2021-2022學年廣東省潮州市湘橋區(qū)九年級（下）期末數(shù)學試卷 題號一二三總分得分      一、選擇題（本大題共10小題，共30分）在下列四個實數(shù)中，最小的實數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 如圖所示的幾何體，它的左視圖是(    )A.
B.
C.
D. 截止到年月日，詮釋偉大抗美援朝精神的電影長津湖累計票房已突破億元，其中億用科學記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是(    )A.  B.
C.  D. 若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是(    )A.  B. ，且
C. ，且 D. 有兩個袋子，裝著形狀、大小相同的小球，其中甲袋有紅球個，白球個，乙袋有紅球個，白球個，從兩個袋中各隨機摸出一個球，兩個都是紅球的概率是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，?的對角線，相交于點，則下列結論一定正確的是(    )
A.  B.
C.  D. 如圖，中，，利用尺規(guī)在，上分別截取，，使；分別以，為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；作射線交于點若，為上一動點，則的最小值為(    )
A. 無法確定 B.  C.  D. 公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解周髀算經時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是，小正方形面積是，則(    )
 A.  B.  C.  D. 如圖，為的直徑，為上一點，其中，，為上的動點，連，取中點，連，則線段的最大值為(    )
 A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共7小題，共28分）計算：______．把多項式因式分解的結果是______．如圖，直線，如果，那么______．
 若，，則的值是______．已知，則 ______ ．如圖，菱形中，，，延長至，使，以為一邊，在的延長線上作菱形，連接，得到；再延長至，使，以為一邊，在的延長線上作菱形，連接，得到按此規(guī)律，得到，記的面積為，的面積為，的面積為，則______．
如圖，正方形中，對角線、交于點，的平分線交于，交于，于，交于，交于，連接、，以下結論：≌；四邊形是菱形；；，其中正確的結論是______只填序號 三、解答題（本大題共8小題，共62分）解方程組：．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為、、．
作出繞點逆時針旋轉得到的；
點運動的路徑的長為______直接寫出答案
為迎接建黨周年，某校組織學生開展了黨史知識競賽活動．競賽項目有：回顧重要事件；列舉革命先烈；講述英雄故事；歌頌時代精神．學校要求學生全員參加且每人只能參加一項，為了解學生參加競賽情況，隨機調查了部分學生，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖中信息解答下列問題：

本次被調查的學生共有______名，在扇形統(tǒng)計圖中“項目”所對應的扇形所占的百分比為______；
在扇形統(tǒng)計圖中“項目”所對應的扇形圓心角的度數(shù)為______，并把條形統(tǒng)計圖補充完整；
若該校有學生人，則估計參加“項目”講述英雄故事的學生共有______名．為做好新冠疫情的防控工作，某單位需購買甲、乙兩種消毒液，經了解每桶甲種消毒液的零售價比乙種消毒液的零售價多元，該單位以零售價分別用元和元采購了相同桶數(shù)的甲、乙兩種消毒液．
求甲、乙兩種消毒液的零售價分別是每桶多少元？
由于疫情防控進入常態(tài)化，該單位需再次購買兩種消毒液共桶，且甲種消毒液的桶數(shù)不少于乙種消毒液桶數(shù)的由于購買量大，甲、乙兩種消毒液分別獲得了元桶、元桶的批發(fā)價求甲種消毒液購買多少桶時，所需資金總額最少？最少總金額是多少元？如圖，平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點和．
求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
請直接寫出時的取值范圍；
過點作軸，于點，點是直線上一點，若，求點的坐標．
如圖，中，，以點為圓心，為半徑作，為上一點，連接、，，平分．
求證：是的切線；
延長、相交于點，若，求的值．
如圖，在矩形中，，，是邊上一點，連接，將矩形沿折疊，頂點恰好落在邊上點處，延長交的延長線于點．
求線段的長；
如圖，，分別是線段，上的動點與端點不重合，且，設，．
寫出關于的函數(shù)解析式，并求出的最小值；
是否存在這樣的點，使是等腰三角形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
 
已知拋物線．
證明：該拋物線與軸總有兩個不同的交點；
設該拋物線與軸的兩個交點分別為，點在點的右側，與軸交于點，，，三點都在上．
試判斷：不論取任何正數(shù)，是否經過軸上某個定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，說明理由；
若點關于直線的對稱點為點，點，連接，，，的周長記為，的半徑記為，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因為，
所以所給的四個實數(shù)中，最小的數(shù)是．
故選：．
正實數(shù)都大于，負實數(shù)都小于，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可．
此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：正實數(shù)負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而?。?/span>
 2.【答案】 【解析】解：從左邊看第一層是兩個小正方形，第二層左邊一個小正方形，
故選：．
根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．
本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．
 3.【答案】 【解析】解：億．
故選：．
科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)，當原數(shù)絕對值時，是負整數(shù)．
此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
則不等式組的解集為，
故選：．
分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
 5.【答案】 【解析】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，即，
解得：．
故選：．
根據(jù)方程為一元二次方程且有兩個不相等的實數(shù)根，結合一元二次方程的定義以及根的判別式即可得出關于的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結論．
本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，解題的關鍵是得出關于的一元一次不等式組．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)方程根的個數(shù)結合一元二次方程的定義以及根的判別式得出不等式組是關鍵．
 6.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

共種等可能的情況數(shù)，其中兩個都是紅球的有種，
則兩個都是紅球的概率是．
故選：．
畫樹狀圖展示所有種等可能的結果數(shù)，找出摸到兩個都是紅球的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果，再從中選出符合事件或的結果數(shù)目，然后利用概率公式計算事件或事件的概率．
 7.【答案】 【解析】解：平行四邊形對角線互相平分，A正確，符合題意；
平行四邊形鄰邊不一定相等，B錯誤，不符合題意；
平行四邊形對角線不一定互相垂直，C錯誤，不符合題意；
平行四邊形對角線不一定平分內角，D錯誤，不符合題意．
故選：．
根據(jù)平行四邊形的性質：對邊平行且相等，對角線互相平分進行判斷即可．
本題考查度數(shù)平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的對邊平行且相等，對角線互相平分是解題的關鍵．
 8.【答案】 【解析】解：如圖，過點作于．

由作圖可知，平分，
，，
，
根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為，
故選：．
如圖，過點作于根據(jù)角平分線的性質定理證明，利用垂線段最短即可解決問題．
本題考查作圖基本作圖，垂線段最短，角平分線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正方形的面積，難度適中．
根據(jù)正方形的面積公式可得大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，再根據(jù)直角三角形的邊角關系列式即可求解．
【解答】
解：大正方形的面積是，小正方形面積是，
大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，
，
，
．
故選：．  10.【答案】 【解析】【分析】
本題考查圓周角定理、軌跡、勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是正確尋找點的運動軌跡，學會構造輔助圓解決問題．
如圖，連接，作于首先證明點的運動軌跡為以為直徑的，連接，當點在的延長線上時，的值最大，利用勾股定理求出即可解決問題；
【解答】
解：如圖，連接，作于．

，
，
，
點的運動軌跡為以為直徑的，連接，
當點在的延長線上時，的值最大，
在中，，，
，，
在中，，
的最大值為，
故選：．  11.【答案】 【解析】解：

．
故答案為：．
首先計算零指數(shù)冪和絕對值，然后計算加法，求出算式的值即可．
此題還考查了零指數(shù)冪的運算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：；．
 12.【答案】 【解析】解：原式
．
故答案為：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．
 13.【答案】 【解析】解：，，
，

，
，
故答案為：．
根據(jù)補角的定義和平行線的性質求解．
此題主要考查平行線的性質和補角定義，關鍵是熟練地應用平行線的性質和補角定義解題．
 14.【答案】 【解析】解：，，
，
．
故答案為：．
根據(jù)同底數(shù)冪除法法則計算即可．
本題考查了同底數(shù)冪除法，熟記法則是解題的關鍵，同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．
 15.【答案】 【解析】解：，
，
等式兩邊同時除以，得，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)方程的解的定義得到，根據(jù)等式的性質計算，得到答案．
本題考查的是分式的化簡求值，掌握方程的解的定義、等式的性質是解題的關鍵．
 16.【答案】 【解析】解：過作于，則，

四邊形是菱形，，，
，，
，
，
，
，
的面積，
同理的面積，
，

，
故答案為：．
過作于，則，根據(jù)菱形的性質得出，，求出，，求出高，再求出的面積，同理求出，，，根據(jù)求出的結果得出規(guī)律，再根據(jù)求出的規(guī)律得出答案即可．
本題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質，圖形的變化類，三角形的面積等知識點，能根據(jù)求出的結果得出規(guī)律是解此題的關鍵．
 17.【答案】 【解析】解：是的平分線，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是線段的垂直平分線，
，，
四邊形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
四邊形是菱形；正確；
設，菱形的邊長為，
四邊形是菱形，
，
，
，
，，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，正確；
，
是等腰直角三角形，
，
，
整理得，
，，
四邊形是正方形，
，
，
≌，
，
，
，錯誤；
，，
，
在和中，
，
≌，
，正確；
故答案為：．
證明≌，得出，得出是線段的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質得出，，由正方形的形狀得出，，，證出，得出，因此，即可得出正確；
設，菱形的邊長為，證出，由正方形的性質得出，，證出，由證明≌，正確；
求出，是等腰直角三角形，得出，，整理得，得出，，由平行線得出，得出，因此正確；
證明≌，得出，正確．
本題考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行線的性質、菱形的判定與性質、三角形面積的計算等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
 18.【答案】解：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得：，
故原方程組的解是：． 【解析】利用加減消元法進行求解即可．
本題主要考查解二元一次方程組，解答的關鍵是對解二元一次方程組的方法的掌握與運用．
 19.【答案】 【解析】解：如圖，即為所求．

，，
點運動的路徑的長為．
故答案為：．
根據(jù)旋轉的性質作圖即可．
利用弧長公式求出即可．
本題考查作圖旋轉變換、弧長公式，熟練掌握旋轉的性質以及弧長公式是解答本題的關鍵．
 20.【答案】       【解析】解：本次被調查的學生共有：名；
在扇形統(tǒng)計圖中“項目”所對應的扇形所占的百分比為，
故答案為：，；
項目的人數(shù)有：人，
圖中“項目”所對應的扇形圓心角的度數(shù)為：；
補全統(tǒng)計圖如下：

若該校有學生人，則估計參加“項目”講述英雄故事的學生共有名，
故答案為：．
根據(jù)項目的人數(shù)和所占的百分比求出總人數(shù)，“項目”的人數(shù)除以總數(shù)即可得所占的百分比；
用總人數(shù)減去其它項目的人數(shù)，求出項目的人數(shù)，再用乘以“項目”所占的百分比即可得出“項目”所對應的扇形圓心角的度數(shù)，最后補全統(tǒng)計圖即可；
用總人數(shù)乘以參加“項目”的人數(shù)所占的百分比即可．
本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?/span>
 21.【答案】解：設乙種消毒液的零售價為元桶，則甲種消毒液的零售價為元桶，
依題意得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
．
答：甲種消毒液的零售價為元桶，乙種消毒液的零售價為元桶．
設購買甲種消毒液桶，則購買乙種消毒液桶，
依題意得：，
解得：．
設所需資金總額為元，則，
，
隨的增大而增大，
當時，取得最小值，最小值．
答：當甲種消毒液購買桶時，所需資金總額最少，最少總金額是元． 【解析】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出分式方程；根據(jù)各數(shù)量之間的關系，找出關于的函數(shù)關系式．
設乙種消毒液的零售價為元桶，則甲種消毒液的零售價為元桶，根據(jù)數(shù)量總價單價，結合該單位以零售價分別用元和元采購了相同桶數(shù)的甲、乙兩種消毒液，即可得出關于的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；
設購買甲種消毒液桶，則購買乙種消毒液桶，根據(jù)購進甲種消毒液的桶數(shù)不少于乙種消毒液桶數(shù)的，即可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍，設所需資金總額為元，根據(jù)所需資金總額甲種消毒液的批發(fā)價購進數(shù)量乙種消毒液的批發(fā)價購進數(shù)量，即可得出關于的函數(shù)關系式，再利用一次函數(shù)的性質即可解決最值問題．
 22.【答案】解：把代入中得，
反比例函數(shù)的表達式為，
，
把和代入一次函數(shù)得，
解得，
一次函數(shù)的表達式為；

從圖象可以看出，時的取值范圍為或；

點，點，
則，
由得，
故點或． 【解析】用待定系數(shù)法即可求解；
觀察函數(shù)圖象即可求解；
點，點，則，由得，進而求解．
本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質以及一次函數(shù)的性質，利用形數(shù)結合解決此類問題，是非常有效的方法．
 23.【答案】解：證明：平分，
．
又，，
≌，
，
，
即是的切線；
由可知，，
又，
∽．
，且≌，
：：，
：：．
，
：：．
． 【解析】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質，正切的定義，證明出∽是解題的關鍵．
根據(jù)證明≌，所以，進而，所以是的切線；
易證∽，因為，且≌，所以：：，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得：：：，根據(jù)正切的定義即可求出的值．
 24.【答案】解：如圖中，

四邊形是矩形，
，，
，
由翻折可知：，設，則．
在中，，
，
在中，則有：，
，
．

如圖中，

，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
．
當時，有最小值，最小值．

存在．由題意：，可以推出，推出，
有兩種情形：如圖中，當時，

，，
∽，
，
，
，
．

如圖中，當時，作于．

，
，
，
，
，
，
，
由∽，可得，
，
，
．
綜上所述，滿足條件的的值為或． 【解析】由翻折可知：，設，則在中，利用勾股定理構建方程即可解決問題．
證明∽，可得，由此即可解決問題．
存在．有兩種情形：如圖中，當時．如圖中，當時，作于分別求解即可解決問題．
本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質，翻折變換，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
 25.【答案】解：令，
，
，
，
，
該拋物線與軸總有兩個不同的交點；
令，
，
，
或，
，，
，，
令，
，
，
．
通過定點理由：如圖，

點，，在上，
，
在中，，
在中，，
，
點的坐標為，
因此，是否經過軸上的定點；
如圖，

由知，點，
，
點在上，
點是點關于拋物線的對稱軸的對稱點，
，
是的直徑，
，
，
，
在中，，
設，則，
根據(jù)勾股定理得，，
，，
． 【解析】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一元二次方程的根的判別式，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，對稱性，求出點，，的坐標是解本題的關鍵．
令，再求出判別式，判斷即可得出結論；
先求出，，，
判斷出，求出，即可求出，即可得出結論；
判斷出，得出是的直徑，進而設，得，，即可得出結論．
 

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