絕密★啟用前2021-2022學年湖南省衡陽市祁東縣高二（下）期末數(shù)學試卷  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）已知集合，則集合中元素的個數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 已知復數(shù)滿足，則的虛部為(    )A.  B.  C.  D. 拋物線：的焦點到其準線的距離為(    )A.  B.  C.  D. 設函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 已知等差數(shù)列的前項和為，，，則(    )A.  B.  C.  D. 已知，是兩個不重合的平面，，，則“”是“”的(    )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件同時轉動如圖所示的兩個轉盤，記轉盤甲得到的數(shù)為，轉盤乙得到的數(shù)為，構成數(shù)對，則所有數(shù)對中滿足的概率為(    )
A.  B.  C.  D. 已知函數(shù)，若在上有個極大值，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）已知，，則下列結論不一定正確的是(    )A.  B.  C.  D. 已知函數(shù)，的導函數(shù)的圖象如圖所示，則(    )
A. 在上單調遞增 B. 有個極值點
C. 在上單調遞減 D. 已知向量，，滿足，，，設，則(    )A. 的最小值為 B. 的最小值為
C. 的最大值為 D. 無最大值已知函數(shù)若關于的不等式是自然對數(shù)的底數(shù)在上恒成立，則的取值可能為(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知某圓錐的底面周長為，側面積為，則該圓錐的體積為______．若，則的值為______．鐵路作為交通運輸?shù)闹匾M成部分，是國民經濟的大動脈，在我國經濟發(fā)展中發(fā)揮著重要的作用，近年來，國家持續(xù)加大對鐵路行業(yè)尤其是高速鐵路的投資力度，鐵路行業(yè)得到了快速發(fā)展．用，，，，分別表示年至年，得到動車組數(shù)量與相應年份編號之間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表．年份編號數(shù)量千組由表格可知，與之間存在線性相關關系，回歸方程為，則估計年動車組的數(shù)量為______千組．如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，，點，，在雙曲線上，且四邊形為等腰梯形，，，則雙曲線的離心率為______．
   四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
已知的內角，，的對邊分別為，，，且．
求；
若，的面積為，求的周長．本小題分
為加強學校體育工作，促進學生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習慣，提高身體健康水平，某學校改進課程教學，增加學生體育鍛煉時間．市體質監(jiān)測中心抽取了該校高三班和高三班各名學生進行體質測試，得到如下數(shù)據(jù)：
高三班名學生體質測試成績單位：分高三班名學生體質測試成績單位：分其中體質測試成績在分以下為不合格，分以上為優(yōu)秀．
求班名學生體質測試成績的平均分，估計班學生體質測試成績的優(yōu)秀率；
市體質監(jiān)測中心準備從這名學生中隨機選出體質測試成績不合格的名學生進行補考測試，記這人中來自班的人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望．本小題分
已知等比數(shù)列的前項和為，，是與的等差中項．
求的通項公式；
設，求數(shù)列的前項和．本小題分
如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，分別為，的中點．
證明：平面．
若平面，，且，求直線與平面所成角的正弦值．
本小題分
已知，分別是橢圓：的左、右頂點，是直線上的一動點的縱坐標不為零且不在橢圓上，直線與橢圓的另一交點為，直線與橢圓的另一交點為，直線與軸的交點為，且面積的最大值為．
求橢圓的方程；
設直線的斜率為，直線的斜率為，證明為定值．本小題分
已知函數(shù)．
若的最小值為，求的值；
證明：當時，有兩個不同的零點，，且．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：當，取相同數(shù)時，；
當，取不同數(shù)時，的取值可能為或，
故B中共有個元素．
故選：．
討論，取相同數(shù)和不同數(shù)時，的取值即可得出答案．
本題考查集合的概念，屬于基礎題．
 2.【答案】 【解析】解：由，得，
的虛部為．
故選：．
把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．
本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．
 3.【答案】 【解析】解：拋物線，即，則，所以，
所以拋物線的焦點到其準線的距離為．
故選：．
將拋物線方程化為標準式，即可得到，再根據(jù)的幾何意義得解．
本題考查了拋物線的性質，屬于基礎題．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，，
由此分析選項：
對于，，是偶函數(shù)，符合題意；
對于，，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，不符合題意；
對于，，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，不符合題意；
對于，，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，不符合題意；
故選：．
根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性，即可得答案．
本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，涉及函數(shù)解析式，屬于基礎題．
 5.【答案】 【解析】解：設等差數(shù)列的公差為，首項為，
，，
，，
．
故選：．
設等差數(shù)列的公差為，首項為，再由，建立方程看求出與，最后代入通項公式即可求解．
本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，等差數(shù)列的基本運算，方程思想，屬基礎題．
 6.【答案】 【解析】解：，是兩個不重合的平面，，，，則不一定垂直于，故“”不是“”的充分條件；
，是兩個不重合的平面，，，，則不一定垂直于，故“”不是“”的必要條件；
所以，故“”是“”的既不充分也不必要條件．
故選：．
根據(jù)充要條件的定義，逐一判斷即可．
本題考查了充要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
 7.【答案】 【解析】解：數(shù)對所有的可能的結果有：
，，，，，，，，，共個，
其中滿足的數(shù)對有：，，，共個，
所有數(shù)對中滿足的概率為．
故選：．
列舉出數(shù)對所有可能的結果，并確定滿足的數(shù)對的個數(shù)，根據(jù)古典概型公式能求出結果．
本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
 8.【答案】 【解析】解：由題意可得，
因為，所以，
因為在上有個極大值，
所以，
所以，
故選：．
先對函數(shù)化簡，然后由，，所以再由在上有個極大值，可得，從而可求出的取值范圍．
本題考查了利用函數(shù)的極值求參數(shù)的范圍的問題，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：取，，，
則，，，選項錯誤．
函數(shù)是上的增函數(shù)，，選項正確．
若，則，選項錯誤．
故選：．
根據(jù)特值法，函數(shù)的單調性，不等式性質即可判斷．
本題考查特值法，函數(shù)的單調性，不等式性質，屬基礎題．
 10.【答案】 【解析】解：由圖可知，導函數(shù)在上大于，可得在上單調遞增，故A正確；
導函數(shù)有個零點，但當 時，原函數(shù)無極值，有個極值點，故B錯誤；
當時，，可得在上單調遞減，故C正確，D錯誤．
故選：．
由導函數(shù)的圖象結合導函數(shù)的符號與函數(shù)單調性的關系判斷；由導函數(shù)的零點個數(shù)及零點兩側的導函數(shù)值的符號判斷．
本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，考查數(shù)形結合思想，是基礎題．
 11.【答案】 【解析】解：因為，所以又，，所以，解得，所以．
建立如圖所示的直角坐標系：

設，，．
因為，所以，即圓心為，半徑為的圓．
設，則點在直線上運動，則
令點到直線的距離為．
則無最大值．
故選：．
先由已知可求得，然后建立如圖所示的直角坐標系，設，，再由得，設，則點在直線上運動，結合圖形可得答案．
本題主要考查向量的運算法則，屬于基礎題．
 12.【答案】 【解析】解：在上恒成立，
等價于的圖象恒在直線的上方，
畫出的圖象，如圖，
又直線恒過點，
當直線與，相切時，設切點，
求導得，可得，
由，解得，
則切線的斜率為．
當直線與相切時，
直線與半圓相切，如圖，
由，解得，
故的取值范圍是．
故選：．
將恒成立轉化成的圖象恒在直線的上方，再數(shù)形結合即可求解．
本題考查考查數(shù)形結合法解恒成立問題，導數(shù)研究曲線的切線，直線與圓相切，屬中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：設圓錐的底面半徑為，母線為，
則，解得，
則該圓錐的高，
故該圓錐的體積為．
故答案為：．
設圓錐的底面半徑為，母線為，則由題意可得，求出，，從而可求出高，進而可求出圓錐的體積．
本題考查了圓錐的體積計算，屬于基礎題．
 14.【答案】 【解析】解：，，
或，
當時，，即，
當，即時，，，，
答案為：．
運用三角函數(shù)二倍角及兩角和的正弦公式變換求解．
本題考查了三角函數(shù)求值，三角變換中注意同解變換，是基礎題．
 15.【答案】 【解析】解：由已知可得：，
則樣本中心點為，代入線性回歸方程，可得，解得，
線性回歸方程為，
取，可得．
故答案為：．
由已知可求樣本中心，代入回歸方程可得，取求解即可．
本題考查線性回歸方程的應用，明確線性回歸方程恒過樣本點的中心是關鍵，是基礎題．
 16.【答案】 【解析】解：，可設，則，
，，
設，則，，，
將，坐標代入雙曲線方程得：
，
整理可得：，，雙曲線的離心率．
故答案為：．
設，利用向量線性運算可構造方程組得到，將，坐標代入雙曲線方程，可求得，由此可得離心率．
本題考查了雙曲線的性質，屬于中檔題．
 17.【答案】解：由．
得，
，
，，
，，，
的面積為，，
，
由余弦定理可得，
，，
，
的周長為． 【解析】由已知可得，可求，從而可求；
由面積公式可得，利用余弦公式可求，進而可求周長．
本題考查三角形的正余弦定理，以及三角恒等變換，屬中檔題．
 18.【答案】解：由表中數(shù)據(jù)可得，班名學生體質測試成績的平均分為：
，
班名同學有名同學體質測試成績優(yōu)秀，
則估計班學生體質測試成績的優(yōu)秀率為．
班體質測試成績不合格有人，班體質測試成績不合格有人，
所有可能取值為，，，
，
，
，
故的分布列為：       ． 【解析】根據(jù)已知條件，結合平均數(shù)公式，以及頻數(shù)與頻數(shù)的關系，即可求解．
班體質測試成績不合格有人，班體質測試成績不合格有人，所有可能取值為，，，分別求出對應的概率，再結合期望公式，即可求解．
本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列，需要學生熟練掌握期望公式，屬于中檔題．
 19.【答案】解：由解得
所以的公比，
故．
由可知，，設數(shù)列的前項和為，
則，，
所以，故． 【解析】根據(jù)條件列出方程組，求出，的值，可得公比，代入通項公式求解即可；
利用錯位相減法求解即可．
本題考查了等比數(shù)列的通項公式以及錯位相減求和的問題，屬于中檔題．
 20.【答案】證明：取的中點，連接，，
因為，分別為，的中點，
所以，
又底面為菱形，所以，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：連接，
因為平面，，平面，
所以，，
因為四邊形為菱形，，
所以為等邊三角形，
因為為的中點，
所以，
因為，
所以，
所以，，兩兩垂直，
所以以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，所以，
則，
設平面的法向量，
則，令，得，
設直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為． 【解析】取的中點，連接，，則由三角形中位線定理可得，再結合底面四邊形為菱形，可得四邊形為平行四邊形，從而得然后由線面平行的判定定理可證得結論，
由已知可得，，兩兩垂直，所以以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可．
本題考查了線面平行的證明以及直線與平面所成的角的求解，屬于中檔題．
 21.【答案】解：當點為橢圓的上或下頂點時，的面積取得最大值，
此時有，解得，
故橢圓的方程為．

證明：由知，，，
設點，其中且，，，
所以直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立，得，
所以，化簡得，
所以，
所以點，
同理可得，點，
所以直線的斜率，
直線的方程為，
令，則，即點，
所以，，
故，為定值． 【解析】當點為橢圓的上或下頂點時，的面積取得最大值，再結合橢圓的幾何性質，求得的值，即可；
設點，其中且，寫出直線和的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理，求得點和的坐標，再推出直線的方程，從而得點的坐標，然后由斜率公式，計算的值，即可．
本題考查直線與橢圓位置關系中的定值問題，熟練掌握直線與橢圓方程聯(lián)立解決問題的方法，橢圓的幾何性質是解題的關鍵，計算量十分大，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于難題．
 22.【答案】解：因為，所以．
若，則在上恒成立，故在上單調遞增，不存在最小值．
若，則當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增．
故，解得或舍去．
證明：因為，所以由可知，，，
令函數(shù)，則在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，故，即，
所以有兩個不同的零點，．
不妨令，則．
由，解得，
則，
所以要證，即證，
即證．
令，令函數(shù)，
則，
所以在上單調遞增，故，
所以，即． 【解析】通過函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性求解函數(shù)的最小值即可推出結果．
通過推出，令函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，推出，有兩個不同的零點，求解，然后利用分析法，結合構造函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)轉化求解即可．
本題考查函數(shù)導數(shù)的應用，構造法以及二次導函數(shù)的應用，考查分析問題解決問題的能力，是難題．
 

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