函數(shù)性質(zhì)的綜合問題考點一　函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性         函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合問題解題思路(1)解決比較大小、最值問題應(yīng)充分利用奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(2)解決不等式問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成f (x1)＞f (x2)或f (x1)＜f (x2)的形式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，列出不等式(組)，要注意函數(shù)定義域?qū)?shù)的影響．[典例1]　(1)(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)f (x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞減，則(　　)(2)函數(shù)f (x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f (1)＝－1，則滿足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范圍是(　　)A．[－2,2]　　　　　　 B．[－1,1]C．[0,4]   D．[1,3](1)C　(2)D　[(1)∵f (x)是定義域為R的偶函數(shù)，∴f (－x)＝f (x)．∴f ＝f (－log34)＝f (log34)．又∵log34＞log33＝1，且1＞2＞2＞0，∴l(xiāng)og34＞2＞2＞0.∵f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f (2)＞f (2)＞f (log34)＝f .故選C．(2)∵f (x)為奇函數(shù)，∴f (－x)＝－f (x)．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x－2)≤1，得f (1)≤f (x－2)≤f (－1)．又f (x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故選D．]點評：解答此類題目時，奇偶性的作用是把不在同一單調(diào)區(qū)間的自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上．1．函數(shù)y＝f (x)在[0,2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f (x＋2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是(　　)A．f (1)＜f ＜f B．f ＜f (1)＜f C．f ＜f ＜f (1)D．f ＜f (1)＜f B　[∵函數(shù)y＝f (x)在[0,2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f (x＋2)是偶函數(shù)，∴函數(shù)y＝f (x)在[2,4]上單調(diào)遞減，且在[0,4]上函數(shù)y＝f (x)滿足f (2－x)＝f (2＋x)，∴f (1)＝f (3)，f ＜f (3)＜f  ， 即f ＜f (1)＜f .]2．已知f (x)是定義在[2b,1－b]上的偶函數(shù)，且在[2b,0]上為增函數(shù)，則f (x－1)≤f (2x)的解集為(　　)A．   B．C．[－1,1]   D．B　[∵f (x)是定義在[2b,1－b]上的偶函數(shù)，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1.∵f (x)在[2b,0]上為增函數(shù)，即函數(shù)f (x)在[－2,0]上為增函數(shù)，故函數(shù)f (x)在(0,2]上為減函數(shù)，則由f (x－1)≤f (2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，解得－1≤x≤.由于定義域為[－2,2]， ∴解得∴－1≤x≤，故選B．]3．已知奇函數(shù)f (x)在x＞0時單調(diào)遞增，且f (1)＝0，若f (x－1)＞0，則x的取值范圍為(　　)A．{x|0＜x＜1或x＞2}B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜0或x＞3}D．{x|x＜－1或x＞1}A　[∵奇函數(shù)f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f (1)＝0，∴函數(shù)f (x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且f (－1)＝0，則－1＜x＜0或x＞1時，f (x)＞0；x＜－1或0＜x＜1時，f (x)＜0.∴不等式f (x－1)＞0即－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2，故選A．]考點二　函數(shù)的奇偶性與周期性                　利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值的策略已知f (x)是周期函數(shù)且為偶(奇)函數(shù)，求函數(shù)值，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解．[典例2]　(1)已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f (x＋2)＝－，若當(dāng)2≤x≤3時，f (x)＝x，則f (105.5)＝________.(2)設(shè)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，并且f (x)＝－f (x＋2)，若在區(qū)間[－2,0)∪(0,2]上，f (x)＝則f (2 022)＝________.(1)2.5　(2)0　[(1)由f (x＋2)＝－得f (x＋4)＝f [(x＋2)＋2]＝－＝f (x)，∴函數(shù)f (x)是周期為4的周期函數(shù)．∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5.(2)由f (x)＝－f (x＋2)，得f (x＋4)＝f [(x＋2)＋2]＝－f (x＋2)＝f (x)，∴函數(shù)f (x)是周期為4的周期函數(shù)．又f (x)是奇函數(shù)，則有即解得∴f (x)＝∴f (2 022)＝f (2)＝×2－1＝0.]設(shè)定義在R上的函數(shù)f (x)同時滿足以下條件：①f (x)＋f (－x)＝0；②f (x＋1)＝f (x－1)；③當(dāng)0≤x＜1時，f (x)＝2x－1，則f ＋f (1)＋f ＋f (2)＋f ＝________.－1　[由f (x)＋f (－x)＝0得f (－x)＝－f (x)，即函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，由f (x＋1)＝f (x－1)得f (x＋2)＝f (x)，即函數(shù)f (x)是周期為2的周期函數(shù)．所以f (0)＝0，f ＝f ，f (2)＝f (0)＝0，f ＝f .又f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝－f (1)，所以f (1)＝0.所以f ＋f (1)＋f ＋f (2)＋f ＝f ＋f ＋f ＝f ＝2－1＝－1.]考點三　函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用                   函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性的解題技法(1)函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性，一般是知二得一，特別是已知奇偶性和對稱性，一般要先確定周期性．(2)奇函數(shù)在x＝0處有意義，則一定有f (0)＝0，偶函數(shù)一定有f (|x|)＝f (x)，要注意這兩個結(jié)論在解題中的應(yīng)用．(3)如果f (x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱，且關(guān)于直線x＝b對稱，則函數(shù)f (x)的周期T＝4|a－b|.(類比y＝sin x的圖象)(4)如果f (x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱，且關(guān)于點(b,0)對稱，則函數(shù)f (x)的周期T＝2|a－b|.(類比y＝sin x的圖象)(5)若函數(shù)f (x)關(guān)于直線x＝a與直線x＝b對稱，那么函數(shù)的周期是2|b－a|.(類比y＝sin x的圖象)[典例3]　(1)已知函數(shù)f (x)對任意的x∈R都滿足f (x)＋f (－x)＝0，f 為偶函數(shù)，當(dāng)0＜x≤時，f (x)＝－x，則f (2 021)＋f (2 022)＝________.(2)已知f (x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f (1－x)＝f (1＋x)．若f (1)＝2，則f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________.(1)1　(2)2　[(1)由f (x)＋f (－x)＝0得f (－x)＝－f (x)，即函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，由f 為偶函數(shù)知f ＝f ，結(jié)合f (x)是奇函數(shù)，可得f ＝－f ，∴f (x＋3)＝－f (x)．∴f (x＋6)＝f (x)，即函數(shù)f (x)是周期為6的周期函數(shù)．∴f (2 021)＝f (－1)＝－f (1)＝1，f (2 022)＝f (0)＝0，∴f (2 021)＋f (2 022)＝1.(2)法一：(直接法)∵f (x)在(－∞，＋∞)上是奇函數(shù)，∴f (－x)＝－f (x)，∴f (1－x)＝－f (x－1)．由f (1－x)＝f (1＋x)，得－f (x－1)＝f (x＋1)，∴f (x＋2)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，∴函數(shù)f (x)是周期為4的周期函數(shù)．由f (x)為奇函數(shù)得f (0)＝0.又∵f (1－x)＝f (1＋x)，∴f (x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：(特例法)由題意可設(shè)f (x)＝2sin，作出f (x)的部分圖象如圖所示．由圖可知，f (x)的一個周期為4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.]點評：求和問題一般是先求一個周期的和，再求總和．1．已知奇函數(shù)f (x)的定義域為R，若f (x＋1)為偶函數(shù)，且f (1)＝2，則f (2 021)＋f (2 022)＝(　　)A．－2    B．－1    C．0    D．2D　[由f (x＋1)為偶函數(shù)得f (－x＋1)＝f (x＋1)，又函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，則f (x＋1)＝－f (x－1)，即f (x＋2)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝f (x)，即函數(shù)f (x)的周期為4，∴f (2 021)＝f (1)＝2，f (2 022)＝f (2)＝f (0)＝0，∴f (2 021)＋f (2 022)＝2，故選D．]2．定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f (x)＝f (2－x)及f (x)＝－f (－x)，且在[0,1]上有f (x)＝x2，則f ＝(　　)A．    B．    C．－    D．－D　[函數(shù)f (x)的定義域是R，f (x)＝－f (－x)，所以函數(shù)f (x)是奇函數(shù)．又f (x)＝f (2－x)，所以f (－x)＝f (2＋x)＝－f (x)，所以f (4＋x)＝－f (2＋x)＝f (x)，故函數(shù)f (x)是以4為周期的奇函數(shù)，所以f ＝f ＝f ＝－f .因為在[0,1]上有f (x)＝x2，所以f ＝＝，故f ＝－，故選D．] 核心素養(yǎng)2　用數(shù)學(xué)思維思考世界——用活函數(shù)性質(zhì)中的三個結(jié)論數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，通過運算能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展．通過常見的“二級結(jié)論”解決數(shù)學(xué)問題，可優(yōu)化數(shù)學(xué)運算的過程，使學(xué)生逐步形成規(guī)范化、程序化的思維品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神.  奇函數(shù)的最值性質(zhì) 已知函數(shù)f (x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對任意的x∈D，都有f (x)＋f (－x)＝0.特別地，若奇函數(shù)f (x)在D上有最值，則f (x)max＋f (x)min＝0，且若0∈D，則f (0)＝0.　設(shè)函數(shù)f (x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________.2　[顯然函數(shù)f (x)的定義域為R，f (x)＝＝1＋，設(shè)g(x)＝，則g(－x)＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]已知函數(shù)f (x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m等于(　　)A．0    B．2    C．4    D．8C　[f (x)＝＝2＋，設(shè)g(x)＝，因為g(x)定義域為R，關(guān)于原點對稱，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因為M＝f (x)max＝2＋g(x)max，m＝f (x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.] 抽象函數(shù)的周期性 (1)如果f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)，那么f (x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T＝2a.(2)如果f (x＋a)＝(a≠0)，那么f (x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T＝2a.(3)如果f (x＋a)＋f (x)＝c(a≠0)，那么f (x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T＝2a.　已知函數(shù)f (x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，有f (x＋3)＝－f (x)，且當(dāng)x∈(0,3)時，f (x)＝x＋1，則f (－2 017)＋f (2 018)＝(　　)A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0C　[因為函數(shù)f (x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f (－2 017)＝－f (2 017)，因為當(dāng)x≥0時，有f (x＋3)＝－f (x)，所以f (x＋6)＝－f (x＋3)＝f (x)，即當(dāng)x≥0時，自變量的值每增加6，對應(yīng)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)一次．又當(dāng)x∈(0,3)時，f (x)＝x＋1，∴f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2，f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3.故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝1.]已知f (x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f (x＋2)＝－，當(dāng)2≤x≤3時，f (x)＝x，則f ＝________.　[∵f (x＋2)＝－，∴f (x＋4)＝f (x)，∴f ＝f ，又2≤x≤3時，f (x)＝x，∴f ＝，∴f ＝.] 抽象函數(shù)的對稱性 已知函數(shù)f (x)是定義在R上的函數(shù)．(1)若f (a＋x)＝f (b－x)恒成立，則y＝f (x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，特別地，若f (a＋x)＝f (a－x)恒成立，則y＝f (x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(2)若函數(shù)y＝f (x)滿足f (a＋x)＋f (a－x)＝0，即f (x)＝－f (2a－x)，則f (x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱．　函數(shù)y＝f (x)對任意x∈R都有f (x＋2)＝f (－x)成立，且函數(shù)y＝f (x－1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，f (1)＝4，則f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值為________．4　[因為函數(shù)y＝f (x－1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，所以函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于原點對稱，所以f (x)是R上的奇函數(shù)，則f (x＋2)＝f (－x)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，故f (x)的周期為4.所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，f (2 016)＝f (504×4)＝f (0)＝0，f (2 018)＝f (504×4＋2)＝f (2)＝f (0)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4.]已知函數(shù)f (x)(x∈R)滿足f (x)＝f (2－x)，若函數(shù)y＝|x2－2x－3|與y＝f (x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則xi＝(　　)A．0　　　　B．m　　　　C．2m　　　　D．4mB　[∵函數(shù)f (x)(x∈R)滿足f (x)＝f (2－x)，故函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，函數(shù)y＝|x2－2x－3|的圖象也關(guān)于直線x＝1對稱，故函數(shù)y＝|x2－2x－3|與y＝f (x)圖象的交點也關(guān)于直線x＝1對稱，且相互對稱的兩點橫坐標(biāo)和為2.當(dāng)f (x)不過點(1,4)時，xi＝×2＝m，當(dāng)f (x)的圖象過點(1,4)時，xi＝×2＋1＝m.綜上，xi＝m.]  

相關(guān)學(xué)案

高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)第7節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)學(xué)案：

這是一份高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)第7節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)學(xué)案，共11頁。

高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)第6節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學(xué)案：

這是一份高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)第6節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學(xué)案，共10頁。

高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)第1節(jié)函數(shù)及其表示學(xué)案：

這是一份高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)第1節(jié)函數(shù)及其表示學(xué)案，共12頁。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

2022高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第4講函數(shù)性質(zhì)的綜合問題習(xí)題課學(xué)案文

2022高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第4講函數(shù)性質(zhì)的綜合問題習(xí)題課學(xué)案文
2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第4講函數(shù)性質(zhì)的綜合問題學(xué)案

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第4講函數(shù)性質(zhì)的綜合問題學(xué)案
2023屆高考一輪復(fù)習(xí)講義（文科）第二章　函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第2講　第3課時　函數(shù)性質(zhì)的綜合問題學(xué)案

2023屆高考一輪復(fù)習(xí)講義（文科）第二章　函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第2講　第3課時　函數(shù)性質(zhì)的綜合問題學(xué)案
2022版江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第2章 第4節(jié)　函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 Word版含答案學(xué)案

2022版江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第2章 第4節(jié)　函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 Word版含答案學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部