2021-2022學(xué)年廣東省汕頭市龍湖實驗中學(xué)九年級（下）第一次段考數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本題共 10小題，共30分）下列各選項的事件中，是隨機事件的是(    )A. 向上拋的硬幣會落下
B. 打開電視機，正在播新聞
C. 太陽從西邊升起
D. 長度分別為、、的三條線段圍成三角形下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 一個幾何體如圖所示，它的左視圖是(    )A.
B.
C.
D. 下列運算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 一副直角三角板如圖放置，點在的延長線上，，，，，則的度數(shù)為(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，內(nèi)接于，是直徑，，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 已知一元二次方程的兩根分別為，，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 迅速發(fā)展的網(wǎng)絡(luò)峰值速率為網(wǎng)絡(luò)峰值速率的倍，在峰值速率下傳輸兆數(shù)據(jù)，網(wǎng)絡(luò)比網(wǎng)絡(luò)快秒，求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率．設(shè)網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是(    )A.  B.
C.  D. 如圖，平行四邊形的頂點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸上，點，點在軸上，與軸交于點若，則的值為(    )
A.  B.  C.  D. 如圖所示，正方形中，對角線、相交于點，平分，分別交、于、，下列結(jié)論：
∽；
；
；
若的面積為，則正方形的面積為．
其中正確的結(jié)論的個數(shù)是(    )
 A. 個 B. 個 C. 個 D. 個二、填空題（本題共 7小題，共28分）使式子有意義的的取值范圍是______．如果，，那么代數(shù)式的值是______．如圖，圓錐的底面半徑，高，則該圓錐的側(cè)面積等于______．
 觀察圖中所示的圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依此規(guī)律，第個圖形共有______個．
如圖，在中，，，，則的值是______．
 二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：
；
；
；
；
正確的結(jié)論有______填序號．
 如圖，，邊長為的正方形的頂點、分別在邊、上移動，連接，為上一點，且，則線段長度的最小值為______．
三、解答題（本題共 8小題，共62分）解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個頂點的坐標(biāo)分別是，，．
以點為位似中心，將縮小為原來的，得到，請在軸右側(cè)畫出，
求出的正弦值．
先化簡，再求值：，其中．如圖，在四邊形中，，且．
求證：≌；
若，，求的值．
如圖，在正方形中，點為坐標(biāo)原點，點，點在軸正半軸上，點，分別在，上，，一次函數(shù)的圖象過點和，交軸于點，過點的反比例函數(shù)的圖象交于點．
求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
在線段上是否存在點，使，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
某社區(qū)的一株銀杏樹，樹齡已余年，社區(qū)現(xiàn)在想借助如圖所示的互相垂直的兩面墻墻體足夠長，在墻角區(qū)域用長的籬笆圍成一個矩形保護區(qū)域來保護這株銀杏樹，設(shè)
若圍成保護區(qū)域的面積為，求的值；
已知這株銀杏樹在點處，且與墻體的距離為，與墻體的距離為如果在圍建矩形保護區(qū)域時，將銀杏樹圍在花園內(nèi)含邊界上，樹的粗細忽略不計，那么能圍成的矩形的最大面積是多少？
如圖，在中，為直徑，，弦與交于點，在的延長線上有點，且．
求證：是的切線；
若，探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
在的條件下，若，求圓的半徑．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交點為、，與軸交于點，為拋物線上一點，過點作于．

求拋物線的解析式；
如圖，若在直線上方，軸于，交于．
求的值；
求線段的最大值．
如圖，連接，當(dāng)與相似時，直接寫出點的坐標(biāo)．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：向上拋的硬幣會落下，是必然事件，故A不符合題意；
B.打開電視機，正在播新聞，是隨機事件，故B符合題意；
C.太陽從西邊升起，是不可能事件，故C不符合題意；
D.長度分別為、、的三條線段圍成三角形，是必然事件，故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的特點判斷即可．
本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項不符合題意；
B、是分數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項不符合題意；
C、是無理數(shù)，故此選項符合題意；
D、是無限循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項不符合題意．
故選：．
根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．
本題考查了無理數(shù)．解題的關(guān)鍵是明確無理數(shù)的表現(xiàn)形式，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等有這樣規(guī)律的數(shù)．
 3.【答案】 【解析】解：從左面看該幾何體，所得到的圖形如下：

故選：．
根據(jù)簡單幾何體的三視圖的意義，畫出左視圖即可．
本題考查簡單幾何體的左視圖，理解視圖的意義，掌握“能看見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示”是正確判斷的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：與不是同類項，故不符合題意；
B.原式，故不符合題意；
C.原式，故符合題意；
D.原式，故不符合題意；
故選：．
根據(jù)整式的運算法則即可求出答案．
本題考查整式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 5.【答案】 【解析】解：由題意可得：，，
，
，
．
故選：．
直接利用三角板的特點，結(jié)合平行線的性質(zhì)得出，進而得出答案．
此題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：如圖，連接，

是直徑，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故選：．
連接，根據(jù)圓周角定理求得，，進而得到，在中，根據(jù)勾股定理即可求得．
本題主要考查了三角形的外接圓，圓周角定理，含度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)圓周角定理求得，是解決問題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，利用通分得到，然后利用整體代入的方法計算．
【解答】
解：、是一元二次方程的兩個根
，，
．
故選D．  8.【答案】 【解析】解：設(shè)網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是，
故選：．
根據(jù)網(wǎng)絡(luò)速度網(wǎng)絡(luò)速度秒可列方程．
本題主要考查由實際問題抽象出分式方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關(guān)系．
 9.【答案】 【解析】解：作軸于，
，
，
，
，
，
在第一象限，
，
故選：．
作軸于，易得矩形的面積等于平行四邊形的面積等于三角形面積的倍等于，再利用等于矩形的面積即可．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：四邊形是正方形，
，
平分，
，
∽；
故正確；
作于．

平分，，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
故正確；
，，
，
，
，
故錯誤；
如圖，過點作于點，

同可知，
設(shè)，
，
，
，
，
，
．
故錯誤．
故選：．
求出，根據(jù)相似三角形的判定可得出答案；作于由角平分線的性質(zhì)得出，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，可判斷錯誤，過點作于點，設(shè)，，根據(jù)三角形面積公式可判斷錯誤．
本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，
 11.【答案】且 【解析】解：由題意可得，
解得：且，
故答案為：且．
根據(jù)二次根式和分式有意義的條件列不等式組求解．
本題考查二次根式和分式有意義的條件，理解二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)和分式分母不能為零有意義的條件是解題關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：，．
原式．
故答案為：．
先因式分解，再整體代入求值．
本題考查因式分解的應(yīng)用，正確因式分解是求解本題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得圓錐的母線長為，
所以該圓錐的側(cè)面積
故答案為：
先利用勾股定理計算出圓錐的母線長為，然后利用扇形的面積公式計算圓錐的側(cè)面積．
本題考查了圓錐側(cè)面積的公式，為底面的半徑，是母線長。利用公式代入可得解。
 14.【答案】 【解析】解：第個圖形中有個，
第個圖形中有個，
第個圖形中有個，
第個圖形中有個，

第個圖形中有個，
故答案為：．
分別求出第個、第個、第個、第個圖形中的個數(shù)，進而找到規(guī)律，得出第個圖形中的個數(shù)，即可求解．
本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類；根據(jù)圖形中變化的量和的關(guān)系與不變的量得到圖形中的個數(shù)與的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：延長，過點作，垂足為，如圖，
，
，
在中，
，，
，
，
在中，
，
，
．
延長，過點作，垂足為，如圖，由，可算出的度數(shù)，在中，可算出，，根據(jù)所對直角邊是斜邊的一半可得的長度，根據(jù)勾股定理可得的長度，在中，可計算的長度，根據(jù)勾股定理即可算出的長度，根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可算出答案．
本題主要考查了解直角三角形及勾股定理，熟練掌握解直角三角形及勾股定理的計算方法進行計算，正確添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：拋物線的開口方向向上，
．
拋物線與軸交于軸的負半軸，
．
拋物線的對稱軸在軸的左側(cè)，
．
．
．
的結(jié)論錯誤；
拋物線與軸有兩個交點，
．
．
的結(jié)論正確；
由圖象可知：當(dāng)時的函數(shù)值，
的結(jié)論正確；
由圖象可知：拋物線經(jīng)過點，
．
．
，
．
．
的結(jié)論正確．
綜上，正確的結(jié)論有：．
故答案為：．
利用拋物線的圖象和待定系數(shù)法得出關(guān)于字母，，的式子，進而對每個選項進行逐一判斷即可．
本題主要考查了二次函數(shù)圖象與字母系數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法，利用待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法得到，，的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】 【解析】解：取的中點，連接，，過點作交于點，連接，如圖，

，為的中點，
，．
，
，
，
，
，
過點作于點，
，
，
，
，，
，
．
，
當(dāng)，，在一條直線上時，取得最小值為，
的最小值為，
故答案為：．
取的中點，連接，，過點作交于點，連接，過點作于點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求得，利用平行線的性質(zhì)求得，，，再利用勾股定理求得，利用三角形的兩邊之差小于第三邊，得到，從而得到當(dāng)，，在一條直線上時，取得最小值為．
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理，依據(jù)題意構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式組的解集為，
則不等式組的整數(shù)解為，，． 【解析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，即可求出整數(shù)解．
此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：如圖，為所作的圖形；

，
． 【解析】【分析】
本題考查了作圖位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．
分別連接、、，取它們的中點得到、、；
利用網(wǎng)格特點把放在直角邊為、的直角三角形中，再計算出的長，然后利用正弦的定義求解．  20.【答案】解：原式
，
當(dāng)時，原式． 【解析】先把括號內(nèi)通分，再計算括號內(nèi)的減法運算和把除法運算化為乘法運算，然后把分母因式分解后進行約分得到原式，再把的值代入計算即可．
本題考查了分式的化簡求值：先把分式的分子或分母因式分解，再進行通分或約分，得到最簡分式或整式，然后把滿足條件的字母的值代入計算得到對應(yīng)的分式的值．
 21.【答案】證明：，
，
，
，
≌；
解：過點作于點．

≌，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，，
，
． 【解析】由得，進而由得結(jié)論；
過點作于點利用相似三角形的性質(zhì)求出，，即可解決問題．
本題考查解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．
 22.【答案】解：點，
正方形邊長為，即，
，
，
，，
把，代入得，
解得，
一次函數(shù)的解析式為，
把代入得，
解得，
反比例函數(shù)解析式為，
答：反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)的解析式為；
存在點，使，
在中，令得，
，
，
在中，令得，
，
，
設(shè)，
，
，
解得，
 【解析】由點，，可得，，用待定系數(shù)法即得一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)解析式為；
在中，得，在中，得，設(shè)，根據(jù)有，即可解得
本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法及函數(shù)圖象上點坐標(biāo)特征的運用．
 23.【答案】解：，則，
，
解得：，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，舍去，
答：的值為；
，，
，
在處有一棵樹與墻，的距離分別是和，
，
，
，在對稱軸左邊，隨的增大而增大，
當(dāng)時，取到最大值為，
答：矩形面積的最大值為． 【解析】根據(jù)題意得出長寬，進而得出答案；
由題意可得出：，再利用二次函數(shù)增減性求得最值．
此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值求法，得出與的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：連結(jié)，如圖，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
點在上，
是的切線；

線段、之間的數(shù)量關(guān)系為：．
證明：為直徑，
，
，

，
，
而，
∽，
，
中，

，

；

設(shè)，則，，半徑
，

在中，由勾股定理可得：，
舍或，
圓的半徑為． 【解析】先判斷出，再判斷出，即可得出結(jié)論；
先判斷出，進而得出∽，得出，，即可得出結(jié)論；
設(shè)，則，，半徑，進而得出，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．
此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出∽是解本題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：拋物線與軸交點為、，與軸交于點，
令，則，
，
設(shè)拋物線的解析式為，
將點代入得，，
解得：，
，
拋物線的解析式為；
軸，
，
又，
，
，
，，
，，
．
；
設(shè)過的直線解析式為，
則，
解得：，
直線解析式為，
設(shè)，則，
，
當(dāng)時，有最大值，
，
取最大值時，取最大值，
最大值為；
設(shè)，則，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
與相似，有以下兩種情形，
當(dāng)∽時，
，
即，
整理得：，
解得：與點重合，舍去，，
當(dāng)時，，
；
當(dāng)∽時，，
即，
整理得，
解得：，，舍去，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，

綜上所述，當(dāng)與相似時，點的坐標(biāo)或或 【解析】根據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可；
根據(jù)對頂角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)可得，進而可得，根據(jù)勾股定理求得，進而根據(jù)正弦的定義求解即可；
待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)則．，求得，根據(jù)的結(jié)論求得，當(dāng)取得最大值時，取得最大值，進而根據(jù)二次函數(shù)
的性質(zhì)求得的最大值；
分別表示出，，求得，，的長，根據(jù)，與相似時，有以下種情形，當(dāng)∽時，當(dāng)∽時，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程解方程求解即可．
本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
 

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