2021年山西省太原市高考數(shù)學（一模）模擬試卷（文科） （Word解析版）

這是一份2021年山西省太原市高考數(shù)學（一模）模擬試卷（文科） （Word解析版），共20頁。試卷主要包含了選擇題.，填空題.，解答題等內容，歡迎下載使用。
?2021年山西省太原市高考一模數(shù)學模擬試卷（有解析）
一、選擇題（每小題5分）.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，則A∪（?UB）＝（　?。?br /> A．{2，3，4} B．{2} C．{1，5} D．{1，3，4，5}
2．已知復數(shù)z滿足z?（1﹣i）＝2i（其中i為虛數(shù)單位），則z的值為（　?。?br /> A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
3．公元前6世紀，古希臘畢達哥拉斯學派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時，發(fā)現(xiàn)了黃金分割數(shù)，其近似值為0.618，這是一個偉大的發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)值也表示為a＝2sin18°，若a2+b＝4，則＝（　?。?br /> A． B．2 C． D．4
4．函數(shù)y＝cos（sinx）的圖象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．在區(qū)間[﹣1，1]上任取一個實數(shù)k，則使得直線y＝kx與圓（x﹣2）2+y2＝1有公共點的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
6．已知，為單位向量，且滿足|﹣|＝，則|2+|＝（　?。?br /> A． B． C． D．2
7．已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且{Sn}是等差數(shù)列，則下列結論錯誤的是（　?。?br /> A．{an+Sn}是等差數(shù)列 B．{an?Sn}是等比數(shù)列
C．{an2}是等差數(shù)列 D．{}是等比數(shù)列
8．已知實數(shù)x，y滿足，則z＝的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，1]∪（2，4] B．[1，2）∪（2，4]
C．[1，2）∪[4，+∞） D．（﹣∞，1]∪[4，+∞）
9．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，則下列結論正確的是（　?。?br /> A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a(chǎn)＜b＜c
10．已知正四面體ABCD的棱長為4，點E在棱AB上，且BE＝3AE，過E作四面體ABCD外接球的截面，則所作截面面積的最小值為（　　）
A． B．3π C． D．
11．已知過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F（）的直線與該拋物線相交于A，B兩點，若△AOF的面積與△BOF（O為坐標原點）的面積之比是2，則|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
12．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的圖象關于x＝﹣對稱，且f（）＝0，將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列結論正確的是（　?。?br /> A．φ＝
B．若g（x）是奇函數(shù)，則ω的最小值為1
C．若f（x）在[]上單調遞增，則ω∈（0，]
D．若g（x）是周期最大的偶函數(shù)，則f（x）在[0，]上單調遞增
二、填空題（每小題5分）.
13．函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex的圖象在點（0，f（0））處的切線方程為　 　．
14．某公司初級、中級和高級職稱的職工人數(shù)恰好組成一個公比為q的等比數(shù)列，現(xiàn)采用分層抽樣從全體職工中隨機抽取130人進行一項活動，已知被抽取的高級職工人數(shù)為10，則被抽取的初級職工的人數(shù)為　 ?。?br /> 15．已知a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C所對的邊，3csinA＝4bsinC，cosC＝，點D在線段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面積為2，則a＝　 　，CD＝　 ?。?br /> 16．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左焦點是點F，過原點傾斜角為的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，若∠MFN＝，則橢圓C的離心率是　 ?。?br /> 三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，毎個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．
17．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}滿足bn＝an+an+1（n∈N*），再從下面條件①與②中任選一個作為已知條件，完成以下問題：
（Ⅰ）證明：{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{nbn}的前n項和Tn．
條件①：a1＝，4Sn+2an+1＝3n+1（n∈N*）；條件②：a1＝a2＝，an+2＝an+2×3n（n∈N*）．
18．某地區(qū)為了實現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉型發(fā)展，利用當?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點，決定大力發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，一方面對現(xiàn)有旅游資源進行升級改造，另一方面不斷提高旅游服務水平．為此該地區(qū)旅游部門，對所推出的報團游和自助游項目進行了深人調查，如表是該部門從去年某月到該地區(qū)旅游的游客中，隨機抽取的100位游客的滿意度調查表．
滿意度
老年人
中年人
青年人
報團游
自助游
報團游
自助游
報團游
自助游
滿意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不滿意
1
1
6
2
3
2
（Ⅰ）由表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇報團游？
（Ⅱ）為了提高服務水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的自助游游客中，隨機抽取2人征集改造建議，求這2人中有老年人的概率．
（Ⅲ）若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會建議他選擇哪種旅游項目？
19．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分別是PA，BC，PC的中點，點F在BC上，且BF＝3FC．
（Ⅰ）求證：平面DFH∥平面PGE；
（Ⅱ）若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求三棱錐P﹣DEG的體積．

20．已知函數(shù)f（x）＝cosx+xsinx．
（Ⅰ）討論f（x）在[﹣2π，2π]上的單調性；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）＝f（x）﹣x2﹣1零點的個數(shù)．
21．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1、F2，其離心率e＝，點P是橢圓C上一動點，△PF1F2內切圓面積的最大值為．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線PF1，PF2與橢圓C分別相交于點A，B，求證：+為定值．
（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為cos（）＝0．
（Ⅰ）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知點P（3，），曲線C1與C2相交于A，B兩個不同點，求||PA|﹣|PB||的值．
[選修4-5：不等式選講]
23．已知函數(shù)f（x）＝|x+|+|x﹣m|（m＞0）．
（Ⅰ）當m＝1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，1），使得不等式f（x）≤3成立，求實數(shù)m的取值范圍．


參考答案
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，則A∪（?UB）＝（　?。?br /> A．{2，3，4} B．{2} C．{1，5} D．{1，3，4，5}
解：全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，
所以?UB＝{2，4}，
所以A∪（?UB）＝{2，3，4}．
故選：A．
2．已知復數(shù)z滿足z?（1﹣i）＝2i（其中i為虛數(shù)單位），則z的值為（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
解：∵復數(shù)z滿足z?（1﹣i）＝2i，∴z＝＝＝＝﹣1+i，
故選：B．
3．公元前6世紀，古希臘畢達哥拉斯學派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時，發(fā)現(xiàn)了黃金分割數(shù)，其近似值為0.618，這是一個偉大的發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)值也表示為a＝2sin18°，若a2+b＝4，則＝（　?。?br /> A． B．2 C． D．4
解：∵a＝2sin18°，若a2+b＝4，
∴b＝4﹣a2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，
∴＝＝＝2．
故選：B．
4．函數(shù)y＝cos（sinx）的圖象大致是（　?。?br /> A． B．
C． D．
解：∵f（﹣x）＝cos（sin（﹣x））＝cos（sinx）＝f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∵﹣1≤sinx≤1，
∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，
∴y＝cos（sinx）在x＝2kπ時有最大值，且y＞0，
故選：B．
5．在區(qū)間[﹣1，1]上任取一個實數(shù)k，則使得直線y＝kx與圓（x﹣2）2+y2＝1有公共點的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
解：圓（x﹣2）2+y2＝1的圓心為（2，0），半徑為1．
要使直線y＝kx與圓（x﹣2）2+y2＝1有公共點，
則圓心到直線y＝kx的距離 ≤1，解得：﹣≤k≤．
在區(qū)間[﹣1，1]中隨機取一個實數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓（x﹣2）2+y2＝1有公共點”
發(fā)生的概率為：＝．
故選：C．
6．已知，為單位向量，且滿足|﹣|＝，則|2+|＝（　?。?br /> A． B． C． D．2
解：，為單位向量，且滿足|﹣|＝，
可得＝2，
解得＝0，
所以|2+|＝＝．
故選：C．
7．已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且{Sn}是等差數(shù)列，則下列結論錯誤的是（　?。?br /> A．{an+Sn}是等差數(shù)列 B．{an?Sn}是等比數(shù)列
C．{an2}是等差數(shù)列 D．{}是等比數(shù)列
解：由{Sn}是等差數(shù)列，
可得：2（a1+a2）＝a1+a1+a2+a3，
∴a2＝a3，
∵{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，
∴a2＝a2q，可得q＝1．
∴an＝a1＞0，
∴an+Sn＝（n+1）a1，∴數(shù)列{an+Sn}是等差數(shù)列，因此A正確．
＝，∴{an2}是常數(shù)列，為等差數(shù)列，因此C正確．
＝a1＞0，∴{}是等比數(shù)列，因此D正確．
anSn＝n，∴{an?Sn}不是等比數(shù)列，因此B不正確．
故選：B．
8．已知實數(shù)x，y滿足，則z＝的取值范圍是（　?。?br /> A．（﹣∞，1]∪（2，4] B．[1，2）∪（2，4]
C．[1，2）∪[4，+∞） D．（﹣∞，1]∪[4，+∞）
解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立，解得A（3，1），由圖可知，B（1，0），
z＝＝2+，其幾何意義為可行域內的動點與定點（2，﹣1）連線的斜率加2．
由圖可知，，，
∴z＝的取值范圍是（﹣∞，1]∪[4，+∞）．
故選：D．
9．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，則下列結論正確的是（　?。?br /> A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a(chǎn)＜b＜c
解：∵a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，
∴＝，＝，＝，
設f（x）＝（x＞0），則f′（x）＝，令f′（x）＝0，則x＝e，
當x∈（0，e），f（x）在 （0，e）上遞增，當x∈（e，+∞），f（x）在（e，+∞）遞減，
∵4＞π＞3＞e，∴f（4）＜f（π）＜f（3），即 ＜＜，
∴a＞c＞b．
故選：A．
10．已知正四面體ABCD的棱長為4，點E在棱AB上，且BE＝3AE，過E作四面體ABCD外接球的截面，則所作截面面積的最小值為（　?。?br /> A． B．3π C． D．
解：如圖，正四面體ABCD的棱長為4，則正方體的棱長為，

正四面體ABCD的外接球即正方體的外接球，其半徑為2R＝，
R＝，cos∠OAB＝，
∵OA＝R＝，AE＝AB＝，
∴＝3，
則截面圓的半徑r＝，
∴截面面積的最小值為S＝πr2＝3π．
故選：B．
11．已知過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F（）的直線與該拋物線相交于A，B兩點，若△AOF的面積與△BOF（O為坐標原點）的面積之比是2，則|AB|＝（　?。?br /> A． B． C． D．
解：由焦點的坐標可得＝，所以p＝1，
所以拋物線的方程為：y2＝2x，
設直線AB的方程為：x＝my+，設A（x1，y1），B（x2，y2），設A在x軸上方，設m＞0，
聯(lián)立整理可得：y2﹣2my﹣1＝0，
y1+y2＝2m①，y1y2＝﹣1②，
由題意＝＝2，
可得y1＝﹣2y2，代入①②可得：8m2＝1，解得：m＝，
將m的值代入①可得y1+y2＝，
x1+x2＝m（y1+y2）+1＝，
由拋物線的性質可得|AB|＝x1+x2+p＝+1＝，
故選：A．

12．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的圖象關于x＝﹣對稱，且f（）＝0，將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列結論正確的是（　?。?br /> A．φ＝
B．若g（x）是奇函數(shù)，則ω的最小值為1
C．若f（x）在[]上單調遞增，則ω∈（0，]
D．若g（x）是周期最大的偶函數(shù)，則f（x）在[0，]上單調遞增
解：由于函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的圖象關于x＝﹣對稱，
∴ω×（﹣）+φ＝kπ+，k∈Z，①．
∵f（）＝0，
∴ω×+φ＝kπ，k∈Z，②．
將代入①②，無解，故A錯，
將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）＝sin（ωx﹣+φ）的圖象，
則g（x）的圖象關于y軸對稱，故g（x）為偶函數(shù)，故B錯；
∵由題意，﹣（﹣）＝（）T，k1＝0，1，2，…，
∴ω＝1+2k1，則ω≥1，C選項錯，
故選：D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．試題中包含兩空的，答對第一空的給3分，全部答對的給5分．
13．函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex的圖象在點（0，f（0））處的切線方程為　y＝﹣1　．
解：由題意可得f'（x）＝xex，則f'（0）＝0．
因為f（0）＝﹣1，所以所求切線方程為y+1＝0，即y＝﹣1．
故答案為：y＝﹣1．
14．某公司初級、中級和高級職稱的職工人數(shù)恰好組成一個公比為q的等比數(shù)列，現(xiàn)采用分層抽樣從全體職工中隨機抽取130人進行一項活動，已知被抽取的高級職工人數(shù)為10，則被抽取的初級職工的人數(shù)為　90?。?br /> 解：根據(jù)題意知，抽取的樣本中初級、中級和高級職稱的人數(shù)也組成一個公比為q的等比數(shù)列，
且a3＝10，S3＝130，
所以，
消去a1，解得q＝，或q＝﹣（不合題意，舍去），
當q＝時，a1＝90，
即被抽取的初級職工的人數(shù)為90．
故答案為：90．
15．已知a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C所對的邊，3csinA＝4bsinC，cosC＝，點D在線段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面積為2，則a＝　4　，CD＝　　．
解：由正弦定理及3csinA＝4bsinC得3ac＝4bc，
故a＝，
由余弦定理得cosC＝＝＝，
整理得b＝c，
因為cosC＝，
所以sinC＝，
因為△ABC的面積S＝＝＝2，
所以b＝3，c＝3，a＝4，
因為BD＝2DA，
所以，即，
整理得，
＝＝4+＝，
故CD＝．
故答案為：4，．
16．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左焦點是點F，過原點傾斜角為的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，若∠MFN＝，則橢圓C的離心率是　　．
解：設右焦點為F'，由題意可得直線l的方程為：y＝，設M（x0，y0），N（﹣x0，﹣y0），
連接MF'，NF'，因為∠MFN＝，
所以四邊形FMF'N為平行四邊形，則∠FMF'＝，
而S△MFF'＝b2tan＝b2＝?cy0，（焦三角形面積公式S＝b2tan，θ為焦頂角），

所以可得y0＝，代入直線l的方程可得：x0＝，
將M的坐標代入橢圓的方程可得：+＝1，
整理可得：4a4﹣14a2c2+c4＝0，即e4﹣14e2+4＝0，
解得：e2＝7±3，由橢圓的離心率e∈（0，1），
所以e＝＝，
故答案為：．
三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，毎個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．
17．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}滿足bn＝an+an+1（n∈N*），再從下面條件①與②中任選一個作為已知條件，完成以下問題：
（Ⅰ）證明：{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{nbn}的前n項和Tn．
條件①：a1＝，4Sn+2an+1＝3n+1（n∈N*）；條件②：a1＝a2＝，an+2＝an+2×3n（n∈N*）．
解：選條件①：a1＝，4Sn+2an+1＝3n+1（n∈N*）；
（Ⅰ）證明：當n＝1時，4S1+2a2＝32，
因為S1＝a1＝，所以a2＝，所以b1＝a1+a2＝3，
當n≥1時，4Sn+2an+1＝3n+1，①
4Sn+1+2an+2＝3n+2，②
②﹣①可得an+2+an+1＝3n+1，
即bn＝an+an+1＝3n（n∈N*），
則{bn}是首項、公比均為3的等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn＝3n（n∈N*），
所以Tn＝1?3+2?32+3?33+…+n?3n，
3Tn＝1?32+2?33+3?34+…+n?3n+1，
兩式相減可得﹣2Tn＝3+32+33+…+3n﹣n?3n+1
＝﹣n?3n+1，
化簡可得Tn＝[（2n﹣1）?3n+1]．
選條件②：a1＝a2＝，an+2＝an+2×3n（n∈N*）．
（Ⅰ）證明：由an+2＝an+2×3n（n∈N*），
可得an+2+an+1＝an+an+1+2×3n，
因為bn＝an+an+1，所以bn+1＝bn+2×3n，
則bn+1﹣3n+1＝bn﹣3n，
所以bn﹣3n＝b1﹣3＝a1+a2﹣3＝0，所以bn＝3n（n∈N*），
則{bn}是首項、公比均為3的等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn＝3n（n∈N*），
所以Tn＝1?3+2?32+3?33+…+n?3n，
3Tn＝1?32+2?33+3?34+…+n?3n+1，
兩式相減可得﹣2Tn＝3+32+33+…+3n﹣n?3n+1
＝﹣n?3n+1，
化簡可得Tn＝[（2n﹣1）?3n+1]．
18．某地區(qū)為了實現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉型發(fā)展，利用當?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點，決定大力發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，一方面對現(xiàn)有旅游資源進行升級改造，另一方面不斷提高旅游服務水平．為此該地區(qū)旅游部門，對所推出的報團游和自助游項目進行了深人調查，如表是該部門從去年某月到該地區(qū)旅游的游客中，隨機抽取的100位游客的滿意度調查表．
滿意度
老年人
中年人
青年人
報團游
自助游
報團游
自助游
報團游
自助游
滿意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不滿意
1
1
6
2
3
2
（Ⅰ）由表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇報團游？
（Ⅱ）為了提高服務水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的自助游游客中，隨機抽取2人征集改造建議，求這2人中有老年人的概率．
（Ⅲ）若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會建議他選擇哪種旅游項目？
解：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)可得老年人、中年人和青年人選擇報團游的頻率分別為：
P1＝＝，P2＝，P3＝，
∵P1＞P2＞P3，
∴老年人更傾向于選擇報團游．
（Ⅱ）由題意得滿意度為“不滿意”的自助游人群中，老年人有1人，記為a，
中年人有2人，記為b，c，青年人有2人，記為d，e，
從中隨機先取2人，基本事件共10個，分別為：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），
其中這2人中有老年人包含的基本事件有4個，分別為：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），
∴這2人中有老年人的概率為P＝＝．
（Ⅲ）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到：
報團游的滿意率為P4＝＝，
自助游的滿意率為P5＝＝，
∵P4＞P5，∴建議他選擇報團游．
19．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分別是PA，BC，PC的中點，點F在BC上，且BF＝3FC．
（Ⅰ）求證：平面DFH∥平面PGE；
（Ⅱ）若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求三棱錐P﹣DEG的體積．

解：（Ⅰ）證明：連結BG，由題意可得BG與GD共線，且BG＝2GD，
∵E是BC的中點，BF＝3FC，∴F是CE的中點，
∴，∴GE∥DF，GE?平面PGE；DF?平面PGE；
∴DF∥平面PGE，
∵H是PC的中點，∴FH∥PE，PE?平面PGE，F(xiàn)H?平面PGE；
∴FH∥平面PGE，
∵DF∩FH＝F，DF?平面DEF，F(xiàn)H?平面DEF，
∴平面DFH∥平面PGE；
（Ⅱ）∵AB＝AC＝2，BC＝，∴AB2+AC2＝8＝BC2，∴AB⊥AC，
∵PB⊥AC，AB∩PB＝B，∴AC⊥平面PAB，
∵△PAB是正三角形，∴S△PAB＝＝，
∴VP﹣DEG＝VE﹣PDG＝＝＝＝＝.
20．已知函數(shù)f（x）＝cosx+xsinx．
（Ⅰ）討論f（x）在[﹣2π，2π]上的單調性；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）＝f（x）﹣x2﹣1零點的個數(shù)．
解：（Ⅰ）因為f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣xsin（﹣x）＝cosx+xsinx＝f（x），x∈R，
所以f（x）是R上的偶函數(shù)，也是[﹣2π，2π]上的偶函數(shù)，
當x∈[0，2π]時，f′（x）＝xcosx，
令f′（x）≥0，則0≤x≤或≤x≤2π，令f′（x）＜0，則＜x＜，
所以f（x）在[0，]和[，2π]上單調遞增，在（，）上單調遞減，
因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（x）在[﹣2π，﹣]和[﹣，0]上單調遞減，在（﹣，﹣）上單調遞增．
綜上所述，f（x）在[﹣2π，﹣]、[﹣，0]和（，）上單調遞減，
在（﹣，﹣）、[0，]和[，2π]上單調遞增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）2﹣1＝g（x），所以g（x）是R上的偶函數(shù)，
（1）當x∈[0，2π]時，g′（x）＝x（cosx﹣），
令g′（x）＞0，則0＜x＜或＜x＜2π，令g′（x）＜0，則＜x＜，
所以g（x）在[0，]和[，2π]上單調遞增，在（，）上單調遞減，
因為g（）＞g（0）＝0，g（）＝×（﹣）﹣（）2﹣＜0，g（2π）＝﹣π2＜0，
所以g（x）在（0，）上有一個零點，所以g（x）在[0，2π]上有兩個零點；
（2）當x∈（2π，+∞）時，g（x）＝cosx+xsinx﹣x2﹣1≤x﹣x2＜0，
所以g（x）在（2π，+∞）上沒有零點．
由（1）（2）及g（x）是偶函數(shù)可得g（x）在R上有三個零點．
21．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1、F2，其離心率e＝，點P是橢圓C上一動點，△PF1F2內切圓面積的最大值為．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線PF1，PF2與橢圓C分別相交于點A，B，求證：+為定值．
解：（Ⅰ）設△PF1F2內切圓的半徑為r，
則，
∴r＝＝，
∴當△PF1F2的面積最大時，△PF1F2內切圓的半徑r最大，
顯然當點P為橢圓的上頂點或下頂點時，△PF1F2的面積最大，最大值為＝bc，
∴r的最大值為，即＝，
由，解得：，
∴橢圓C的標準方程為：．
（Ⅱ）設P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
①當y0≠0時，設直線PF1，PF2的直線方程分別為x＝m1y﹣1，x＝m2y+1，
由得：，
∴，
∵x0＝m1y0﹣1，∴，∴，
同理，由可得，
∴＝﹣﹣＝，
②當y0＝0時，直線PF1，PF2與x軸重合，易得：＝3+＝，
綜上所述，+為定值．
（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為cos（）＝0．
（Ⅰ）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知點P（3，），曲線C1與C2相交于A，B兩個不同點，求||PA|﹣|PB||的值．
解：（Ⅰ）曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），整理得，轉換為普通方程為；
曲線C2的極坐標方程為cos（）＝0，根據(jù)，轉換為直角坐標方程為；
（Ⅱ）把直線轉換為（t為參數(shù)），代入，
得到：，
所以，，
所以＝．
[選修4-5：不等式選講]
23．已知函數(shù)f（x）＝|x+|+|x﹣m|（m＞0）．
（Ⅰ）當m＝1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，1），使得不等式f（x）≤3成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解：（Ⅰ）當m＝1時，f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，
∵|x+2|+|x﹣1|≥|（x+2）﹣（x﹣1）|＝3，
故當且僅當（x+2）（x﹣1）≤0，即當﹣2≤x≤1時，f（x）取最小值3；
（Ⅱ）由題意得存在x∈（0，1）使得x++|x﹣m|≤3，
（1）當m≥1時，x++|x﹣m|≤3等價于+m≤3，解得：1≤m≤2；
（2）當0＜m＜1時，令g（x）＝x++|x﹣m|，
0＜x＜m時，g（x）＝+m，m≤x＜1時，g（x）＝2x+﹣m，
故g（x）min＝+m，故+m≤3，故1≤m≤2，與0＜m＜1矛盾，此時m無解，
綜上：實數(shù)m的取值范圍是[1，2]．