2021-2022學(xué)年河南師范大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，若，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得的值.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可得.故選：D.2．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：B.3．函數(shù)f(x)＝exsinx的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的傾斜角為(　　)A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的斜率，再求切線的傾斜角.【詳解】因?yàn)?/span>f′(x)＝exsinx＋excosx所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的斜率為1.所以在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的傾斜角為.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為　　A． B． C． D．【答案】C【詳解】f′(x)＝，則f′(1)＝1，故函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，－2)處的切線方程為y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故選C5．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是（       ）A．y＝x3 B．y＝ln（－x）C．y＝xe－x D．y＝x＋ 【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及利用導(dǎo)數(shù)得出極值求解即可.【詳解】A、B為單調(diào)函數(shù)，不存在極值，C不是奇函數(shù)令，，則y＝x＋為奇函數(shù)，，當(dāng)或時，；當(dāng)或時，.故函數(shù)y＝x＋在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故y＝x＋存在極值.故選：D．6．已知的圖象如圖所示，則與的大小關(guān)系是（       ）A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f′(xA)，f′(xB)分別是切線在點(diǎn)A、B處切線的斜率，由圖象可知f′(xA)＜f′(xB)．故選：B7．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第十層球的個數(shù)為（       ）A．45 B．55 C．90 D．110【答案】B【分析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并將規(guī)律表達(dá)出來，第層有個球.【詳解】根據(jù)規(guī)律，可以得知：第一層有個球；第二層有個球；第三層有個球，則根據(jù)規(guī)律可知：第層有個球設(shè)第層的小球個數(shù)為，則有：故第十層球的個數(shù)為：故選：8．下面利用分析法證明問題的推理過程中不正確的是（       ）A．要證，只需證B．要證，只需證C．要證一元二次方程的兩個根都大于2，只需證，且D．要證a，b，c，為等差數(shù)列，只需證【答案】C【分析】根據(jù)題意，依次分析各選項(xiàng)中推理過程是否正確，即可得答案．【詳解】解：對A：且，是的充分條件，A正確；對B：若，變形可得，即，則是的充分條件，B 正確；對C：，且不能推出證一元二次方程的兩個根都大于2 ，如 ，C錯誤；對D：若，則為等差數(shù)列，所以是為等差數(shù)列充分條件，D正確；故選：C.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法求解.【詳解】當(dāng)時，左端，當(dāng)時，左端，，所以當(dāng)時，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上，故選：D10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于，原函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于，原函數(shù)單調(diào)遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得：時，，所以在單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)A、B，當(dāng)時，先正后負(fù)，所以在先增后減，因選項(xiàng)C是先減后增再減，故排除選項(xiàng)C，故選：D.11．若點(diǎn)P是函數(shù)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】當(dāng)過點(diǎn)P的切線和平行時，點(diǎn)P到的距離最小，令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于的斜率求出切點(diǎn)，再求切點(diǎn)到的距離即可.【詳解】解：當(dāng)過點(diǎn)P的切線和平行時，點(diǎn)P到的距離最小，的斜率為1，令，解得或，因?yàn)?/span>，所以，，所以曲線上和直線平行的切線的切點(diǎn)為，到直線的距離為最小距離，故選：A.【點(diǎn)睛】考查求曲線上一點(diǎn)到給定直線的距離的最小值求法，基礎(chǔ)題.12．已知函數(shù)，若f(x1)<f(x2)，則 (　 　)A． B． C． D．【答案】D【詳解】；∴f(x)在R上為偶函數(shù)；；∴x>0時,f′(x)>0；所以f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù)；而由f(x1)<f(x2)得,f(|x1|)<f(|x2|)；∴|x1|<|x2|；∴x21<x22.故選D.點(diǎn)睛： (1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．二、填空題13．(sinx＋cosx)dx＝__________．【答案】2【分析】由已知結(jié)合定積分的計(jì)算即可求解【詳解】(sinx＋cosx)dx＝－cosx+＝－＋＝2．故答案為：214．已知函數(shù)f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，則f′(1)＝________.【答案】8【詳解】∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.15．若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意知在上恒成立，從而結(jié)合一元二次不等式恒成立問題，可列出關(guān)于 的不等式，進(jìn)而可求其取值范圍.【詳解】解：由題意知，知在上恒成立，則只需，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題，考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的單調(diào)性.一般地，由增函數(shù)可得導(dǎo)數(shù)不小于零，由減函數(shù)可得導(dǎo)數(shù)不大于零.對于一元二次不等式在上恒成立問題，如若在上恒成立，可得 ；若在上恒成立，可得.16．若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【詳解】試題分析：∵函數(shù)f（x）=x2﹣ex﹣ax，∴f′（x）=2x﹣ex﹣a，∵函數(shù)f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴f′（x）=2x﹣ex﹣a＞0，即a＜2x﹣ex有解，令g′（x）=2﹣ex，g′（x）=2﹣ex=0，x=ln2，g′（x）=2﹣ex＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣ex＜0，x＞ln2∴當(dāng)x=ln2時，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．三、解答題17．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y＝（2）y＝【答案】（1） ；（2）【解析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則準(zhǔn)確求導(dǎo)即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算準(zhǔn)確求導(dǎo)即可.【詳解】（1）令，則，所以；（2）.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，注意公式的準(zhǔn)確記憶和使用，屬基礎(chǔ)題.18．（1）求定積分；（2）求圖中所示陰影部分的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用原函數(shù)求得定積分.（2）利用定積分求得陰影部分的面積.【詳解】（1）被積函數(shù)的一個原函數(shù)是，.（2）設(shè)所求圖形面積為,由圖看出是由左邊部分和右邊部分組成：其中，，所以.19．?dāng)?shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析.【分析】（1）根據(jù)遞推公式，得到，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，先求出，再由等差數(shù)列的求和公式，得到，根據(jù)放縮法，化，再由裂項(xiàng)求和，即可得出結(jié)論成立.【詳解】（1）證明：∵，∴，化簡得，即，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）知，所以，．因此．【點(diǎn)睛】本題主要考查證明數(shù)列是等差數(shù)列，考查裂項(xiàng)相消的方法求數(shù)列的和，屬于?？碱}型.20．已知曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為3，且時，有極值.(1)求切線的方程；(2)求函數(shù)在上的極值和最小值.【答案】(1)(2)極大值為7，無極小值，最小值為【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題意列出關(guān)于的方程組，求解得到的值，即可求出的解析式；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值和最小值即可．【詳解】(1)解： ，則得解得經(jīng)檢驗(yàn)時滿足題意，所以所以.所以，所以切線的方程為，即.(2)解：由（1）知，，令得；令得或.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上的極大值為，無極小值，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在的最小值為.所以在上的極大值為7，無極小值，最小值為.21．（1）已知a，b，c，為不全相等的正數(shù)，求證：．（2）已知a，b，為正數(shù)且，求證：．【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析；【分析】（1）根據(jù)式子左邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分析，對其分解、組合變形可利用基本不等式證明；（2）根據(jù)“1”的代換，再利用基本不等式證明即可.【詳解】證明：（1）a，b，c為不全相等的正數(shù)，即：，，且a，b，c不全相等，由基本不等式得：（2），，且 當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.22．設(shè)函數(shù)（其中）．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值：(2)當(dāng)時，證明函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn)．【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和，極大值為，極小值為；(2)證明見解析.【分析】（1）將代入得到的解析式，令導(dǎo)函數(shù)，，求解即可得到的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值的定義，即可得到函數(shù)的極值；（2）根據(jù)時，在上無零點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為證明在有且只有一個零點(diǎn)，對分和兩種情況進(jìn)行討論，即可證明結(jié)論．【詳解】(1)解：當(dāng)時，，，令，得，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和，極大值為，極小值為；(2)證明：（其中），，當(dāng)時，，則在上無零點(diǎn)，只需證明函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn)，①若，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，，，在有且只有一個零點(diǎn)；②若，則在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，，令，，則，，，則，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，，在上有且只有一個零點(diǎn)，綜上，在上有且只有一個零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（2）問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為證明在有且只有一個零點(diǎn)，對分和兩種情況進(jìn)行討論. 

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