2021-2022學(xué)年山東省泰安市新泰市八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制） 一、選擇題（本題共12小題，共48分）的平方根是(    )A.  B.  C.  D. 下列說法中正確的是(    )A. 對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B. 對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
C. 平行四邊形的對(duì)角線平分一組對(duì)角 D. 矩形的對(duì)角線相等且互相平分下列各式中，最簡(jiǎn)二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 菱形有一個(gè)內(nèi)角是，且較短的對(duì)角線長(zhǎng)為，則菱形的邊長(zhǎng)為(    )A.  B.  C.  D. 下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，添加下列條件不能判定四邊形是矩形的是(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，菱形的邊在平面直角坐標(biāo)系中的軸上，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為(    )
A.  B.  C.  D. 能使成立的的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 或如圖，四邊形和四邊形是兩個(gè)矩形，點(diǎn)在邊上，若，，則矩形的面積為(    )A.
B.
C.
D. 計(jì)算的值為(    )A.  B.  C.  D. 如圖，正方形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)(    )A.
B.
C.
D. 斜邊為的兩個(gè)全等的直角三角板，如圖所示拼成一個(gè)矩形，將一個(gè)三角板保持不動(dòng)，另一個(gè)三角板沿斜邊向右下方向滑動(dòng)，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，如圖，則平移距離的長(zhǎng)為(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本題共6小題，共24分）計(jì)算：______如果最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，那么______．菱形中，對(duì)角線，，則菱形的面積為______ ．已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果______．如圖，菱形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，，作于點(diǎn)，連接，若的長(zhǎng)為，則菱形的面積為______．
如圖，在正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線、的交點(diǎn)，過點(diǎn)作射線、分別交、于點(diǎn)、，且，、交于點(diǎn)給出下列結(jié)論：≌；≌；四邊形的面積為正方形面積的；其中正確的為______將正確的序號(hào)都填入
三、解答題（本題共7小題，共78分）計(jì)算：
；
 如圖，已知四邊形是平行四邊形，對(duì)角線與交于點(diǎn)，若、是上兩點(diǎn)，且，求證：四邊形是矩形．
如圖、在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)過點(diǎn)作對(duì)角線的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
求證：四邊形是平行四邊形；
若，，求的周長(zhǎng)．
一個(gè)正數(shù)的平方根是與，求這個(gè)正數(shù)．
已知、都是實(shí)數(shù)，且，求的值．如圖，在矩形中，于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，若平分，交于點(diǎn)，于點(diǎn)．
求證：；
求證：四邊形是菱形．
閱讀下面材料，然后回答問題：
在進(jìn)行類似二次根式的運(yùn)算時(shí)，通常有如下兩種方法將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：
方法一：；
方法二：；
請(qǐng)選一種方法化簡(jiǎn)：；
化簡(jiǎn)：．如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，．
求證：是等腰直角三角形；
如圖，連接，交于點(diǎn)，連接求證：．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
的平方根是．
故選：．
首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出的結(jié)果，然后利用平方根的定義求解即可．
本題主要考查了平方根概念的運(yùn)用．易錯(cuò)點(diǎn)是：本題是求的平方根，很容易誤認(rèn)為是求的平方根．如果，則是的平方根．若，則它有兩個(gè)平方根并且互為相反數(shù)，我們把正的平方根叫的算術(shù)平方根．若，則它有一個(gè)平方根，即的平方根是，的算術(shù)平方根也是，負(fù)數(shù)沒有平方根．
 2.【答案】 【解析】解：、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，
選項(xiàng)A不符合題意；
B、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形形是菱形，
選項(xiàng)B不符合題意；
C、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，
選項(xiàng)C不符合題意；
D、矩形的對(duì)角線互相平分且相等，
選項(xiàng)D符合題意；
故選：．
由矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、以及平行四邊形的性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：．的被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.，的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
C.的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因式，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
D.是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：．
根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．
本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，能熟記最簡(jiǎn)二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：滿足以下兩個(gè)條件的二次根式，叫最簡(jiǎn)二次根式：被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．
 4.【答案】 【解析】解：四邊形是菱形，
，
菱形的一個(gè)內(nèi)角為，
，
又菱形的邊，
是等邊三角形，
，
故選：．
根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出菱形的銳角為，然后求出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等求出．
本題考查了菱形的性質(zhì)，主要利用了菱形的鄰角互補(bǔ)，四條邊都相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，作出圖形更形象直觀．
 5.【答案】 【解析】解：與不是同類二次根式，不能加減，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：．
利用二次根式的加減法法則計(jì)算、，利用二次根式的乘、除法法則計(jì)算、，根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷即可．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：、四邊形是平行四邊形，，
平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)A符合題意；
B、，
，
平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、四邊形是平行四邊形，
平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：．
由矩形的判定、菱形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：過作于，如圖：
則，
四邊形是菱形，
，
，
，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故選：．
過作于，由菱形的性質(zhì)得，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得，然后由勾股定理得，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題考查了菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：能使成立，
，，
．
故選：．
直接利用二次根式的定義分析得出答案．
此題主要考查了二次根式的乘除法，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：四邊形是矩形，
，
，，
，
過作于，則，

，
而，
即，
故選：．
由于矩形的面積等于個(gè)的面積，而的面積又等于矩形的一半，所以可得兩個(gè)矩形的面積關(guān)系．
本題主要考查了矩形的性質(zhì)及面積的計(jì)算，能夠熟練運(yùn)用矩形的性質(zhì)進(jìn)行一些面積的計(jì)算問題．
 10.【答案】 【解析】解：原式

．
故選：．
先根據(jù)積的乘方與冪的乘方得到原式，然后利用平方差公式計(jì)算．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
 11.【答案】 【解析】解：四邊形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌．
，
，，
，

，
，
，
故選：．
根據(jù)證≌，得出，根據(jù)，得即可．
本題主要考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本題考查直角三角形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
根據(jù)題意證明，進(jìn)而得到，然后利用含角的直角三角形的性質(zhì)，即可解決問題．
【解答】
解：四邊形是菱形，
，，
，
，
，
，
是斜邊為的含角的直角三角板，
，
，
故選A．  13.【答案】 【解析】解：


．
故答案為：．
直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)同類二次根式的定義建立關(guān)于的方程，求出的值．
本題考查了同類二次根式，同類二次根式是化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．
【解答】
解：最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，
，
解得．
故答案為．  15.【答案】 【解析】解：菱形的面積計(jì)算公式、為菱形對(duì)角線長(zhǎng)
故菱形的面積為．
故答案為：．
根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式，已知兩對(duì)角線長(zhǎng)即可求得菱形的面積．
本題考查了菱形面積的計(jì)算公式，根據(jù)對(duì)角線求菱形的面積的公式，本題中正確計(jì)算菱形面積是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：要使有意義，必須，
解得：，
又，
即，，
，
故答案為：．
根據(jù)二沉池根式有意義的條件求出，求出、的范圍，再根據(jù)二根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)和二次根式有意義的條件，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：．
 17.【答案】 【解析】解：是菱形，
，，
，
是等邊三角形，
又，
，
，
，
，
，
在中，
，
菱形的面積，
故答案為：．
首先證得是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形和三角形中位線的性質(zhì)求出，，根據(jù)勾股定理求得，由菱形的面積公式即可求出結(jié)果．
本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，證得是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．
 18.【答案】 【解析】解：在正方形中，，，，
，
，
，
≌，故正確；
在正方形中，，，，
，
，
≌；故正確；
由全等可得四邊形的面積與面積相等，
四邊形的面積為正方形面積的，故正確；
≌，
，
四邊形為正方形，
，
，
在中，，
，故錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的是，
故選：．
利用全等三角形的判定與性質(zhì)逐一分析即可得出正確答案．
本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)全等證明出≌，屬于選擇壓軸題．
 19.【答案】解：原式
；
原式

． 【解析】先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可；
利用平方差公式計(jì)算．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
 20.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，即，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
四邊形是矩形． 【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，，可得，可證四邊形是平行四邊形，通過證明，可得結(jié)論．
本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，掌握矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】證明：四邊形是菱形，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形；
解：四邊形是菱形，，，
，，，
，
，
由得：四邊形是平行四邊形，
，，
的周長(zhǎng)． 【解析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再證明，然后根據(jù)平行四邊形的定義證明即可；
先根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出，再由平行四邊形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而求出的周長(zhǎng)．
此題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)該正數(shù)為則由題可知，
解得，
所以，
所以，即所求的正數(shù)是；

根據(jù)題意，得
，
解得，
；
，即． 【解析】因?yàn)橐粋€(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，由此即可得到關(guān)于方程，解方程即可得的值，然后代入求；
根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，列出關(guān)于的不等式組，然后解得值，從而求得值；最后將它們代入所求的代數(shù)式求值即可．
此題主要考查了平方根的性質(zhì)，注意如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)就叫做的平方根，也叫做的二次方根．一個(gè)正數(shù)有正、負(fù)兩個(gè)平方根，他們互相為相反數(shù)；零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根．
 23.【答案】證明：四邊形是矩形，
，
平分，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形． 【解析】根據(jù)矩形性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而即可證明結(jié)論；
結(jié)合證明，證四邊形是平行四邊形，再根據(jù)得出四邊形是菱形即可．
本題主要考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：；



． 【解析】分子、分母都乘以，再進(jìn)一步計(jì)算即可；
先將各分?jǐn)?shù)分母有理化，再進(jìn)一步計(jì)算即可．
本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
 25.【答案】證明：如圖，四邊形為正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形．
證明：如圖，作交于點(diǎn)，則，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 【解析】先證明≌，得，，則，所以是等腰直角三角形；
作交于點(diǎn)，則，由得，即可證明，得，再證明≌，得，即可根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)證明．
此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
 

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