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三、解答題（本大題共8小題，共62分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）本小題分
．本小題分
先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．本小題分
疫情期間，為了增強(qiáng)學(xué)生的自我保護(hù)意識(shí)，某校組織了一次全校名學(xué)生參加的“新冠疫情知多少”的考試，并隨機(jī)抽查了部分參賽學(xué)生的成績(jī)，根據(jù)成績(jī)分成如下四個(gè)組：：，：，：，：，繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖上提供的信息回答下列問(wèn)題：
這次被調(diào)查的學(xué)生共有多少人，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求出值；
請(qǐng)你估計(jì)該校學(xué)生得分分及以上的學(xué)生人數(shù)．
本小題分
如圖，已知平行四邊形中，為中點(diǎn)，延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
求證：；
若，求證：．
本小題分
為弘揚(yáng)革命精神，激發(fā)廣大學(xué)生學(xué)習(xí)英雄人物的光輝事跡，某校開(kāi)展“緬懷革命前輩”講故事比賽，組委會(huì)準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)兩種獎(jiǎng)品，種獎(jiǎng)品發(fā)給獲優(yōu)勝獎(jiǎng)的選手，種獎(jiǎng)品作為參與獎(jiǎng)發(fā)給未獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)的其他參賽選手作為鼓勵(lì)．若購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品件和種獎(jiǎng)品件，共需元；購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品件和種獎(jiǎng)品件，共需元．
求，兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是多少元？
在比賽籌備過(guò)程中，如果用于購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的總預(yù)算為元，優(yōu)勝獎(jiǎng)和參與獎(jiǎng)的總數(shù)為名，那么種獎(jiǎng)品最多能準(zhǔn)備多少個(gè)？本小題分
如圖，直線、相交于點(diǎn)，直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與軸交于點(diǎn)，已知直線的解析式為，結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：
求直線的解析式；
求的面積．
本小題分
如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)在邊上任意一點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，．
求證：；
如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
(ⅰ)若，求的度數(shù)；
(ⅱ)用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與軸交于點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)．
求直線的解析式；
若點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，且與直線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
若在平面上存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由題意可知：，
．
故選：．
根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出的取值范圍．
本題考查二次根式有意義，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．
2.【答案】 【解析】解：、，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；
B、，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；
C、，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；
D、，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意．
故選：．
由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．
本題考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
3.【答案】 【解析】解：．是最簡(jiǎn)二次根式，故A符合題意；
B.，故B不符合題意；
C.，故C不符合題意；
D.，故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義判斷即可．
本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
4.【答案】 【解析】解：把代入得，
所以直線的解析式為．
故選：．
直接把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出的值，從而得到直線解析式．
本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時(shí)，先設(shè)；將自變量的值及與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫(xiě)出函數(shù)解析式．
5.【答案】 【解析】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別為、，故中位數(shù)為，故選項(xiàng)A不符合題意；
這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)最多的數(shù)是，故眾數(shù)為，故選項(xiàng)B符合題意；
這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故選項(xiàng)C不符合題意；
這組數(shù)據(jù)的方差為，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：．
根據(jù)方差、眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的定義，依次計(jì)算各選項(xiàng)即可作出判斷．
本題考查了方差、平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，掌握各自的定義及計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．
6.【答案】 【解析】解：、，故A不符合題意．
B、，故B不符合題意．
C、原式，故C符合題意．
D、原式，故D不符合題意．
故選：．
根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)即可求出答案．
本題考查二次根式的乘除運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
設(shè)交于點(diǎn)證明四邊形是菱形，利用勾股定理求出即可解決問(wèn)題．
【解答】
解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)．
由作圖可知：，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
，，
在中，，
，
．
故選：． 8.【答案】 【解析】解：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故A選項(xiàng)正確；
B.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C選項(xiàng)正確；
D.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故D選項(xiàng)正確；
所以說(shuō)法不正確的是；
故選：．
根據(jù)矩形的定義，矩形的性質(zhì)，菱形的判定、平行四邊形的判定分別對(duì)每個(gè)命題的真假進(jìn)行判斷即可．
本題是對(duì)矩形的性質(zhì)的考查，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)．
9.【答案】 【解析】解：
四邊形為菱形，
，，且，
，
菱形的周長(zhǎng)，
故選：．
由菱形的性質(zhì)可求得、，在中利用勾股定理可求得，則可求得其周長(zhǎng)．
本題主要考查菱形的性質(zhì)，掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵．
10.【答案】 【解析】解：平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
矩形中：，
是等邊三角形，是等邊三角形，故正確；
，，
，
是等腰三角形，故正確；
，
，，故錯(cuò)誤；
，故錯(cuò)誤；
，
，故正確；
故選：．
判斷出是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出，再判斷出，是等邊三角形，可判斷；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，再求出，可判斷，由直角三角形的性質(zhì)可得，可判斷，由等腰三角形性質(zhì)求出，再根據(jù)，可判斷；由面積公式可得可判斷；即可求解．
本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】直角三角形 【解析】解：，，，，
，，，
解得：，，，
，
這個(gè)三角形的形狀是直角三角形．
故答案為：直角三角形．
首先根據(jù)絕對(duì)值，平方數(shù)與算術(shù)平方根的非負(fù)性，求出，，的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷其形狀是直角三角形．
本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)與勾股定理的逆定理，此類(lèi)題目在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，是考試的重點(diǎn)．
12.【答案】甲 【解析】【分析】
本題主要考查方差的意義，掌握方差的意義是解題的關(guān)鍵，即方差越大其數(shù)據(jù)波動(dòng)越大，即成績(jī)?cè)讲环€(wěn)定．
根據(jù)方差的意義即可求得答案．
【解答】
解：甲乙比賽成績(jī)的平均分都是分，
，，
，
甲的成績(jī)比較穩(wěn)定，
故答案為：甲． 13.【答案】 【解析】解：當(dāng)，函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的上方，
所以關(guān)于的不等式的解集為．
故答案為．
觀察函數(shù)圖象得到，當(dāng)，函數(shù)的圖象都在函數(shù)圖象的上方，于是可得到關(guān)于的不等式的解集．
本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于或小于的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上或下方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
14.【答案】 【解析】解：分，
即八班這次比賽的總成績(jī)?yōu)?/span>分，
故答案為：．
根據(jù)題意和加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法，可以得到八班這次比賽的總成績(jī)．
本題考查加權(quán)平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法．
15.【答案】 【解析】解：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為，
該正比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，解得：，
正比例函數(shù)的解析式為．
點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖象上，
，
解得：．
故答案為：．
由點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出正比例函數(shù)的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出的值，此題得解．
本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，牢記直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
16.【答案】 【解析】解：菱形中，對(duì)角線，，
．
故答案為：．
根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
本題主要考查了菱形的面積求法，除了利用平行四邊形的面積公式：底高，經(jīng)常利用對(duì)角線乘積的一半進(jìn)行求解．
17.【答案】 【解析】解：直線的解析式是，
，．
點(diǎn)的坐標(biāo)是，軸，點(diǎn)在直線上，
，，
．
又，即
，．
同理，，
，
．
點(diǎn)的坐標(biāo)是．
故答案是：．
根據(jù)直線的解析式求出，從而得到，根據(jù)直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出，然后表示出與的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)在軸上寫(xiě)出坐標(biāo)即可．
本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
18.【答案】解：原式
． 【解析】先把各根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．
本題考查的是二次根式的加減，熟知二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解答此題的關(guān)鍵．
19.【答案】解：原式
，
當(dāng)時(shí)，原式． 【解析】根據(jù)分式的減法法則、除法法則把原式化簡(jiǎn)，把的值代入計(jì)算，得到答案．
本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟記分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】解：這次被調(diào)查的學(xué)生共有人，
組人數(shù)為；
如圖，
，即；
人，
所以估計(jì)全校學(xué)生中得分分及以上的同學(xué)有人； 【解析】用組的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)減去、、組人數(shù)求出組人數(shù)即可補(bǔ)全圖形；
根據(jù)組人數(shù)所占的百分比得到的值；
用乘以、兩組的頻率和即可．
本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)分布表、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
21.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
．
．
是的中點(diǎn)，
．
在和中，
≌．
．
由得，
，
．
，
．
． 【解析】解題關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形全等來(lái)解決有關(guān)的證明．
和分別在和中，要證它們相等，只需證≌，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及為中點(diǎn)可證．
在平行四邊形中，對(duì)邊相等，由的結(jié)論可證昨，根據(jù)等邊對(duì)等角可證．
22.【答案】解：設(shè)種獎(jiǎng)品的單價(jià)是元，種獎(jiǎng)品的單價(jià)是元，
依題意得：，
解得：．
答：種獎(jiǎng)品的單價(jià)是元，種獎(jiǎng)品的單價(jià)是元．
設(shè)種獎(jiǎng)品準(zhǔn)備個(gè)，則種獎(jiǎng)品準(zhǔn)備個(gè)，
依題意得：，
解得：．
答：種獎(jiǎng)品最多能準(zhǔn)備個(gè)． 【解析】設(shè)種獎(jiǎng)品的單價(jià)是元，種獎(jiǎng)品的單價(jià)是元，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品件和種獎(jiǎng)品件，共需元；購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品件和種獎(jiǎng)品件，共需元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
設(shè)種獎(jiǎng)品準(zhǔn)備個(gè)，則種獎(jiǎng)品準(zhǔn)備個(gè)，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過(guò)元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
23.【答案】解：設(shè)直線表示的一次函數(shù)表達(dá)式為，
直線過(guò)點(diǎn)，，
，
，
直線表示的一次函數(shù)表達(dá)式是；
設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，由，得，解得：，
． 【解析】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，，所以可用待定系數(shù)法求得函數(shù)的表達(dá)式；
先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)即可求得．
本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積的求法，掌握待定系數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵是求得函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)．
24.【答案】證明：四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：(ⅰ)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，
，，
在和中，
，
≌，
，
由得：≌，
，
，
，
，
；
(ⅱ)線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：
連接，如圖所示：
由(ⅰ)得：垂直平分，
，，
設(shè)，
由(ⅰ)得：，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，，
，
． 【解析】證≌，即可得出結(jié)論；
證≌，得，再由全等三角形的性質(zhì)得，則，然后由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得，即可求解；
(ⅱ)連接，由(ⅰ)得垂直平分，則，，設(shè)，證出，再證，然后由勾股定理得，進(jìn)而得出結(jié)論．
本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明≌和≌是解題的關(guān)鍵．
25.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，
．
設(shè)直線的解析式為，由題意得：
，
解得：．
直線的解析式為．
軸，
，的橫坐標(biāo)相同．
設(shè)，則．
為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
，，
，．
．
解得：．
．
如下圖，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，
令，則，
．
，
直線的解析式為：．
令，則，
．
，
直線的解析式為：．
．
解得：．
．
如下圖，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，
，
直線的解析式為，
，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
．
當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，如下圖，
，
直線的解析式為，
，
直線的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
．
綜上，存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或． 【解析】先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解答即可；
利用兩條直線的解析式表示出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出線段的長(zhǎng)，列出方程即可解答；
分三種情形解答，先求得經(jīng)過(guò)點(diǎn)的解析式，再聯(lián)立，解方程組即可求解．
本題是一道一次函數(shù)的綜合題，主要考查了一次函數(shù)的解析式的求法，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征．待定系數(shù)法是確定函數(shù)解析式的重要方法，也是解答本題的關(guān)鍵．
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