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分布函數(shù)和玻耳茲曼方程
用同樣的理解方法，可以知道，相空間中由于碰撞單位時(shí)間離開處單位體積的電子數(shù)為： (5-12)由于為單位時(shí)間內(nèi)由于碰撞而引起的點(diǎn)的分布函數(shù)的變化，因此有： (5-13)
結(jié)合（5-8）、（5-10）、（5-13）式，可以得到定態(tài)條件下的玻耳茲曼方程為： (5-14)
(5-14)式表示的玻耳茲曼方程方程是一個(gè)微分—積分方程，為了求解方便，一般都要作一些簡化，其中最主要的方法就是馳豫時(shí)間近似。假設(shè)碰撞項(xiàng)可以寫成下面的形式： (5-15)其中f0指的是平衡時(shí)的分布函數(shù)（即費(fèi)米函數(shù)）。是引入的一個(gè)參數(shù)，稱為馳豫時(shí)間，它是波矢的函數(shù)。它表示系統(tǒng)依賴碰撞機(jī)制使分布從非平衡分布f恢復(fù)到平衡分布狀態(tài)f0時(shí)所用的時(shí)間。
引入馳豫時(shí)間后，玻耳茲曼方程就簡化為： (5-16)根據(jù)能帶理論的基本關(guān)系式： (5-17)以及：（其中）（5-18）和：（5-19）
將（5-17），（5-18），（5-19）式代入（5-16）式，則玻耳茲曼方程可以寫為： (5-20）當(dāng)晶體中的溫度梯度為零，而且晶體只受外電場(chǎng)力作用時(shí)，玻耳茲曼方程可以簡化為：（5-21）此式可以用于討論金屬的電導(dǎo)率的問題 ?！?在討論金屬的熱導(dǎo)率問題時(shí)（5-20）式等號(hào)左邊的第一項(xiàng)就很重要了。
在恒溫以及恒定外電場(chǎng)的條件下，金屬晶體中能夠形成穩(wěn)定的電流密度。這時(shí)玻耳茲曼方程可以寫成（5-21）的形式，經(jīng)簡單的變化可寫為： (5-22)這個(gè)方程的解就是電場(chǎng)存在時(shí)定態(tài)的分布函數(shù)f，顯然f將是電場(chǎng) 的函數(shù)，因此可以把f按的冪級(jí)數(shù)展開為： (5-23)式中,f0為時(shí)的f值，因此就相當(dāng)于平衡情況下的費(fèi)米函數(shù)；f1，f2，…，分別代表包含的一次冪、二次冪、……、項(xiàng)。
將（5-23）式代入（5-22）式得：由于等式兩邊的同次冪的項(xiàng)應(yīng)該相等，因此得到下面的一系列等式： (5-25)
由于f0只是電子的能量的函數(shù)，因此（5-25）式中的一次冪方程可以寫成： (5-26)
通過物理實(shí)驗(yàn)我們知道，在一般的電導(dǎo)問題中，電流與電場(chǎng)成正比，服從歐姆定律，這種情況相當(dāng)于弱場(chǎng)的情況，也就是說，電流與電場(chǎng)成正比的關(guān)系是一種弱場(chǎng)的近似，此時(shí)分布函數(shù)只需要考慮到的一次冪，即: 由（5-6）式可知，電流密度可以直接由分布函數(shù)得到，即： (5-27)
在（5-27）式中，第一項(xiàng)相當(dāng)于平衡分布時(shí)的電流密度，因此等于零，將（5-26）式代入（5-27）式中得： (5-28) （5-28）式即為歐姆定律的一般公式?？梢娺@是一個(gè)向量關(guān)系式。如果把該關(guān)系式用分量表示則有：（5-29）
如果把（5-29）的向量關(guān)系式展開則可以表示為： (5-30)其中：（5-31）是電導(dǎo)率二階張量的分量。

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