第3節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性一、教材概念·結論·性質重現(xiàn)1．函數(shù)的奇偶性的定義奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)條件設函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有－x∈D結論f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)圖像特點關于y軸對稱關于原點對稱1．函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．2．若f(x)≠0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價形式如下：(1)f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?＝1?f(x)為偶函數(shù)．(2)f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?＝－1?f(x)為奇函數(shù)．3．函數(shù)奇偶性常用結論(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性．2．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)T就叫做這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期(若不特別說明，T一般都是指最小正周期)．周期函數(shù)定義的實質存在一個非零常數(shù)T，使f(x＋T)＝f(x)為恒等式，即自變量x每增加一個T后，函數(shù)值就會重復出現(xiàn)一次．3．函數(shù)周期性的常用結論對f(x)定義域內任一自變量x，(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0)．4．函數(shù)圖像的對稱性(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝a對稱．(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖像關于直線x＝a對稱．(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關于點(b,0)中心對稱．二、基本技能·思想·活動體驗1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是函數(shù)的定義域關于坐標原點對稱．( √ )(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有f(0)＝0.( × )(3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝a對稱．( √ )2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上單調性也相同的是(　　)A．y＝－ B．y＝log2|x|C．y＝1－x2 D．y＝x3－1C　解析：函數(shù)y＝－3|x|為偶函數(shù)，在(－∞，0)上單調遞增．選項B的函數(shù)是偶函數(shù)，但其單調性不符合，只有選項C符合要求．3．已知f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)．當x∈[0,1]時，f(x)＝2x，則f 等于(　　)A．   B．  C． D．1B　解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函數(shù)f(x)的周期T＝2，所以f ＝f ＝2＝.4．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是(　　)A．－   B．  C． D．－B　解析：因為f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，所以a－1＋2a＝0，所以a＝. 又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.5．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－，當x∈(0,2]時，f(x)＝2x－1，則f(9)＝________.1　解析：因為f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝f(x)，得T＝4，f(9)＝f(1)＝1.考點1　函數(shù)奇偶性的判斷——基礎性)1．(多選題)設函數(shù)f(x)＝，則下列結論正確的是(　　)A．|f(x)|是偶函數(shù)  B．－f(x)是奇函數(shù)C．f(x)|f(x)|是奇函數(shù)  D．f(|x|)f(x)是偶函數(shù)ABC　解析：因為f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)．所以f(x)是奇函數(shù)．所以|f(x)|是偶函數(shù)，－f(x)是奇函數(shù)．因為f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函數(shù)，所以f(|x|)·f(x)是奇函數(shù)．故選ABC.2．已知函數(shù)f(x)＝則該函數(shù)的奇偶性是________．奇函數(shù)　解析：當x>0時，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；當x<0時，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．判斷函數(shù)奇偶性的常用方法(1)定義法：根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義來判斷．(2)圖像法：利用奇、偶函數(shù)圖像的對稱性來判斷．(3)性質法：利用在公共定義域內奇函數(shù)、偶函數(shù)的和、差、積的奇偶性來判斷．考點2　函數(shù)奇偶性的簡單應用——基礎性)1．若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝log2(x＋2)－1，則f(－6)＝(　　)A．2   B．4  C．－2   D．－4C　解析：根據(jù)題意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.2．(2019·全國卷Ⅱ)設f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ex－1，則當x<0時，f(x)＝(　　)A．e－x－1  B．e－x＋1C．－e－x－1  D．－e－x＋1D　解析：當x<0時，－x>0.因為當x≥0時，f(x)＝ex－1，所以 f(－x)＝e－x－1. 又因為 f(x)為奇函數(shù)，所以 f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.3．若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________.1　解析：令g(x)＝ln(x＋)，若f(x)＝x·g(x)為偶函數(shù)，則必有g(x)為奇函數(shù)，所以g(0)＝ln＝0，所以a＝1.經(jīng)驗證，a＝1滿足題意．應用函數(shù)奇偶性可解決的問題及解題方法(1)求函數(shù)值將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．(2)求解析式先將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關于待求參數(shù)的恒等式．由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進而得出參數(shù)的值．考點3　函數(shù)的周期性——綜合性(1)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋4)＝f(x)．當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2，則f(2 023)＝________.－1　解析：因為f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期T＝4. 又f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)．若對于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2 019)＋f(2 021)的值為________．0　解析：當x≥0時，f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一個周期．所以f(－2 019)＝f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，f(2 021)＝f(1)＝log22＝1，所以f(－2 019)＋f(2 021)＝0.1．若本例(1)中的條件不變，則f(x)(x∈[2,4])的解析式是________．f(x)＝x2－6x＋8　解析：當x∈[－2,0]時，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. 所以f(x)＝x2＋2x.又當x∈[2,4]時，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2,4]時，f(x)＝x2－6x＋8.2．若將本例(2)中“f(x＋2)＝－”變?yōu)椤癴(x＋2)＝－f(x)”，則f(－2 019)＋f(2 021)＝________.0　解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4，所以f(－2 019)＝－1，f(2 021)＝1，所以f(－2 019)＋f(2 021)＝0.函數(shù)周期性有關問題的求解策略(1)求解與函數(shù)的周期性有關的問題，應根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)周期函數(shù)的圖像具有周期性，如果發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)的圖像具有兩個對稱性(注意：對稱中心在平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數(shù)一定具有周期性．1．已知函數(shù)f(x)的圖像關于原點對稱，且周期為4，若f(－1)＝2，則f(2 021)＝(　　)A．2   B．0  C．－2   D．－4C　解析：因為函數(shù)f(x)的圖像關于原點對稱，且周期為4，所以f(x)為奇函數(shù)，所以f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.故選C.2．設定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③當0≤x<1時，f(x)＝2x－1.則f ＋f(1)＋f ＋f(2)＋f ＝________.－1　解析：依題意知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，則f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.所以f ＋f(1)＋f ＋f(2)＋f ＝f ＋0＋f ＋f(0)＋f ＝f －f ＋f(0)＋f ＝f ＋f(0)＝2－1＋20－1＝－1.考點4　函數(shù)性質的綜合應用——應用性考向1　函數(shù)的奇偶性與單調性綜合已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為(　　)A．a<b<c   B．c<b<aC．b<a<c   D．b<c<aC　解析：易知g(x)＝xf(x)在R上為偶函數(shù)．因為奇函數(shù)f(x)在R上單調遞增，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.考向2　函數(shù)奇偶性與周期性的綜合定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)A．(－∞，－3)   B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)   D．(1，＋∞)D　解析：因為f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定義在R上的以3為周期的函數(shù)，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故選D.考向3　函數(shù)單調性、奇偶性與周期性的綜合定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上單調遞減．設a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，則a，b，c的大小關系是(　　)A．a>b>c   B．c>a>bC．b>c>a   D．a>c>bD　解析：因為偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為2.所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因為－0.8<－0.5<－0.4，且函數(shù)f(x)在[－1,0]上單調遞減，所以a>c>b.故選D.解決函數(shù)的周期性、奇偶性與單調性結合的問題，通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，再利用奇偶性和單調性求解．1．設f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f＝________.－　解析：由題意可知，f ＝f ＝－f ＝－2××＝－.2．已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，且當x<0時，g(x)＝－ln(1－x)，函數(shù)f(x)＝若f(6－x2)>f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是________．(－3,2)　解析：因為g(x)是奇函數(shù)，所以當x>0時，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)．易知f(x)在R上是增函數(shù)，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，所以－3<x<2.    

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