專題05  平面解析幾何1．（2021·廣東珠海高三月考）已知點(diǎn)，且是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，，當(dāng)在的正上方時(shí)，等號(hào)成立.故選：D2．（2021·廣東廣州高三月考）雙曲線C：的一條漸近線方程為x+2y=0，則C的離心率為（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】雙曲線C：的一條漸近線方程為x+2y=0，即，因此有，故選：A3．（2021·浙江舟山高三月考）已知正方體的棱長(zhǎng)為，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點(diǎn)，，，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，，由題意可知，平面，則，令，可得；令，可得.所以，點(diǎn)的軌跡交線段于點(diǎn)，交線段的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選：B.4．（2021·遼寧撫順市第二中學(xué)高三月考）在撫順二中運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式中，某班級(jí)的“蝴蝶振翅”節(jié)目獲得一致稱贊，其形狀近似于雙曲線，在“振翅”過(guò)程中，雙曲線的漸近線與對(duì)稱軸的夾角為某一范圍內(nèi)變動(dòng)，，則該雙曲線的離心率取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】雙曲線的漸近線為，由題可知雙曲線的漸進(jìn)線方程傾斜角的范圍是，，，即，故選：C5．（2021·河北滄州高三月考）已知直線：，：與圓：分別交于點(diǎn)，與，，若四邊形是正方形，則（    ）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意知圓心在直線上，所以.又，兩直線間的距離，且四邊形是正方形，所以，解得，所以.故選:A6．（2021·湖北黃石高三質(zhì)檢）P為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的最小值為（    ）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】C【解析】如圖，圓C的圓心C為（2,0），半徑r=2， ，則當(dāng)點(diǎn)P位于雙曲線左支的頂點(diǎn)時(shí)，最小，即最小.此時(shí)的最小值為：.故選：C.7．（2021·湖南湘潭高三一模）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則的方程為（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【解析】設(shè)為，則，又由，所以，因?yàn)?/span>，所以，可得，由，聯(lián)立方程組，消去，可得，所以，故，又由，所以，即，解得或，所以的方程為或．故選：A．8．（2021·廣東荔灣高三月考）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是其一條漸近線上一點(diǎn)，且以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，漸近線為，可令，而，，∴，，又， ∴.故選：C9．（2021·廣東茂名高三月考）已知圓：，過(guò)直線：上一點(diǎn)Р作圓的切線，切點(diǎn)依次為A，B，若直線上有且只有一點(diǎn)Р使得，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則（    ）A．-20 B．20或12 C．-20或-12 D．12【答案】A【解析】∵這樣的點(diǎn)是唯一的，則，即為到直線：的距離，而圓的半徑為2且，∴要使，則，又，即，∴，故．故選：A．10．（2021·重慶西南大學(xué)附中高三月考）若已知直線：與圓：交于兩點(diǎn)，則“”是“弦所對(duì)圓心角為”的(    )A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由圓：，故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，直線：化成一般式為：，①若，則直線：，即，所以圓心到直線的距離，所以由圓的弦長(zhǎng)公式得，，所以，故，從而弦所對(duì)圓心角為；②若弦所對(duì)圓心角為，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形，易得，圓心到直線的距離，又因?yàn)?/span>，故，從而“”是“弦所對(duì)圓心角為”的充分不必要條件.故選：A.11．（2021·湖南師大附中高三月考）祖原理也稱祖氏原理，是我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅提出的一個(gè)求積的著名命題：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處截面積相等，則體積相等.滿足的點(diǎn)組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，由曲線，，圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則?滿足以下哪個(gè)關(guān)系式（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖可知：當(dāng)雙曲線方程為：，高度為時(shí)，雙曲線與漸近線旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形是圓環(huán)，其中小圓環(huán)的半徑即是，所以小圓面積為：，而大圓半徑可以由：求出，即：，所以大圓的面積為：，所以圓環(huán)的面積為：，為定值，所以由祖暅原理知等軸雙曲線與漸近線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體體積，與底面半徑為，高為的圓柱體體積一致，而球體體積，所以，.故選：B.12．（2021·河北滄州高三月考）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)是，則（    ）A． B．C． D．點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)【答案】AB【解析】對(duì)于A，設(shè)，，由得：，，又線段的中點(diǎn)為，，解得：，A正確；對(duì)于B，在直線上，，B正確；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，又，，，在以為直徑的圓上，D錯(cuò)誤.故選：AB.13．（2021·湖南湘潭高三一模）已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)為，，右頂點(diǎn)為，則下列結(jié)論中，正確的有（    ）A．若，則的離心率為B．若以為圓心，為半徑作圓，則圓與的漸近線相切C．若為上不與頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，則的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)D．若為直線（）上縱坐標(biāo)不為0的一點(diǎn)，則當(dāng)的縱坐標(biāo)為時(shí)，外接圓的面積最小【答案】ABD【解析】對(duì)于A中，因?yàn)?/span>，所以，故的離心率，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?/span>到漸近線的距離為，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)內(nèi)切圓與的邊分別切于點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的右支上時(shí)，可得，解得，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的左支上時(shí)，可得，所以的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)，所以C不正確；對(duì)于D中，由正弦定理，可知外接圓的半徑為，所以當(dāng)最大時(shí)，最小，因?yàn)?/span>，所以為銳角，故最大，只需最大．由對(duì)稱性，不妨設(shè)（），設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，在直角中，可得，在直角中，可得，又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值，由雙曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，所以D正確．故選：ABD．14．（2021·南京市中華中學(xué)高三月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)拋物線x2=2y的焦點(diǎn)的直線l與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(    )A．y1y2=B．以AB為直徑的圓與直線相切C．OA+OB的最小值D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與x軸垂直的直線與直線OA交點(diǎn)一定在定直線上【答案】ABD【解析】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為：，且直線斜率一定存在，不妨設(shè)直線：，由，從而，，所以，故A正確；因?yàn)?/span>，所以由拋物線定義可知，，且中點(diǎn)，從而到直線的距離為，從而以AB為直徑的圓與直線相切，故B正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，易得，，故的值為，故C錯(cuò)誤；由題意,易知直線：，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與x軸垂直的直線為：，從而經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與x軸垂直的直線與直線OA的交點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，所以，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與x軸垂直的直線與直線OA的交點(diǎn)為，即在直線上，故D正確.故選：ABD.15．（2021·福建莆田高三月考）已知點(diǎn)，直線：，圓：，過(guò)點(diǎn)分別作圓的兩條切線，（，為切點(diǎn)），在的外接圓上．則（    ）A．直線的方程是 B．被圓截得的最短弦的長(zhǎng)為C．四邊形的面積為 D．的取值范圍為【答案】BD【解析】對(duì)于A，圓的圓心坐標(biāo)為，，則的中點(diǎn)為，，則以為直徑的圓的方程為，又圓：，兩式作差可得直線的方程是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線：可化為，聯(lián)立，解得直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，又，所以的最小值為，故B正確；對(duì)于C，四邊形的對(duì)角線、互相垂直，則四邊形的面積，因?yàn)?/span>，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意知，的外接圓恰好是經(jīng)過(guò)、、、四點(diǎn)的圓，因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為外接圓的圓心，所以圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離最小值是，最大值是，所以的取值范圍為，故D正確．故選：BD．16．（2021·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）已知點(diǎn)是圓：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．點(diǎn)的軌跡是橢圓B．點(diǎn)的軌跡是雙曲線C．當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，的面積D．當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，的面積【答案】BCD【解析】依題意，，，因線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，于是得，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，從而得，由雙曲線的定義知，點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故A錯(cuò)，B對(duì)；選項(xiàng)C，點(diǎn)的軌跡方程為，當(dāng)時(shí)，，所以，故C對(duì)；選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，所以，故D對(duì)，故選：BCD.17．（2021·福建高三月考）過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______．【答案】【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，分別過(guò)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，則有．過(guò)的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則為直角梯形中位線，則，即，解得.所以的橫坐標(biāo)為．故答案為：．18．（2021·重慶北碚·西南大學(xué)附中高三月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)M為拋物線的弦ON的中點(diǎn)，在拋物線C上點(diǎn)N處的切線交x軸于點(diǎn)P，且，則的值為___________.【答案】2【解析】設(shè)點(diǎn)，由M為ON的中點(diǎn)，所以，因?yàn)閽佄锞€，即，則，所以拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為：，即，令，解得，所以切線與軸的交點(diǎn)，所以，，所以，則.故答案為：2.19．（2021·重慶市秀山高級(jí)中學(xué)校高三月考）曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則 __________.【答案】2【解析】的導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)處的切線的斜率為，由切線與直線垂直，可得，解得故答案為：220．（2021·廣東深圳市龍崗區(qū)平岡中學(xué)高三月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交軸的正半軸于點(diǎn)，且為正三角形，則___________.【答案】2【解析】由題意可知，當(dāng)在焦點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，，又，所以，解得；當(dāng)在焦點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，同理可得，此時(shí)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，不合題意.故答案為：2.21．（2021·廣東珠海市第二中學(xué)高三月考）給出下列命題：①已知服從正態(tài)分布，且，則；②是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則；③已知直線，，則的充要條件是；④已知，，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的最小值是.其中正確命題的序號(hào)是___________（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）.【答案】①②【解析】對(duì)于①，，所以，所以，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?/span>，且在上單調(diào)遞增，所以，即，所以②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，滿足與垂直，但不成立，故③不正確；對(duì)于④，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是，故④不正確.故答案為：①②22．（2021·江蘇省如皋中學(xué)高三月考）已知圓和圓與軸和直線相切，兩圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，已知兩圓半徑的乘積為，則的值為___________.【答案】【解析】由題設(shè)，圓和圓與軸和直線相切，且一個(gè)交點(diǎn)，∴和在第一象限，若分別是圓和圓的半徑，可令，，，∴，易知：是的兩個(gè)根，又，∴，可得，則，而直線的傾斜角是直線的一半，∴.故答案為：. 
 

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