南京市2023屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研數(shù)  學(xué)2022.09一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1. 設(shè)集合，，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】B2. 已知復(fù)數(shù)，其中為敘述單位，則的值為（）A.  B.  C. 3 D. 5【答案】D3. 已知隨機(jī)變量，則的值約為（）附：若，則，，A.  B.  C.  D. 【答案】A4. 若直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則實(shí)數(shù)的值為（）A. 0 B.  C.  D. 【答案】C5. 阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專(zhuān)業(yè)工程裝置．我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱(chēng)為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖1由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移y(m)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為，且，，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為（）
 A.  B.  C.  D. 【答案】D6. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為（）A.  B.  C.  D. 【答案】A7. 已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點(diǎn)，則三棱錐P-ABE外接球的表面積為（）A.  B.  C.  D. 【答案】B 8. 已知函數(shù)，任意，滿(mǎn)足，且，則的值為（）A.  B. 0 C. 2 D. 4【答案】C二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不選或有錯(cuò)選的得0分．9. 已知是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中，的充分條件有（）A.  B. C.  D. 【答案】BC10. 已知，則（）A.  B. C.  D. 【答案】AC 11. 已知直線(xiàn)，點(diǎn)，圓心為的動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切，則（）A. 點(diǎn)的軌跡為拋物線(xiàn)B. 圓面積最小值為C. 當(dāng)圓被軸截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，圓的半徑為D. 存在點(diǎn)，使得，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)【答案】ACD12. 已知函數(shù)，則（）A. 在上單調(diào)遞增 B. 存在，使得函數(shù)為奇函數(shù)C. 函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn) D. 任意，【答案】ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．13. 展開(kāi)式中的系數(shù)為__________．【答案】14.14. 雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P，Q在雙曲線(xiàn)上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．若，則的面積為______________．【答案】415. 如圖是構(gòu)造無(wú)理數(shù)的一種方法：線(xiàn)段；第一步，以線(xiàn)段為直角邊作直角三角形，其中；第二步，以為直角邊作直角三角形，其中；第三步，以為直角邊作直角三角形，其中；．．．，如此延續(xù)下去，可以得到長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的一系列線(xiàn)段，如，，．．．，則____________．
 【答案】16. 若函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________．【答案】 四、解答題：本大題共6小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}-卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17. 在平面四邊形ABCD中，∠ABD=45°，AB=6，AD=，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)E，且AE=EC，DE=2BE．（1）求的長(zhǎng)；（2）求cos∠ADC的值．【答案】（1）（2） 18. 已知數(shù)列中，，且數(shù)列為等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得的首項(xiàng)與公差，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式，再利用累加法求解即可；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求和證明即可.【小問(wèn)1詳解】，所以時(shí)，，所以【小問(wèn)2詳解】，所以19. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．
 （1）求證：PA∥平面MBD；（2）若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，結(jié)合中位線(xiàn)的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求的兩平面的法向量，由向量夾角的計(jì)算公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，可知O為AC中點(diǎn)，M為PC中點(diǎn)，所以OM∥PA，且平面，平面，所以PA∥平面MBD.【小問(wèn)2詳解】由題意可得平行四邊形ABCD為菱形，建立如圖坐標(biāo)系，如下圖：在菱形ABCD，AB=AD= 2，∠BAD=120°，，所以：，所以，，，，設(shè)平面MBA的法向量，則，得，令，則則面MBA的法向量，同理可得：平面MDA的法向量，所以，所以故二面角的正弦值為.20. 某高校男、女學(xué)生人數(shù)基本相當(dāng)，為了解該校英語(yǔ)四級(jí)考試情況，隨機(jī)抽取了該校首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試的男、女各50名學(xué)生的成績(jī)，情況如下表： 合格不合格男生3515女生455 （1）是否有99%的把握認(rèn)為該校首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試的學(xué)生能否合格與性別有關(guān)？（2）從這50名男生中任意選2人，求這2人中合格人數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（3）將抽取的這100 名學(xué)生合格的頻率視為該校首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試的每位學(xué)生合格的概率．若學(xué)生首次考試不合格，則經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的努力，第二次參加考試合格的概率會(huì)增加0.1．現(xiàn)從該校學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生，求至多兩次英語(yǔ)四級(jí)考試后，這兩人全部合格的概率．參考公式和數(shù)據(jù)：，．附表： 【答案】（1）沒(méi)有99%的把握認(rèn)為該校首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試的學(xué)生能否合格與性別有關(guān)；（2）分布列見(jiàn)解析；期望為（3）0.9604【解析】【分析】(1)由條件計(jì)算，再比較其與臨界值的大小，并作出判斷；(2)由條件確定的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望；(3)根據(jù)概率乘法公式和概率加法公式求對(duì)應(yīng)事件的概率.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>，又，，，，所以，又，，所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為該校首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試的學(xué)生能否合格與性別有關(guān)；【小問(wèn)2詳解】由已知的取值有0，1，2，，，，所以概率分布為：012所以；【小問(wèn)3詳解】由已知該校學(xué)生首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試成績(jī)合格的概率為，首次不合格第二次合格的概率為，所以?xún)晌煌瑢W(xué)都首次參加英語(yǔ)四級(jí)考試成績(jī)合格的概率為，即，兩位同學(xué)其中一位首次合格，另一位同學(xué)首次不合格，第二次合格的概率為，即，兩位同學(xué)都首次不合格，第二次都合格的概率為，即，所以至多兩次英語(yǔ)四級(jí)考試后，這兩人全部合格的概率為. 21. 已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P(0，2)的動(dòng)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)A恰好為線(xiàn)段PF中點(diǎn)．（1）求p的值；（2）是否存在定點(diǎn)T，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及該常數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在；，   22. 已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若任意，，求a的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間（2） 
 

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