絕密★啟用前2021-2022學(xué)年云南省麗江市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。
3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）若，則(    )A.  B.  C.  D. 某中學(xué)有高中生人，初中生人．為了了解學(xué)生的身體狀況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從該校學(xué)生中抽取容量為的樣本，其中高中生有人，那么等于(    )A.  B.  C.  D. 設(shè)全集，集合，，則(    )A.  B.  C.  D. 若，，則(    )A.  B.  C.  D. 函數(shù)的圖像可能是(    )A.  B.
C.  D. 已知向量，，則“”是“與的夾角為銳角”的(    )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問(wèn)題：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問(wèn)日增幾何？”，該問(wèn)題中，善走男第日所走的路程里數(shù)是．(    )A.  B.  C.  D. 已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，且，則(    )A.  B.  C.  D. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為(    )A.  B.
C.  D. 直線(xiàn)分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓，則面積的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 若，則(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）設(shè)向量，的夾角為，且，，則______．展開(kāi)式中的系數(shù)為______ ．已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則實(shí)數(shù)的值為______．如圖，是正方體的一個(gè)“直角尖”兩兩垂直且相等棱的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則當(dāng)與所成角為最小時(shí)，：______．
   三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）已知遞增的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列．
Ⅰ求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
Ⅱ設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面底面，為的中點(diǎn)，．
求證：平面；
求二面角的大?。?/span>
某校從參加考試的學(xué)生中抽出名學(xué)生，將其成績(jī)均為整數(shù)分成六組，，，后，畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：
Ⅰ求成績(jī)落在上的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
Ⅱ估計(jì)這次考試的平均分，中位數(shù)和眾數(shù)；
Ⅲ為調(diào)查某項(xiàng)指標(biāo)，從成績(jī)?cè)?/span>，分?jǐn)?shù)段組的學(xué)生中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取人，再?gòu)倪@人中選人進(jìn)行對(duì)比，求選出的這名學(xué)生來(lái)自同一分?jǐn)?shù)段的概率．
已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ若，是上兩點(diǎn)，直線(xiàn)與圓相切，求的取值范圍．已知函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由題意，
，
故選：．
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，即可解出．
本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：由分層抽樣的性質(zhì)得：，
解得．
故選：．
利用分層抽樣的性質(zhì)列出方程，由此能求出結(jié)果．
本題考查分層抽樣方法，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
故選：．
根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解．
本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
故選：．
利用二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可解出．
本題考查了三角函數(shù)的求值，二倍角公式，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，
，則是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，，排除，
故選：．
判斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性，利用極限思想進(jìn)行判斷即可．
本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性以及極限思想進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：與的夾角為銳角，
，且，
且，
則“”是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件，
故選：．
先求出與的夾角為銳角的等價(jià)條件，再利用充要條件的定義判定即可．
本題考查了向量夾角為銳角的求法，充要條件的判定，屬于中檔題．
 7.【答案】 【解析】解：今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，
設(shè)善走男每天走的路程為，則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，
由題意，，可得，
解得該善走男第日所走的路程里數(shù)為，
故選：．
由題意，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求出公差．
本題考查等差數(shù)列的公差的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：，為正實(shí)數(shù)，且，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
的最小值是，
故選：．
利用乘“”法，再結(jié)合基本不等式求最值即可．
本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 9.【答案】 【解析】解：由題意，使用移動(dòng)支付的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，
則，解得或，
又，即，化簡(jiǎn)得，解得，所以．
．
故選：．
說(shuō)明使用移動(dòng)支付的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，利用，求出概率，通過(guò)，列出不等式，判斷概率，最后求期望即可．
本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬于中檔題．
 10.【答案】 【解析】解：當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，
是偶函數(shù)，
不等式等價(jià)為，
即，得或，
得或，
即不等式的解集為，
故選：．
根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：易得，，所以，
由圓，得，圓心為，半徑為，
圓心到直線(xiàn)的距離，
所以的最小值為：；最大值為，
故選：．
將面積的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)的距離加減半徑可得．
本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．
 12.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>；
因?yàn)?/span>即；
令，由指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得在內(nèi)單調(diào)遞增；
且；
故選：．
先根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到；再借助于函數(shù)的單調(diào)性即可求解結(jié)論．
本題主要考查指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 13.【答案】 【解析】解：因?yàn)橄蛄?/span>的夾角為，且，
所以，
所以．
故答案為：．
根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得．
本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算律，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
令，可得，
所以展開(kāi)式中的系數(shù)為．
故答案為：
由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)即可求解．
本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：由，得，
，
曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，
，解得．
故答案為：．
求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，再由兩直線(xiàn)垂直與斜率的關(guān)系列式求解值．
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，考查兩直線(xiàn)垂直與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
 16.【答案】： 【解析】解：根據(jù)題意，，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：

設(shè)，則，，，，，，
不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
則，
又，
設(shè)直線(xiàn)，所成角為，則，
則，
令，令，
則，
令，則，此時(shí)，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最小，點(diǎn)，
則，故，則，
即：：，
故答案為：：．
根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求得與夾角的余弦值關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，求得角度最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可代值計(jì)算求解結(jié)果
本題考查了異面直線(xiàn)所成角的應(yīng)用，屬于綜合題．
 17.【答案】解：遞增的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列；
所以，解得：；
所以；
由得：；
所以． 【解析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
利用裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的的求法，數(shù)列的求和，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
 18.【答案】解：Ⅰ由題意得：，
即，
由正弦定理可得，
所以，所以；
Ⅱ根據(jù)條件，由正弦定理得：，
即，
，整理得：，
而，所以，
． 【解析】Ⅰ運(yùn)用正弦定理和余弦定理即可求解；
Ⅱ運(yùn)用正弦定理和輔助角公式即可求解．
本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 19.【答案】證明：如圖所示，將四棱錐放入一個(gè)長(zhǎng)方體，
設(shè)長(zhǎng)方體的高為，則，，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，
，
設(shè)平面的法向量為，則，
據(jù)此可得平面的法向量，
且，，
從而有平面．
設(shè)平面的法向量為，
則，
據(jù)此可得，
故二面角的余弦值為，
則． 【解析】由題意首先將圖形補(bǔ)行為長(zhǎng)方體，然后利用空間向量即可證得線(xiàn)面平行；
首先確定兩個(gè)半平面的法向量，然后求解面積的余弦值即可確定二面角的大?。?/span>
本題主要考查線(xiàn)面平行的證明，空間向量及其應(yīng)用，二面角的相關(guān)計(jì)算等知識(shí)，屬于中等題．
 20.【答案】解：Ⅰ由題意得，
所以這一組在頻率分布直方圖上的高為，
補(bǔ)全的頻率分布直方圖如下所示：

Ⅱ平均分為：，
前三組的頻率之和為，第四組頻率為，所以中位數(shù)在第四組，中位數(shù)為：，
第四組頻率最大，所以眾數(shù)為：；
Ⅲ成績(jī)?cè)?/span>有人，成績(jī)?cè)?/span>有人，
現(xiàn)按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取人，則成績(jī)?cè)?/span>抽取的人數(shù)為人，成績(jī)?cè)?/span>抽取的人數(shù)為人，
從這人中選人有種選法，選出的這名學(xué)生來(lái)自同一分?jǐn)?shù)段有種，
所以，選出的這名學(xué)生來(lái)自同一分?jǐn)?shù)段的概率為． 【解析】Ⅰ由各組的頻率和為，可求出上的頻率，從而可補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
Ⅱ直接由平均數(shù)的公式計(jì)算平均數(shù)，由前三組的頻率之和為，第四組頻率為，知中位數(shù)在第組，從而可求出中位數(shù)，由于第組的頻率最大，所以眾數(shù)在第組；
Ⅲ根據(jù)頻率分布直方圖求出，的人數(shù)，然后利用分層抽樣的定義，可求出各組抽取的人數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解即可．
本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 21.【答案】解：Ⅰ由題意得，，解得，
所以的方程為．
Ⅱ圓的圓心為，半徑圓，
當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，方程為或，
于是有或，
解得，
所以．
當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，方程為或，
于是有或
解得，
所以．
當(dāng)直線(xiàn)的斜率不為時(shí)，設(shè)斜率為，方程為，即，
因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，
所以，得，
聯(lián)立方程組，消并化簡(jiǎn)得，
，
設(shè)，，則，
所以，
而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，所以，
綜上所述，的取值范圍是． 【解析】Ⅰ根據(jù)已知條件求得，，，由此可求得橢圓的方程．
Ⅱ對(duì)直線(xiàn)斜率分成不存在、直線(xiàn)的斜率為、直線(xiàn)的斜率不為三種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合弦長(zhǎng)公式、基本不等式求得的取值范圍．
本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線(xiàn)與圓、與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．
 22.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，
，設(shè)，
因?yàn)?/span>，可得在上遞增，即在上遞增，
因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可得；
當(dāng)時(shí)，可得恒成立，
設(shè)，則，
可設(shè)，可得，令，，
由，可得恒成立，可得在遞增，
所以，
即恒成立，即在遞增，所以，
再令，可得，當(dāng)時(shí)，，在遞增；
時(shí)，，在遞減，
所以，
所以，
綜上可得的取值范圍是． 【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和最值，考查構(gòu)造函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)中的恒成立與存在性問(wèn)題，主要考查分類(lèi)討論思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力、推理能力，屬于難題．
求得時(shí)，的解析式，兩次對(duì)求得導(dǎo)數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可得到所求單調(diào)性；
討論，不等式恒成立；時(shí)，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性和最值，進(jìn)而得到所求范圍．
 

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