得函數(shù)的周期，可判定A錯誤；將代入的解析式，求得，再由對稱軸的特征，可判定B正確；求得在遞減，在遞增，可判定C錯誤；由三角函數(shù)的圖象變換，得到，可判定D錯誤.【詳解】因為點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，可得的坐標(biāo)為，由圖象可得函數(shù)的最小正周期為，所以A錯誤；由，可得，代入，可得，解得，可取，即，因為，所以的圖像關(guān)于軸對稱，故B正確；由圖象可得在遞減，在遞增，則在遞減，在遞增，所以C錯誤；函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得，再向右平移個單位，可得，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以D錯誤.故選：B.7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖象知是奇函數(shù)且當(dāng)時，結(jié)合各選項的解析式，利用奇偶性定義排除偶函數(shù)選項及的選項即可.【詳解】由圖象知：是奇函數(shù)，而，即為偶函數(shù)，排除A；同理B中也是偶函數(shù)，排除；當(dāng)時，由圖知，而且，此時，故排除C.故選：D8．已知函數(shù)，和的圖像圍成的一個封閉的平面圖形的面積是（　?。?/span>A． B． C．4 D．2【答案】A【分析】畫出圖形，結(jié)合定積分的幾何意義，列出積分式，即可求解.【詳解】畫出函數(shù)的圖象與直線圍成的一個封閉的平面圖形，如圖所示，根據(jù)定積分的幾何意義，可得封閉圖形的面積為：.故選：A.9．已知，，，均為銳角，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用同角基本關(guān)系式求和，再利用角的變換的值.【詳解】是銳角，，，，，且，，， .故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查角的變換求三角函數(shù)值，本題的關(guān)鍵是角的變換，即變形，即求的值.10．已知函數(shù)，若存在，使，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)對稱性可以知道，結(jié)合圖象可得到，進(jìn)而得到，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步判定,從而根據(jù)在時,根據(jù)其單調(diào)性和已經(jīng)得到的的范圍得到結(jié)論.【詳解】作出的大致圖象如下：由圖可知，令，得，所以，則．因為，所以，又當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，故選:D．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求范圍問題，涉及分段函數(shù)的圖象，指數(shù)型函數(shù)圖象和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬綜合題，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，函數(shù)的圖象的對稱性和單調(diào)性的應(yīng)用.11．已知函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)為，滿足（為自然對數(shù)的底數(shù)），且，則（       ）A． B．在處取得極小值C．在取得極大值 D．【答案】B【分析】設(shè)對其求導(dǎo)可得，因此設(shè)可得，由可得的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性得極值可判斷A、D，利用單調(diào)性比較大小可判斷B、C，進(jìn)而可得正確選項.【詳解】設(shè)，則，所以，可得，所以，，所以，所以，由可得，由可得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， 對于A和D：因為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，，，所以，故選項A、D不正確；對于B和C：因為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在處取得極小值，故選項B正確，選項C不正確；故選：B.12．對函數(shù)，有下列個命題：①任取，，都有恒成立；②對于一切恒成立；③對任意不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是；④函數(shù)有個零點(diǎn)；則其中所有真命題的序號是（       ）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】由題意分析條件函數(shù)定義域為，以2為變化區(qū)間的正弦圖像，當(dāng)時，后面每一個周期的振幅都是前一個周期的，做出函數(shù)的圖像即可判斷。【詳解】①任取當(dāng)時當(dāng)時，綜上，任取，恒成立，正確；② 對一切恒成立，不正確；③ ，不等式恒成立則當(dāng) 則所以的取值范圍不是，不正確；④函數(shù)的定義域為當(dāng)時，分別作出和的圖像，如圖所示 則有三個零點(diǎn)，正確；故選：B【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)分段函數(shù)和周期性，函數(shù)不等式的恒成立，零點(diǎn)個數(shù)等問題，注意采用數(shù)形結(jié)合的方法解題，屬于較難題目。 二、填空題13．把圖象向左平移個單位，所得函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是_____．【答案】【分析】先求出平移后的函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的奇偶性列式可解得結(jié)果.【詳解】把圖象向左平移個單位，所得函數(shù)為，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，即，，因為，所以的最小值為.故答案為：14．函數(shù)既有極大值，又有極小值，則的取值范圍是_________．【答案】【分析】本題首先可通過求導(dǎo)得出，然后根據(jù)題意得出，最后通過計算即可得出結(jié)果.【詳解】，，因為函數(shù)既有極大值，又有極小值，所以，即，，解得或，故的取值范圍為，故答案為：.15．已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)的最小值是__________.【答案】【分析】由恒成立，得，得是函數(shù)的周期，利用的正周期計算出值，但需驗證．【詳解】，，即，，是的周期，又的最小正周期是，所以，， 此時，故答案為：．16．已知定義在上的偶函數(shù)在上遞減，若對，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【分析】本題首先可根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)單調(diào)性得出，則且，再然后設(shè)、，最后通過求導(dǎo)得出、的最值，即可得出結(jié)果.【詳解】因為定義在上的偶函數(shù)在上遞減，所以在上遞增，因為，所以即，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性易知，即，整理得且，因為對恒成立，所以且對同時恒成立，設(shè)，則，易知在上遞增，在上遞減，，設(shè)，則，故在上遞減，，綜上所示，的取值范圍是，故答案為：. 三、解答題17．已知函數(shù)（I）求的值（II）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.【分析】（Ⅰ）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．（Ⅱ）直接利用函數(shù)的關(guān)系式，求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．【詳解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，＝﹣cos2xsin2x，＝﹣2，則f（）＝﹣2sin（）＝2，（Ⅱ）因為．所以的最小正周期是．由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，解得，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，以及函數(shù)的性質(zhì)，是高考中的常考知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)的重要性；三角函數(shù)解答題中，涉及到周期，單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間以及最值等考點(diǎn)時，都屬于考查三角函數(shù)的性質(zhì)，首先應(yīng)把它化為三角函數(shù)的基本形式即，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．18．已知函數(shù)(，)的圖象關(guān)于直線對稱，兩個相鄰的最高點(diǎn)之間的距離為．（1）求的解析式；（2）在△中，若，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意可求正弦函數(shù)的周期，利用周期公式可求ω，由圖象關(guān)于直線對稱，可求，結(jié)合范圍，可求，即可求得函數(shù)解析式．（2）由已知可求，結(jié)合范圍A+∈（π，），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（A+），根據(jù)兩角差的正弦函數(shù)公式可求sinA的值．【詳解】（1）∵函數(shù)（ω＞0，）的圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為2π，∴函數(shù)的周期T＝2π，∴＝2π，解得ω＝1，∴f（x）＝sin（x+φ），又∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱，∴，k∈Z，∵，∴＝，∴f（x）＝sin（x+）．（2）在△ABC中，∵，A∈（0，π），∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查由的部分圖象確定其解析式，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19．如圖，在中，的垂直平分線交邊于點(diǎn)．（1）求的長；（2）若，求的值．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）在中，利用余弦定理可求出的長；（2）由（1）可得，在中，由余弦定理求出，再利用正弦定理可求出的值【詳解】解：（1）在中，，整理得，即，所以或．（2）因為，由（1）得，所以．在中，由余弦定理得．所以．由，得．在中，由正弦定理得，即，所以．20．已知在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且（1）求角大??；（2）當(dāng)時，求的取值范圍．【答案】（1 （2）【詳解】（1）由已知及余弦定理，得因為為銳角，所以（2）由正弦定理，得，由得21．已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)在上的最值；（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）當(dāng)，；當(dāng)，；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）求得函數(shù)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，得到在的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值；（Ⅱ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分，和三種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)，最大值為；當(dāng)，最小值為.（Ⅱ）令，則，①時，，函數(shù)在遞減，，此時不等式不成立；②時，，函數(shù)在遞增，，此時不等式成立；③時，存在，使得，則函數(shù)在遞增，在遞減，所以成立，此時能使得不等式成立，綜上可知，實數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值，以及利用導(dǎo)數(shù)求解不等式的能成立問題，其中解答中熟練利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值，合理判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.22．已知函數(shù)，.（1）若恒成立，求實數(shù)的值；（2）存在，且，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）首先將題意轉(zhuǎn)化為恒成立，令，再分類討論求出的最小值，即可得到答案.（2）首先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和，得到，要證明只需證明，即證成立，再利用換元法構(gòu)造函數(shù)證明即可.【詳解】（1）恒成立，即恒成立，等價于恒成立.令，則，①當(dāng)時，，為增函數(shù)，且，則時，，不符合題意，舍去.②當(dāng)時，，，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以，在處取極小值也是最小值，所以，即恒成立.令，則，，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，所以，故.又因為恒成立，所以.（2）因為，令，解得.，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，且.因為，所以令，即，，所以，，所以，即.要證成立，只需證：成立，即證：成立，等價于證明：成立，即證明：成立.令，即證：成立.令，則.所以在為增函數(shù)，所以，即有所以，即證.【點(diǎn)睛】本題第一問考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，第二問考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，同時考查了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想，屬于難題.