簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞[考試要求]　1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定．1．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的或、且、非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞．(2)命題p且q、p或q、非p的真假判斷pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真提醒：“命題的否定”與“否命題”的區(qū)別(1)命題的否定只是否定命題的結(jié)論，而否命題既否定其條件，也否定其結(jié)論．(2)命題的否定與原命題的真假總是相對立的，即一真一假，而否命題與原命題的真假無必然聯(lián)系．2．全稱量詞和存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“?”表示．(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“?”表示．3．全稱命題、特稱命題及含有一個量詞的命題的否定命題名稱語言表示符號表示命題的否定全稱命題對M中任意一個x，有p(x)成立?x∈M，p(x)?x0∈M， p(x0)特稱命題存在M中的一個x0，使p(x0)成立?x0∈M，p(x0)?x∈M， p(x)提醒：含有一個量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷規(guī)律(1)p∨q：“有真則真，全假才假”，即p，q中只要有一個真命題，則p∨q為真命題，只有p，q都是假命題時，p∨q才是假命題．(2)p∧q：“有假則假，全真才真”，即p，q中只要有一個假命題，則p∧q為假命題，只有p，q都是真命題時，p∧q才是真命題．(3)p：p與p的真假相反．一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)　(1)命題“3≥2”是真命題． (　　)(2)若命題p∧q為假命題，則命題p，q都是假命題． (　　)(3)“全等的三角形面積相等”是全稱命題． (　　)(4)命題“菱形的對角線相等”的否定是“菱形的對角線不相等”． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×二、教材習(xí)題衍生1．命題“?x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)A．?x0∈R，x＋x0≤0   B．?x0∈R，x＋x0＜0C．?x∈R，x2＋x≤0   D．?x∈R，x2＋x＜0B　[由全稱命題的否定是特稱命題知選項(xiàng)B正確．故選B．]2．已知p：2是偶數(shù)，q：2是質(zhì)數(shù)，則命題p， q，p∨q，p∧q中真命題的個數(shù)為(　　)A．1    B．2    C．3    D．4B　[p和q顯然都是真命題，所以p， q都是假命題，p∨q，p∧q都是真命題．]3．下列命題中的假命題是(　　)A．?x0∈R，lg x0＝1   B．?x0∈R，sin x0＝0C．?x∈R，x3＞0   D．?x∈R,2x＞0C　[當(dāng)x＝10時，lg 10＝1，則A為真命題；當(dāng)x＝0時，sin 0＝0，則B為真命題；當(dāng)x≤0時，x3≤0，則C為假命題；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，?x∈R,2x＞0，則D為真命題．故選C．]4．命題“實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是________．存在一個實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)　[全稱命題的否定是特稱命題，故應(yīng)填：存在一個實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)．]考點(diǎn)一　全稱命題、特稱命題                   　1．全稱命題與特稱命題的否定(1)改量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進(jìn)行改寫．(2)否結(jié)論：對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定．2．全稱命題與特稱命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱命題真所有對象使命題真否定為假假存在一個對象使命題假否定為真特稱命題真存在一個對象使命題真否定為假 　全稱命題、特稱命題的否定[典例1－1]　(1)命題“?x＞0，＞0”的否定是(　　)A．?x＜0，≤0   B．?x＞0,0≤x≤1C．?x＞0，≤0   D．?x＜0,0≤x≤1(2)已知命題p：?m∈R，f(x)＝2x－mx是增函數(shù)，則p為(　　)A．?m∈R，f(x)＝2x－mx是減函數(shù)B．?m∈R，f(x)＝2x－mx是減函數(shù)C．?m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函數(shù)D．?m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函數(shù)(1)B　(2)D　[(1)因?yàn)?/span>＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命題的否定是?x＞0,0≤x≤1，故選B．(2)由特稱命題的否定可得p為“?m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函數(shù)”．]點(diǎn)評：(1)＞0的否定不是≤0，而是≤0或x＝1，可先求出不等式＞0的解集，再寫＞0的否定．(2)改寫量詞時自變量的范圍不變．　全稱命題、特稱命題的真假判斷[典例1－2]　(1)下列命題中的假命題是(　　)A．?x∈R，x2≥0B．?x∈R,2x－1＞0C．?x0∈R，lg x0＜1D．?x0∈R，sin x0＋cos x0＝2(2)下列四個命題：p1：?x0∈(0，＋∞)，＜；p2：?x0∈(0,1)，logx0＞logx0；p3：?x∈(0，＋∞)，＞logx；p4：?x∈，＜logx.其中的真命題是(　　)A．p1，p3    B．p1，p4    C．p2，p3    D．p2，p4(1)D　(2)D　[(1)A顯然正確；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知2x－1＞0恒成立，所以B正確；當(dāng)0＜x＜10時，lg x＜1，所以C正確；因?yàn)閟in x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D錯誤．(2)對于p1，當(dāng)x0∈(0，＋∞)時，總有＞成立，故p1是假命題；對于p2，當(dāng)x0＝時，有1＝log＝log＞log成立，故p2是真命題；對于p3，結(jié)合指數(shù)函數(shù)y＝與對數(shù)函數(shù)y＝logx在(0，＋∞)上的圖象，可以判斷p3是假命題；對于p4，結(jié)合指數(shù)函數(shù)y＝與對數(shù)函數(shù)y＝log x在上的圖象可以判斷p4是真命題．]點(diǎn)評：因?yàn)槊}p與p的真假性相反，因此不管是全稱命題，還是特稱命題，當(dāng)其真假不容易正面判斷時，可先判斷其否定的真假．1．命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2D　[改寫量詞為：?x∈R，?n∈N*，否定結(jié)論為：n＜x2，故選D．]2．在下列給出的四個命題中，為真命題的是(　　)A．?a∈R，?b∈Q，a2＋b2＝0B．?n∈Z，?m∈Z，nm＝mC．?n∈Z，?m∈Z，n＞m2D．?a∈R，?b∈Q，a2＋b2＝1B　[對于A：當(dāng)a＝2時，a2＋b2＝0不成立，故A錯誤；對于B：當(dāng)m＝0時，nm＝m恒成立，故B正確；對于C：當(dāng)n＝－1時，n＞m2不成立，故C錯誤；對于D：當(dāng)a＝2時，a2＋b2＝1不成立，故D錯誤．]考點(diǎn)二　含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題                 判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的三個步驟[典例2]　(1)在一次跳高比賽前，甲、乙兩名運(yùn)動員各試跳了一次．設(shè)命題p表示“甲的試跳成績超過2米”，命題q表示“乙的試跳成績超過2米”，則命題p∨q表示(　　)A．甲、乙兩人中恰有一人的試跳成績沒有超過2米B．甲、乙兩人中至少有一人的試跳成績沒有超過2米C．甲、乙兩人中兩人的試跳成績都沒有超過2米D．甲、乙兩人中至少有一人的試跳成績超過2米(2)已知命題p：?x0∈R，使得lg cos x0＞0；命題q：?x＜0,3x＞0，則下列命題為真命題的是(　　)A．p∧q   B．p∨(q)C．(p)∧(q)   D．p∨q(1)D　(2)D　[(1)p∨q表示甲的試跳成績超過2米或乙的試跳成績超過2米．即甲、乙兩人中至少有一人的試跳成績超過2米，故選D．(2)由－1≤cos x≤1，得lg cos x≤0，所以命題p為假命題．當(dāng)x∈R時，3x＞0，故命題q為真命題．所以p∨q為真命題，p∧q為假命題，p∨(q)為假命題，(p)∧(q)為假命題，故選D．]1．“a2＋b2≠0”的含義為(　　)A．a(chǎn)和b都不為0B．a(chǎn)和b至少有一個為0C．a(chǎn)和b至少有一個不為0D．a(chǎn)不為0且b為0，或b不為0且a為0C　[a2＋b2＝0?a＝0且b＝0，因此a2＋b2≠0?a≠0或b≠0，故選C．]2．已知命題p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要條件；命題q：?x0∈R，|x0＋1|≤x0，則(　　)A．(p)∨q為真命題B．p∧(q)為假命題C．p∧q為真命題D．p∨q為真命題D　[由a＞b?2a＞2b知，命題p是真命題，對x0∈R，都有|x0＋1|＞x0，因此命題q是假命題，從而p∨q為真命題，故選D．]考點(diǎn)三　根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍       1．根據(jù)復(fù)合命題的真假求參數(shù)的步驟(1)根據(jù)題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況)．(2)求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍．(3)根據(jù)給出的復(fù)合命題的真假推出每個命題的真假情況，從而求出參數(shù)的取值范圍．2．根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的思路與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時，一般先利用等價轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．[典例3]　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]　由p∨q為假命題知p、q均為假命題，則p為真命題，即?x∈R，mx2＋1＞0為真命題，則有m≥0，當(dāng)q為真命題時，有Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2，因此由p，q均為假命題得即m≥2.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[2，＋∞)．[母題變遷]1．在本例條件下，若p∧q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]　依題意知p，q均為真命題，當(dāng)p是真命題時，有m＜0；當(dāng)q是真命題時，有－2＜m＜2，由可得－2＜m＜0.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－2,0)．2．在本例條件下，若p∧q為假，p∨q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]　若p∧q為假，p∨q為真，則p，q一真一假．當(dāng)p真q假時所以m≤－2；當(dāng)p假q真時所以0≤m＜2.所以m的取值范圍是(－∞，－2]∪[0,2)．點(diǎn)評：(1)當(dāng)p是全稱(特稱)命題且為假命題時，要轉(zhuǎn)化為p為真命題去處理，無非轉(zhuǎn)化為恒成立或能成立問題．(2)對于“p∧q為假，p∨q為真”，建議先分別求出p，q為真的參數(shù)范圍，再分p真q假，p假q真討論．1．(2020·福建三校聯(lián)考)若命題“?x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[－，]　[命題“?x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命題，即“?x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命題，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.]2．已知p：x2＋2x－3＞0；q：＞1.若q∧p為真，則x的取值范圍是________．(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)　[由q∧p為真知p真，q假，當(dāng)p為真命題時，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，而q為真命題時，由＞1解得2＜x＜3.則p真q假時有，解得x≥3或1＜x≤2或x＜－3.所以x的取值范圍是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．]   

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