?2022-2023學(xué)年廣西南寧市青秀區(qū)銀海三雅學(xué)校九年級(jí)（上）
開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（附答案與詳細(xì)解析）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．（3分）2022的倒數(shù)是（　?。?br /> A．﹣2022 B．2022 C． D．﹣
2．（3分）剪紙是我國(guó)特別悠久的民間藝術(shù)形式之一，它是人們用祥和的圖案期望吉祥、幸福的一種寄托．下列剪紙圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
3．（3分）為響應(yīng)習(xí)近平總書(shū)記“堅(jiān)決打贏關(guān)鍵核心技術(shù)攻堅(jiān)戰(zhàn)”的號(hào)召，某科研團(tuán)隊(duì)最近攻克了7nm的光刻機(jī)難題，其中1nm＝0.000000001m，則7nm用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．7×10﹣9m B．0.7×10﹣9m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣8m
4．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后可得（　?。?br /> A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝4 C．（x﹣6）2＝5 D．（x﹣6）2＝31
5．（3分）為考察甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對(duì)這四名同學(xué)的四次測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的平均數(shù)與方差為：
＝＝85，＝＝88，S＝S＝0.5，S乙2＝S丙2＝4.5，則成績(jī)又高又穩(wěn)定的是（　?。?br /> A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）△ABC的兩邊是方程組的解，第三邊長(zhǎng)為整數(shù)，符合條件的三角形有（　?。?br /> A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
7．（3分）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC，∠EOC＝110°，則∠BOC的度數(shù)是（　?。?br />
A．115° B．125° C．135° D．145°
8．（3分）已知點(diǎn)A（3，m+4）在x軸上，點(diǎn)B（2n﹣5，4）在y軸上，則點(diǎn)C（m，n）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BA交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交AC于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，DE是⊙O的直徑，連接BD．若∠BCD＝2∠BAD，則∠BDE的度數(shù)是（　?。?br />
A．25° B．30° C．32.5° D．35°
11．（3分）如圖，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，MP⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，則PQ的最小值是（　?。?br />
A． B．3 C． D．
12．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為直線x＝2，結(jié)合圖象分析如下結(jié)論：①abc＞0；②b+3a＜0；③當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；④若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則點(diǎn)E（k，b）在第四象限．其中正確的有（　?。?br />
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
二.填空題（本題共計(jì)6小題，每題2分，共計(jì)12分）
13．（2分）3的平方根等于 　 　．
14．（2分）分式的值為0，則x＝　 ?。?br /> 15．（2分）因式分解：2ax2﹣2a＝　 ?。?br /> 16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，點(diǎn)D到AB的距離DE＝3cm，則AC等于 　 　cm．

17．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣2，3）繞點(diǎn)（0，2）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的點(diǎn)的坐標(biāo)是 　 ?。?br /> 18．（2分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4．E、F分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，連接AF、DE，點(diǎn)N、M分別為AF、DE的中點(diǎn)，連接MN，則MN的長(zhǎng)度為 　 ?。?br />
三.解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分）
19．（6分）計(jì)算：+|1﹣|+﹣（﹣1）2022．
20．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
21．（10分）（1）如圖①，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求證：AB＝AC．
（2）如圖②，A為⊙O上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：
①連接OA；
②以點(diǎn)A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑作弧，交⊙O于點(diǎn)B；
③在射線OB上截取BC＝OA；
④連接AC．
若AC＝3，求⊙O的半徑．

22．（10分）在信息快速發(fā)展的社會(huì)，“信息消費(fèi)”已成為人們生活的重要部分．某社區(qū)隨機(jī)抽取了部分家庭，調(diào)查他們每月用于“信息消費(fèi)”的金額x（單位：元），將數(shù)據(jù)分組如下：A.10≤x＜100；B.100≤x＜200；C.200≤x＜300；D.300≤x＜400；E．x≥400，并將數(shù)據(jù)整理成如圖所示的不完整統(tǒng)計(jì)圖．已知A，B兩組戶數(shù)在頻數(shù)分布直方圖中的高度比為1：5．

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題．
（1）A組的頻數(shù)是 　 　，本次調(diào)查的樣本容量是 　 ?。?br /> （2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖（需標(biāo)明各組頻數(shù)）．
（3）所抽取的家庭中每月用于“信息消費(fèi)”的金額不少于200元的有多少戶？占所抽取家庭的百分之幾？
23．（10分）為落實(shí)“雙減”政策，豐富課后服務(wù)的內(nèi)容，某學(xué)校計(jì)劃到甲、乙兩個(gè)體育專賣店購(gòu)買一批新的體育用品，兩個(gè)商店的優(yōu)惠活動(dòng)如下：
甲：所有商品按原價(jià)8.5折出售；
乙：一次購(gòu)買商品總額不超過(guò)300元的按原價(jià)付費(fèi)，超過(guò)300元的部分打7折．
設(shè)需要購(gòu)買體育用品的原價(jià)總額為x元，去甲商店購(gòu)買實(shí)付y甲元，去乙商店購(gòu)買實(shí)付y乙元，其函數(shù)圖象如圖所示．
（1）分別求y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）兩圖象交于點(diǎn)A，求點(diǎn)A坐標(biāo)；
（3）請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出選擇去哪個(gè)體育專賣店購(gòu)買體育用品更合算．

24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在邊BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)頂點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若AC＝，求圖中陰影部分的面積．

25．（10分）如圖，直線y＝x﹣3交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）將拋物線y＝ax2+4x+c向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，連結(jié)AD，BD，若S△ABD＝2，求m的值．

26．（10分）如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE，點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)．
（1）觀察猜想
圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是 　 　，∠MNP的大小為 　 ??；
（2）探究證明
把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，判斷△MNP的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）拓展延伸
將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝2，AB＝6，請(qǐng)直接寫(xiě)出△MNP面積的最大值．


2022-2023學(xué)年廣西南寧市青秀區(qū)銀海三雅學(xué)校九年級(jí)（上）
開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．（3分）2022的倒數(shù)是（　?。?br /> A．﹣2022 B．2022 C． D．﹣
【分析】倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．
【解答】解：2022的倒數(shù)是，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了倒數(shù)，掌握倒數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
2．（3分）剪紙是我國(guó)特別悠久的民間藝術(shù)形式之一，它是人們用祥和的圖案期望吉祥、幸福的一種寄托．下列剪紙圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C．是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
3．（3分）為響應(yīng)習(xí)近平總書(shū)記“堅(jiān)決打贏關(guān)鍵核心技術(shù)攻堅(jiān)戰(zhàn)”的號(hào)召，某科研團(tuán)隊(duì)最近攻克了7nm的光刻機(jī)難題，其中1nm＝0.000000001m，則7nm用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．7×10﹣9m B．0.7×10﹣9m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣8m
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【解答】解：7nm＝0.000000007m，
則7nm用科學(xué)記數(shù)法表示為7×10﹣9m．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后可得（　?。?br /> A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝4 C．（x﹣6）2＝5 D．（x﹣6）2＝31
【分析】根據(jù)解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝﹣5+9，
（x﹣3）2＝4，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）為考察甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對(duì)這四名同學(xué)的四次測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的平均數(shù)與方差為：
＝＝85，＝＝88，S＝S＝0.5，S乙2＝S丙2＝4.5，則成績(jī)又高又穩(wěn)定的是（　?。?br /> A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比較平均數(shù)，再比較方差即可．
【解答】解：因?yàn)椋剑?5，＝＝88，
所以乙和丁的成績(jī)相等且較高，
又因?yàn)镾＝S＝0.5，S乙2＝S丙2＝4.5，
所以丁的方差比乙小，
所以成績(jī)又高又穩(wěn)定的是?。?br /> 故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差的意義及算術(shù)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是方差的意義．
6．（3分）△ABC的兩邊是方程組的解，第三邊長(zhǎng)為整數(shù)，符合條件的三角形有（　?。?br /> A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【分析】首先求出x，y的值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系：①任意兩邊之和大于第三邊；②任意兩邊之差小于第三邊，即可得出第三邊的取值范圍，即可得出答案．
【解答】解：方程組的解為：，
∵△ABC的兩邊是方程組的解，第三邊長(zhǎng)為整數(shù)，
∴2＜第三邊長(zhǎng)＜6，
∴第三邊長(zhǎng)可以為：3，4，5．
∴這樣的三角形有3個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC，∠EOC＝110°，則∠BOC的度數(shù)是（　?。?br />
A．115° B．125° C．135° D．145°
【分析】根據(jù)平角的定義，角平分線以及對(duì)頂角的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠EOC＝110°，
∴∠DOE＝180°﹣∠EOC＝70°，
又∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE＝∠EOC＝55°，
∴∠BOC＝∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝55°+70°＝125°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角以及角平分線的定義，理解角平分線的定義以及對(duì)頂角相等是解決問(wèn)題的前提．
8．（3分）已知點(diǎn)A（3，m+4）在x軸上，點(diǎn)B（2n﹣5，4）在y軸上，則點(diǎn)C（m，n）在（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用x軸以及y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)得出m，n的值，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵點(diǎn)A（3，m+4）在x軸上，點(diǎn)B（2n﹣5，4）在y軸上，
∴m+4＝0，2n﹣5＝0，
解得m＝﹣4，n＝，
則點(diǎn)C（m，n）在第二象限．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BA交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交AC于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AD的長(zhǎng)，再求出EC的長(zhǎng)，即可確定AE的長(zhǎng)．
【解答】解：∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥BA，
∴∠BAD＝90°，
設(shè)AD＝x，則BD＝2x，
根據(jù)勾股定理，可得62+x2＝（2x）2，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴AD＝，
∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠C＝∠DAC，
∴DC＝AD＝，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
設(shè)ED＝m，則EC＝2m，
根據(jù)勾股定理，得，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去），
∴EC＝2m＝4，
∴AE＝6﹣4＝2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，DE是⊙O的直徑，連接BD．若∠BCD＝2∠BAD，則∠BDE的度數(shù)是（　?。?br />
A．25° B．30° C．32.5° D．35°
【分析】連接BE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BCD+∠BAD＝180°，根據(jù)題意求出∠BAD＝60°，根據(jù)圓周角定理得到∠BED＝∠BAD＝60°，∠EBD＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BDE．
【解答】解：連接BE，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BAD＝60°，
由圓周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，
∵DE是⊙O的直徑，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
11．（3分）如圖，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，MP⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，則PQ的最小值是（　?。?br />
A． B．3 C． D．
【分析】連接CM，先證四邊形PCQM是矩形，得PQ＝CM，再由勾股定理得BD＝5，當(dāng)CM⊥BD時(shí)，CM最小，則PQ最小，然后由面積法求出CM的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接CM，

∵M(jìn)P⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，
∴四邊形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD＝＝＝5，
當(dāng)CM⊥BD時(shí)，CM最小，則PQ最小，
此時(shí)，S△BCD＝BD?CM＝BC?CD，
∴CM＝＝＝，
∴PQ的最小值為，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為直線x＝2，結(jié)合圖象分析如下結(jié)論：①abc＞0；②b+3a＜0；③當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；④若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則點(diǎn)E（k，b）在第四象限．其中正確的有（　?。?br />
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】由拋物線開(kāi)口方向可判斷a的符號(hào)，由拋物線對(duì)稱軸可得a與b的數(shù)量關(guān)系，由拋物線與y軸交點(diǎn)可判斷c的符號(hào)，從而判斷①②③，由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A可得k與b的數(shù)量關(guān)系，從而判斷④．
【解答】解：∵拋物線開(kāi)口向上，
∴a＞0，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0，
∴b+3a＝b+4a﹣a＜0，②正確．
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①正確．
由圖象可得當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x增大而增大，
∴③錯(cuò)誤．
將A（5，0）代入y＝kx+b得0＝5k+b，
解得k＝﹣，
∵b＜0，
∴k＞0，
∴點(diǎn)E（k，b）在第四象限，④正確．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
二.填空題（本題共計(jì)6小題，每題2分，共計(jì)12分）
13．（2分）3的平方根等于 　?。?br /> 【分析】根據(jù)平方根的定義計(jì)算即可．
【解答】解：∵（±）2＝3，
∴3的平方根是±．
故答案為：±．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是平方根的定義和性質(zhì)，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．
14．（2分）分式的值為0，則x＝　2?。?br /> 【分析】根據(jù)分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零解答即可．
【解答】解：∵分式的值為0，
∴則2x﹣4＝0且x+5≠0，
∴x＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式值為零的條件，分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．
15．（2分）因式分解：2ax2﹣2a＝　2a（x+1）（x﹣1）?。?br /> 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（x2﹣1）
＝2a（x+1）（x﹣1）．
故答案為：2a（x+1）（x﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，點(diǎn)D到AB的距離DE＝3cm，則AC等于 　9　cm．

【分析】由角平分線的性質(zhì)可得CD＝DE，由含30度角的直角三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系可得BD的長(zhǎng)度，再由等腰三角形的性質(zhì)可得AD的長(zhǎng)度，進(jìn)而求解．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠DBC＝∠ABC＝30°，DC＝DE＝3cm，
∴DB＝2DE＝6cm，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝30°，
∴AD＝DB＝6cm，
∴AC＝AD+CD＝9cm，
故答案為：9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握解直角三角形的方法．
17．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣2，3）繞點(diǎn)（0，2）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ?。?，4）?。?br /> 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：如圖所示：AB即為線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段，

則AB＝BC，
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于D，則∠CEB＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
而∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CBD＝∠BAD，
在△CBE與△BAD中，
，
∴△CBE≌△BAD（AAS），
∴BD＝CE，AD＝BE，
∵C（﹣2，3），B（0，2），
∴CE＝2，OB＝2，OE＝3，
∴AD＝3﹣2＝1，OD＝OB+BD＝2+2＝4．
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（1，4）．
故答案為：（1，4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)變化后的線段長(zhǎng)度，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法確定圖形中特殊點(diǎn)的坐標(biāo)．
18．（2分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4．E、F分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，連接AF、DE，點(diǎn)N、M分別為AF、DE的中點(diǎn)，連接MN，則MN的長(zhǎng)度為 　?。?br />
【分析】連接AM，并延長(zhǎng)AM交CD于點(diǎn)G，先通過(guò)證明△AEM≌△GDM得到DM＝EM，DG＝AE后，證明MN是△AGF的中位線，可得MN＝GF，在Rt△FCG中利用勾股定理求出GF的長(zhǎng)，從而求出MN的長(zhǎng)．
【解答】解：連接AM并延長(zhǎng)AM交CD于點(diǎn)G，連接GF，如圖所示，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝AB＝4，∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠AEM＝∠GDM，
∵E、F分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，
∴AE＝AB＝2，CF＝BC＝2．
∵M(jìn)為DE的中點(diǎn)，
∴EM＝DM，
在△EAM和△DGM中，
．
∴△EAM≌△DGM（SAS）．
∴AM＝MG，DG＝AE＝2．
∴M為AG的中點(diǎn)，
∵N為AF的中點(diǎn)，
∴MN是△AGF的中位線．
∴MN＝GF．
在Rt△FCG中，
CG＝DC﹣DG＝4﹣2＝2，
∴GF＝＝2．
∴MN＝GF＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是添加輔助線把MN歸納到三角形中，然后證明MN是三角形的中位線．
三.解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分）
19．（6分）計(jì)算：+|1﹣|+﹣（﹣1）2022．
【分析】首先計(jì)算乘方、開(kāi)平方、開(kāi)立方和絕對(duì)值，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．
【解答】解：+|1﹣|+﹣（﹣1）2022
＝5+（﹣1）+（﹣2）﹣1
＝5+﹣1﹣2﹣1
＝1+．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．
20．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把a(bǔ)的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）
＝4﹣a2+a2+a
＝4+a，
當(dāng)a＝﹣4時(shí)，原式＝4+﹣4
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
21．（10分）（1）如圖①，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求證：AB＝AC．
（2）如圖②，A為⊙O上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：
①連接OA；
②以點(diǎn)A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑作弧，交⊙O于點(diǎn)B；
③在射線OB上截取BC＝OA；
④連接AC．
若AC＝3，求⊙O的半徑．

【分析】（1）根據(jù)“AAS“證明△ABE≌△ACD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）連接AB，如圖②，由作法得OA＝OB＝AB＝BC，先判斷△OAB為等邊三角形得到∠OAB＝∠OBA＝60°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到∠C＝∠BAC＝30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求OA的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
（2）解：連接AB，如圖②，
由作法得OA＝OB＝AB＝BC，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC，
∵∠OBA＝∠C+∠BAC，
∴∠C＝∠BAC＝30°
∴∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，OA＝AC＝×3＝．
即⊙O的半徑為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．
22．（10分）在信息快速發(fā)展的社會(huì)，“信息消費(fèi)”已成為人們生活的重要部分．某社區(qū)隨機(jī)抽取了部分家庭，調(diào)查他們每月用于“信息消費(fèi)”的金額x（單位：元），將數(shù)據(jù)分組如下：A.10≤x＜100；B.100≤x＜200；C.200≤x＜300；D.300≤x＜400；E．x≥400，并將數(shù)據(jù)整理成如圖所示的不完整統(tǒng)計(jì)圖．已知A，B兩組戶數(shù)在頻數(shù)分布直方圖中的高度比為1：5．

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題．
（1）A組的頻數(shù)是 　2　，本次調(diào)查的樣本容量是 　50?。?br /> （2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖（需標(biāo)明各組頻數(shù)）．
（3）所抽取的家庭中每月用于“信息消費(fèi)”的金額不少于200元的有多少戶？占所抽取家庭的百分之幾？
【分析】（1）由B組的頻數(shù)為10，且A，B兩組戶數(shù)在頻數(shù)分布直方圖中的高度比為1：5可得A組頻數(shù)；用A、B組頻數(shù)和除以其所占百分比即可；
（2）用總?cè)藬?shù)分別乘以C、D、E對(duì)應(yīng)的百分比得出其人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形；
（3）將C、D、E組人數(shù)相加得出不少于200元的戶數(shù)，再將C、D、E組百分比相加得出其所占百分比即可．
【解答】解：（1）由圖知，B組的頻數(shù)為10，且A，B兩組戶數(shù)在頻數(shù)分布直方圖中的高度比為1：5，
∴A組的頻數(shù)為2，
本次調(diào)查的樣本容量為（2+10）÷（1﹣8%﹣28%﹣40%）＝50，
故答案為：2、50；
（2）C組頻數(shù)為50×40%＝20，D組頻數(shù)為50×0.28＝14，E組頻數(shù)為50×8%＝4，
補(bǔ)全圖形如下：

（3）20+14+4＝38（戶），40%+28%+8%＝76%，
答：所抽取的家庭中每月用于“信息消費(fèi)”的金額不少于200元的有38戶，占所抽取家庭的76%．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
23．（10分）為落實(shí)“雙減”政策，豐富課后服務(wù)的內(nèi)容，某學(xué)校計(jì)劃到甲、乙兩個(gè)體育專賣店購(gòu)買一批新的體育用品，兩個(gè)商店的優(yōu)惠活動(dòng)如下：
甲：所有商品按原價(jià)8.5折出售；
乙：一次購(gòu)買商品總額不超過(guò)300元的按原價(jià)付費(fèi)，超過(guò)300元的部分打7折．
設(shè)需要購(gòu)買體育用品的原價(jià)總額為x元，去甲商店購(gòu)買實(shí)付y甲元，去乙商店購(gòu)買實(shí)付y乙元，其函數(shù)圖象如圖所示．
（1）分別求y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）兩圖象交于點(diǎn)A，求點(diǎn)A坐標(biāo)；
（3）請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出選擇去哪個(gè)體育專賣店購(gòu)買體育用品更合算．

【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以分別寫(xiě)出y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和題意，令0.85x＝0.7x+90，求出x的值，再求出相應(yīng)的y的值，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)函數(shù)圖象和（2）中點(diǎn)A的坐標(biāo)，可以寫(xiě)出選擇去哪個(gè)體育專賣店購(gòu)買體育用品更合算．
【解答】解：（1）由題意可得，
y甲＝0.85x，
當(dāng)0≤x≤300時(shí)，y乙＝x，
當(dāng)x＞300時(shí)，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，
則y乙＝；
（2）令0.85x＝0.7x+90，
解得x＝600，
將x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（600，510）；
（3）由圖象可得，
當(dāng)x＜600時(shí)，去甲體育專賣店購(gòu)買體育用品更合算；當(dāng)x＝600時(shí)，兩家體育專賣店購(gòu)買體育用品一樣合算；當(dāng)x＞600時(shí)，去乙體育專賣店購(gòu)買體育用品更合算．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在邊BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)頂點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若AC＝，求圖中陰影部分的面積．

【分析】（1）連接OD，CD，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AC＝AB，求出∠A＝90°﹣∠B＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出BD＝AD＝AB，求出AD＝AC，根據(jù)等邊三角形的判定得出△ADC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ADC＝∠ACD＝60°，求出∠ODC＝∠DCO＝30°，求出OD⊥AB，再根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）求出BD＝AC＝，BO＝2DO，根據(jù)勾股定理得出BO2＝OD2+BD2，求出OD，再分別求出△BDO和扇形DOE的面積即可．
【解答】（1）證明：連接OD，CD，

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴BD＝AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等邊三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD過(guò)圓心O，
∴直線AB是⊙O的切線；

（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，
又∵AC＝，
∴BD＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（）2，
解得：OD＝1（負(fù)數(shù)舍去），
所以陰影部分的面積S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，能熟記直角三角形的性質(zhì)、切線的判定和扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵．
25．（10分）如圖，直線y＝x﹣3交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）將拋物線y＝ax2+4x+c向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，連結(jié)AD，BD，若S△ABD＝2，求m的值．

【分析】（1）先求出點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入解析式可求解；
（2）求得平移后的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+1﹣m，進(jìn)一步求得對(duì)稱軸與直線AB的交點(diǎn)，然后根據(jù)三角形面積公式得到關(guān)于m的方程，解方程組即可．
【解答】解：（1）直線y＝x﹣3交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，
∴點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A（0，﹣3），
∵拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴C（2，1）；
（2）將拋物線y＝ax2+4x+c向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝﹣（x﹣2）2+1﹣m，
把x＝2代入y＝x﹣3得y＝﹣1，
∴AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為（2，﹣1），
∵平移后的拋物線的頂點(diǎn)為（2，1﹣m），
∴S△ABD＝2，
∴|1﹣m+1|×3＝2，
∴m＝或m＝．
∴m的值為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識(shí)，求得拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．
26．（10分）如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE，點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)．
（1）觀察猜想
圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是 　MN＝NP　，∠MNP的大小為 　60°??；
（2）探究證明
把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，判斷△MNP的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）拓展延伸
將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝2，AB＝6，請(qǐng)直接寫(xiě)出△MNP面積的最大值．

【分析】（1）根據(jù)AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再根據(jù)三角形中位線定理可知MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，利用平行線的性質(zhì)可證得∠MNP＝60°；
（2）先通過(guò)SAS證明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再由（1）同理可證；
（3）由三角形三邊關(guān)系可知：BD≤8，由（2）知：△MNP是等邊三角形，MN＝BD，則MN最大值為4，即可求得△MNP的最大面積．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，
∴∠MNP＝60°，
故答案為：MN＝NP，60°．

（2）△MNP是等邊三角形，理由如下：
由旋轉(zhuǎn)得：∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，
∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△MNP是等邊三角形；

（3）由三角形三邊關(guān)系可知：BD≤AB+AD，
即BD≤8，
∴BD的最大值為8，
由（2）知：△MNP是等邊三角形，MN＝BD，
∴MN＝4時(shí)，S△MNP最大，
S△MNP最大為：＝4．
【點(diǎn)評(píng)】此題是幾何變換綜合題，主要了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，等邊三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知識(shí)，利用平行線的性質(zhì)證明∠MNP＝60°是解題的關(guān)鍵．

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