延慶區(qū)2021—2022學(xué)年第二學(xué)期期末試卷                 高二數(shù)學(xué)            2022.7本試卷共6頁，150分?？荚?/span>時長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將答題紙交回。  第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10個小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，，，則的值可以是（A）            （B）         （C）          （D）（2）已知，則下列大小關(guān)系正確的是                    （A）   （B） （C） （D）（3）下列四個命題中真命題的序號是                                 ① 函數(shù)的最小值為；② 函數(shù)的最小值為；③ 函數(shù)的最大值為；④ 函數(shù)的最小值為.（A）①②          （B）②③        （C）②④       （D）③④（4）已知，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是                                            （A）     （B）    （C）  （D）（4）已知，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是                                （　  ?。?/span>（A） （B） （C） （D）（5）已知，下列四個條件中，使成立的必要而不充分條件是（A）      （B）    （C）   （D）（6）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上的所有點          （A）向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度    （B）向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度（C）向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度      （D）向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度（6）下列四個命題中的真命題是                                     （      ）（A）函數(shù)的圖像可由 的圖像經(jīng)過向右平移個單位而得到        （B）函數(shù)的圖像可由 的圖像上的點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍而得到        （C）函數(shù)的圖像可由 的圖像向右平移個單位而得到       （D）函數(shù)的圖像可由 的圖像上的點的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的倍而得到（7）是定義域為的奇函數(shù)，且，若，則（A）       （B）       （C）         （D）（8）函數(shù)的圖象如右圖所示，則下列結(jié)論一定成立的是（A）   （B）      （C）     （D）（9）已知不等式，若對于任意的且該不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是                                        （A）     （B）   （C）    （D）（10）設(shè)集合，集合是的子集，且滿足，，那么滿足條件的集合的個數(shù)為      （A）          （B）        （C）         （D） 第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5個小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域是                              .（12）的展開式中各項的二項式系數(shù)和為        ；各項的系數(shù)和為        .（13）若復(fù)數(shù)的模等于，則實數(shù)______.（14） 已知函數(shù) （其中），那么的零點是     ；若的值域是，則的取值范圍是                    .（15）已知函數(shù)（i）              ；（ii）給出下列三個結(jié)論：① 函數(shù)是偶函數(shù)；② 存在，使得以點為頂點的三角形是等腰直角三角形；③ 存在，使得以點為頂點的四邊形是菱形.其中，所有正確結(jié)論的序號是                 .     三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題14分）袋中有個白球、個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取次，每次取個球. （Ⅰ）若每次抽取后都放回，求恰好取到個黑球的概率；（Ⅱ）若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個數(shù)為，求的分布列. （17）（本小題14分）已知函數(shù).（Ⅰ）設(shè)的兩個零點分別為，若同號，且，求的取值范圍；（Ⅱ）在區(qū)間上的最小值為，求的值. （18）（本小題14分）（一、二、三中學(xué)生作）已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.（Ⅰ）求的通項公式；    （Ⅱ）求的通項公式；（Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列的前項和. （18）（本小題14分）（五中學(xué)生作）在四棱錐中，，，，，，平面，.（Ⅰ）若是的中點，求證：平面； （Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求與平面所成角的正弦值.（19）（本小題14分）為了解學(xué)生上網(wǎng)課使用的設(shè)備類型情況，某校對學(xué)生進行簡單隨機抽樣.獲得數(shù)據(jù)如下表：設(shè)備類型僅使用手機僅使用平板僅使用電腦同時使用兩種及兩種以上設(shè)備使用其他設(shè)備或不使用設(shè)備使用人數(shù)171665320假設(shè)所有學(xué)生對網(wǎng)課使用的設(shè)備類型的選擇相互獨立．（Ⅰ） 分別估計該校學(xué)生上網(wǎng)課僅使用手機的概率和該校學(xué)生上網(wǎng)課僅使用平板的概率；（Ⅱ）從該校全體學(xué)生中隨機抽取3人進行調(diào)查，設(shè)隨機變量表示這3人中僅使用電腦的人數(shù)，以頻率估計概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅲ）假設(shè)樣本中上網(wǎng)課同時使用兩種設(shè)備的人數(shù)是22，用“”表示上網(wǎng)課僅使用一種設(shè)備，“”表示上網(wǎng)課不僅使用一種設(shè)備；用“”表示上網(wǎng)課同時使用三種設(shè)備，“”表示上網(wǎng)課不同時使用三種設(shè)備. 試比較方差的大小.（結(jié)論不要求證明）. （20）（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線經(jīng)過原點，求的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.  （21）（本小題14分） 已知集合.對于，定義：與的差為；與間的距離為.（Ⅰ）當時，設(shè),求；（Ⅱ）若對于任意的，有，求的值并證明：.
 
 延慶區(qū)2021-2022學(xué)年度高二數(shù)學(xué)試卷評分參考一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.）（1） D     （2）B．   （3）B      （4）A      （5） A   （6） C     （7）C     （8）A      （9）B     （10）C  二、填空題（共5個小題，每小題5分，共25分）（11）.            （12）；   .        （13）.         （14）；   .         （15）；    ① ③.說明：兩個空的題目，前3后2三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共14分）（1）結(jié)果正確，有大致過程，有文字表述，給滿分；（2）全程無文字表述扣1分；（3）結(jié)果不正確，給過程分。 解：（Ⅰ）有放回地抽取3次，取法總數(shù)為種，               ……………2分設(shè)恰好取出一個黑球為事件，中包含有種取法，                            ……………4分所以.                                        ……………6分 （或解：抽取1次取出黑球的概率為，                      ……………2分設(shè)連續(xù)抽取3次中恰有1次抽出黑球為事件，則）.                      ……………6分（Ⅱ）從6個球中任意取出3個球的取法總數(shù)為， 的取值范圍是.                                       ……………7分，  式子和結(jié)果各占1分                 ……………9分，                                         ……………11分.                                          ……………13分所以的分布列為   ……………14分（17）（共14分）解：（Ⅰ） 因為有兩個零點分別為，且，所以.                                            ……………1分解得或.                                                 ……………3分因為同號，所以，即.所以.                                                         ……………5分所以或.                                          所以的取值范圍是.                                 ……………7分（1）帶等號扣1分；（2）借助圖像由得出，或由求根公式得出，結(jié)果正確給滿分。（Ⅱ）因為二次函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為，（1）當，即時，，所以.所以.                                                      ……………10分（2）當，即時，，所以.解得或，均舍去.                                       ……………13分綜上可知，.                                                ……………14分直接由得出給2分。（18）（共14分）（一、二、三中學(xué)生作）解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為. 因為， 所以. 所以. 所以                                                        ……………2分所以                         ……………4分（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為.因為，，                               ……………6分所以,所以,                                                     ……………7分因為各項均為正數(shù),所以.                                                       ……………8分所以.                                    ……………9分（III）因為，所以                           （公式用對一個給2分，用對2個給3分）…12分.（結(jié)果全對給2分，不全對給1分，全不對不給分）14分（18）（共14分）（五中學(xué)生作）解：（Ⅰ）取的中點，連接. 因為是中點，所以.所以.所以.                                                     ……………2分因為平面, 平面,                             ……………3分所以平面.                                               ……………4分（Ⅱ）因為平面, 所以，.因為,所以兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標系.       ……………5分則.        所以，.因為.所以.                       ……………7分三種證法：（1）平面向量法；（2）相似比；（3）正切或正弦； 勾股定理不能用.因為平面,       所以.                       ……………8分因為與相交，  所以平面.                                              ……………9分（III）由（Ⅱ）知是平面的法向量，，             ……………10分.                                                 ……………11分設(shè)與平面所成的角為，則.                               所以與平面所成角的正弦值為.                         ……………14分（19）（共14分）與（16）題給分原則相同解：（Ⅰ）從表格數(shù)據(jù)可知，該校抽查的人數(shù)為人，其中上網(wǎng)課僅使用手機的人數(shù)為17人，因此該校學(xué)生上網(wǎng)課僅使用手機的概率可以估計為；                    …………2分上網(wǎng)課僅使用平板的人數(shù)為16人，因此該校學(xué)生上網(wǎng)課僅使用平板的概率可以估計為.                       …………4分（Ⅱ）從表格數(shù)據(jù)可知，上網(wǎng)課僅使用電腦的人數(shù)為65人，因此該校學(xué)生上網(wǎng)課僅使用電腦的概率可以估計為.                  …………5分的取值范圍是.                                              …………6分                      ………10分    所以的分布列為0123故的數(shù)學(xué)期望為.                     ……11分（或因為所以）（III）.                                                             ………14分(20) （共15分）解：（Ⅰ）由可得 .                                              ……………1分因為，                                      ……………2分，                                     ……………3分所以切點為.因為切線經(jīng)過， 所以.                                                  ……………4分解得.                                                         ……………5分另解：所以切線方程為                     ……………4分因為切線過原點，所以解得                                            ……………5分（Ⅱ） 因為，令.則，解得 或.                                               ……………6分因為 所以.所以.令，即，解得：.             ……………7分令，即，解得：或.         ……………8分因為的定義域為，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.                ……………10分（Ⅲ）題設(shè)條件等價于在上的最大值小于在上的最大值.          ………11分在區(qū)間上，的最大值為；                                   ……………12分在區(qū)間上，.                        ……………13分所以，，.                     ……………14分所以的取值范圍是.                                        ……………15分 （21）（共14分）解：（Ⅰ），         .                       …… 4分(Ⅱ) 因為對于任意的，都有，由，，可知或.（1）當時，或，即或或;（2）當時，或，即;（3）當時，或，即;（4）當時，或，即或或;若，不妨取，則，與矛盾；若，不妨取，則與矛盾；當時，對任意的.都有，故任意的，都有.綜上，.                                                      …… 9分設(shè).所以.當時，；當時，；所以.                         …… 14分
  

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