2021-2022學(xué)年廣西梧州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 題號一二三四總分得分       一、單選題（本大題共8小題，共40分）已知，則下列四個(gè)角中與角終邊相同的是(    )A.  B.  C.  D. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限函數(shù)是在上的周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則(    )A.  B.  C.  D. 已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為(    )A.  B.  C.  D. 計(jì)算(    )A.  B.  C.  D. 九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為(    )A.  B.  C.  D. 若，則使不等式成立的的取值范圍為(    )A.  B.
C.  D. 在長方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為(    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20分）給出下列命題：
長方體是四棱柱；
直四棱柱是長方體；
底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐；
延長一個(gè)棱臺的各條側(cè)棱，它們相交于一點(diǎn)．
則正確的是(    )A.  B.  C.  D. 已知為兩個(gè)單位向量，下列四個(gè)命題中正確的是(    )A. 與相等
B. 如果與同向，那么與相等
C.
D. 設(shè)，是兩條不同的直線，，是不同的平面，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 若，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，則把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍橫坐標(biāo)不變后得到函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 函數(shù)的解析式為
B. 函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則 三、填空題（本大題共4小題，共20分）已知一個(gè)圓柱形的鍋爐，底面直徑，高，則鍋爐的側(cè)面積______精確到已知為虛數(shù)單位，則______．已知是平面內(nèi)所有向量的一組基底，且，若，則______．如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取、兩點(diǎn)，從、兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為，，且、兩點(diǎn)之間的距離為，則樹的高度為______．
   四、解答題（本大題共6小題，共70分）已知，且為第二象限角．
求的值；
求的值．已知向量，滿足，，且．
求和的夾角的大??；
在中，若，，求在中，角，，的對邊分別為，，，為邊上的中線．
若，，，求邊的長；
若，求角的大?。?/span>如圖，四棱錐中，為正方形，為的中點(diǎn)，平面平面，，．
證明：平面；
證明：；
求三棱錐的體積．
已知函數(shù)
求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
若，且，求的值．已知函數(shù)的最小值為，其圖象經(jīng)過點(diǎn)，且圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為．
Ⅰ求函數(shù)的解析式；
Ⅱ若關(guān)于的方程在上有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：與角終邊相同的角的集合為，
取，得，
在之間，與角終邊相同的角是．
故選：．
寫出與角終邊相同的角的集合，然后取的值得答案．
本題考查了終邊相同的角的概念，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限．
故選：．
直接由已知復(fù)數(shù)得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．
本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．
 3.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)是在上的周期為的奇函數(shù)，則，
又由當(dāng)時(shí)，，則，
故，
故選：．
根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性和周期性可得，結(jié)合函數(shù)的解析式計(jì)算可得答案．
本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
又，
，解得．
故選：．
可求出，然后根據(jù)即可求出的值．
本題考查了向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，向量平行的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，
所以．
故選：．
由，利用兩角和的正切公式可求的值，即可計(jì)算得解．
本題考查了兩角和的正切公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本題考查球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出球的半徑是關(guān)鍵．
由題意，為球的直徑，求出，可得球的半徑，即可求出球的表面積．
【解答】
解：由題意，如圖所示：

為球的直徑，，
球的半徑為，
球的表面積為，
故選：．  7.【答案】 【解析】解：不等式，
由正切函數(shù)的性質(zhì)可得
和，，
，
使不等式成立的的集合為：．
故選：．
根據(jù)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出不等式的解集．
本題考查了利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．
 8.【答案】 【解析】解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
故有，，
設(shè)異面直線與所成角為，
，．
異面直線與所成角的余弦值為．
故選：．
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值．
本題考查兩條異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．
 9.【答案】 【解析】解：對于：長方體滿足有兩個(gè)面互相平行且全等，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，故長方體是四棱柱，故正確；
對于：如果直四棱柱的底面不是矩形，則這樣的直四棱柱不是長方體，故錯誤；
對于：如果棱錐的底面是正多邊形，但頂點(diǎn)在底面的射影不是底面的中心，這樣的棱錐不是正棱錐，故錯誤；
對于：用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面與底面之間的部分為棱臺，故延長一個(gè)棱臺的各條側(cè)棱，它們必相交于一點(diǎn)，故正確；
故選：．
根據(jù)棱柱、棱錐及棱臺的定義判斷即可．
本題考查棱錐棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生的推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：為兩個(gè)單位向量，則，
對于選項(xiàng)A，由于與的夾角不確定，即選項(xiàng)A錯誤；
對于選項(xiàng)B，與同向，則與相等，即選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C，為向量，即選項(xiàng)C錯誤；
對于選項(xiàng)D，由已知可得選項(xiàng)D正確，
故選：．
由單位向量的定義逐一判斷即可．
本題考查了單位向量，屬基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】【分析】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，屬于中檔題．
對于，與相交、平行或異面；對于，由線面垂直的判定定理得；對于，與相交、平行或異面；對于，由面面垂直的判定定理得．【解答】解：設(shè)，是兩條不同的直線，，是不同的平面，則：
對于，若，，則與相交、平行或異面，故A錯誤；
對于，若，，，則由線面垂直的判定定理得，故B正確；
對于，若，，，則與相交、平行或異面，故C錯誤；
對于，若，，，則由面面垂直的判定定理得，故D正確．
故選：．  12.【答案】 【解析】解：對于，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，
再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍橫坐標(biāo)不變后得到函數(shù)的圖象，
故A錯誤，
對于，，令，
，
當(dāng)時(shí)，，故B正確，
對于，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確，
對于，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，所以，故D正確．
故選：．
根據(jù)圖象變換可判斷選項(xiàng)A，由余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷，，．
本題主要考查余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：一個(gè)圓柱形的鍋爐，底面直徑，高，
由題意得鍋爐的側(cè)面積，
故答案為：
根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，即可求得答案．
本題考查圓柱的結(jié)構(gòu)特征、側(cè)面積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．
本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：，，
，，
若，
，
，得，
．
故答案為：．
利用平面向量基本定理表示出與的關(guān)系．
本題考查平面向量基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 16.【答案】 【解析】解：在，，，，
．
由正弦定理得：，
，
樹的高度為．
故答案為：．
要求樹的高度，需求長度，要求的長度，在由正弦定理可得．
本題考查正弦定理和特殊角的三角函數(shù)值，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，正確求是關(guān)鍵．
 17.【答案】解：由，得．
為第二象限角，
，
．
． 【解析】由題意，利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，計(jì)算求得結(jié)果．
由題意，利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，計(jì)算求得結(jié)果．
本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：，
，
，則，
，
又，
；
，
，
． 【解析】由題意求出和，再計(jì)算向量、的夾角；
用、表示出，利用模的計(jì)算公式計(jì)算即可．
本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長和夾角的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．
 19.【答案】解：在中，因?yàn)?/span>，
由余弦定理：．
故在中，由余弦定理，得，
所以．
因?yàn)?/span>為邊上的中線，所以，
所以，
 
，． 【解析】在中根據(jù)余弦定理計(jì)算，再在中計(jì)算；
把代入化簡即可得出，故AB．
本題考查了余弦定理解三角形，平面向量的應(yīng)用，屬于中檔題．
 20.【答案】證明：連接，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，
為的中點(diǎn)，，
又平面，平面，
平面；
證明：四邊形為正方形，，
平面平面，平面平面，且平面，
平面，
而平面，；
解：取的中點(diǎn)，連接，
，，
平面平面，平面平面，
平面，平面，即點(diǎn)到底面的距離為．
由，，
得，
又，． 【解析】連接，交于點(diǎn)，連接，可得，則平面；
由四邊形為正方形，得，再由已知結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)可得平面，從而得到；
取的中點(diǎn)，連接，證明平面，則點(diǎn)到底面的距離為，再由等體積法求三棱錐的體積．
本題考查直線與平面平行與垂直的判定，訓(xùn)練了利用等體積法求多面體的體積，考查推理論證能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題．
 21.【答案】解：因?yàn)?/span>


，
令，
可得，
可得，
可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，．
由知．
又，即，．
因?yàn)?/span>，
所以，
所以，
所以． 【解析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解．
由及已知可得結(jié)合范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，進(jìn)而利用兩角差的正弦公式即可求解．
本題考查了三角函數(shù)恒等變換以及正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
 22.【答案】解：Ⅰ由題意，得，．
，．
．
又函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則．
由，得．
．
Ⅱ由題意，關(guān)于的方程在上有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，
即函數(shù)與的圖象在上有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．
由Ⅰ知令，則．
，
．
則其函數(shù)圖象如圖所示．由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

當(dāng)時(shí)，，，關(guān)于對稱，則．
解得．
當(dāng)時(shí)，，關(guān)于對稱，則．
解得．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，的值為或． 【解析】Ⅰ由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，可得的解析式．
Ⅱ由題意可得的圖象和直線在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出的值．
本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
 

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