?2021-2022中考數(shù)學模擬試卷
考生須知：
1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。
2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。
3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）
1．一艘輪船和一艘漁船同時沿各自的航向從港口O出發(fā)，如圖所示，輪船從港口O沿北偏西20°的方向行60海里到達點M處，同一時刻漁船已航行到與港口O相距80海里的點N處，若M、N兩點相距100海里，則∠NOF的度數(shù)為（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°
2．對于一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)1，1，6，5，1．下列說法錯誤的是（　　）
A．眾數(shù)是1 B．平均數(shù)是4 C．方差是1.6 D．中位數(shù)是6
3．如圖是由四個相同的小正方形組成的立體圖形，它的俯視圖為（ ）

A． B． C． D．
4．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，AE＝AF，AC與EF相交于點G，下列結論：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③當∠DAF＝15°時，△AEF為等邊三角形；④當∠EAF＝60°時，S△ABE＝S△CEF，其中正確的是（　?。?br />
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
5．如圖，小明將一張長為20cm，寬為15cm的長方形紙（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，則剪去的直角三角形的斜邊長為（　?。?br />
A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm
6．如圖,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°, BD平分∠ABC ,P點是BD的中點,若AD=6, 則CP的長為( )

A．3.5 B．3 C．4 D．4.5
7．下列計算正確的是（ ）
A．3a2﹣6a2=﹣3
B．（﹣2a）?（﹣a）=2a2
C．10a10÷2a2=5a5
D．﹣（a3）2=a6
8．下列說法中正確的是（ ）
A．檢測一批燈泡的使用壽命適宜用普查.
B．拋擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是，如果拋擲10次，就一定有5次正面朝上.
C．“367人中有兩人是同月同日生”為必然事件.
D．“多邊形內(nèi)角和與外角和相等”是不可能事件.
9．若ab＜0，則正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=在同一坐標系中的大致圖象可能是（　?。?br /> A． B． C． D．
10．下列事件中，屬于必然事件的是（ ）
A．三角形的外心到三邊的距離相等
B．某射擊運動員射擊一次，命中靶心
C．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是 180°
D．拋一枚硬幣，落地后正面朝上
二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
11．已知：如圖，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，AD＝BE＝6，則AC的長等于______．

12．函數(shù)y=中自變量x的取值范圍是_____．
13．因式分解：3a3﹣3a=_____．
14．計算：|﹣5|﹣=_____．
15．如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE的長為　　　　．

16．一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是________．
17．某排水管的截面如圖，已知截面圓半徑OB=10cm，水面寬AB是16cm，則截面水深CD為_____．

三、解答題（共7小題，滿分69分）
18．（10分）平面直角坐標系中（如圖），已知拋物線經(jīng)過點和，與y軸相交于點C，頂點為P.

（1）求這條拋物線的表達式和頂點P的坐標；
（2）點E在拋物線的對稱軸上，且，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，記拋物線的對稱軸為直線MN，點Q在直線MN右側的拋物線上，，求點Q的坐標.
19．（5分）如圖，己知AB是的直徑，C為圓上一點，D是的中點，于H，垂足為H，連交弦于E，交于F，聯(lián)結.
(1)求證：.
(2)若，求的長.

20．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線EF分別交AD、AC、BC于點E、O、F，連接CE和AF.

（1）求證：四邊形AECF為菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周長.
21．（10分）有這樣一個問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小懷根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究．下面是小懷的探究過程，請補充完成：
（1）函數(shù)的自變量x的取值范圍是　 ?。?br /> （2）列出y與x的幾組對應值．請直接寫出m的值，m=　 　；
（3）請在平面直角坐標系xOy中，描出表中各對對應值為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象；
（4）結合函數(shù)的圖象，寫出函數(shù)的一條性質(zhì)．


22．（10分）如圖所示，在坡角為30°的山坡上有一豎立的旗桿AB，其正前方矗立一墻，當陽光與水平線成45°角時，測得旗桿AB落在坡上的影子BD的長為8米，落在墻上的影子CD的長為6米，求旗桿AB的高（結果保留根號）．

23．（12分）如圖，已知等邊△ABC，AB=4，以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接FD．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求EF的長．

24．（14分）如圖，已知平行四邊形OBDC的對角線相交于點E，其中O（0，0），B（3，4），C（m，0），反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象經(jīng)過點B．求反比例函數(shù)的解析式；若點E恰好落在反比例函數(shù)y=上，求平行四邊形OBDC的面積．




參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）
1、C
【解析】
解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，
∴OM2+ON2=MN2，
∴∠MON=90°，
∵∠EOM=20°，
∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．
故選C．
【點睛】
本題考查直角三角形的判定，掌握方位角的定義及勾股定理逆定理是本題的解題關鍵．
2、D
【解析】
根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、方差等的概念計算即可得解.
【詳解】
A、這組數(shù)據(jù)中1都出現(xiàn)了1次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1，此選項正確；
B、由平均數(shù)公式求得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，故此選項正確；
C、S2= [（1﹣4）2+（1﹣4）2+（6﹣4）2+（5﹣4）2+（1﹣4）2]=1.6，故此選項正確；
D、將這組數(shù)據(jù)按從大到校的順序排列，第1個數(shù)是1，故中位數(shù)為1，故此選項錯誤；
故選D．
考點：1.眾數(shù)；2.平均數(shù)；1.方差；4.中位數(shù).
3、B
【解析】
根據(jù)俯視圖是從上往下看的圖形解答即可.
【詳解】
從上往下看到的圖形是：
.
故選B.
【點睛】
本題考查三視圖的知識，解決此類圖的關鍵是由三視圖得到相應的立體圖形.從正面看到的圖是正視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左面看到的圖形是左視圖，能看到的線畫實線，被遮擋的線畫虛線.
4、C
【解析】
①通過條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質(zhì)就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，
②設BC=a，CE=y，由勾股定理就可以得出EF與x、y的關系，表示出BE與EF，即可判斷BE+DF與EF關系不確定；
③當∠DAF=15°時，可計算出∠EAF=60°，即可判斷△EAF為等邊三角形，
④當∠EAF=60°時，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和S△ABE，再通過比較大小就可以得出結論．
【詳解】
①四邊形ABCD是正方形，
∴AB═AD，∠B=∠D=90°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF
∵BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故①正確）．
②設BC=a，CE=y，
∴BE+DF=2（a-y）
EF=y，
∴BE+DF與EF關系不確定，只有當y=（2?）a時成立，（故②錯誤）．
③當∠DAF=15°時，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF=∠BAE=15°，
∴∠EAF=90°-2×15°=60°，
又∵AE=AF
∴△AEF為等邊三角形．（故③正確）．
④當∠EAF=60°時，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出：
(x+y)2+y2＝(x)2
∴x2=2y（x+y）
∵S△CEF=x2，S△ABE=y(x+y)，
∴S△ABE=S△CEF．（故④正確）．
綜上所述，正確的有①③④，
故選C．
【點睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質(zhì)解題時關鍵．
5、D
【解析】
解答此題要延長AB、DC相交于F，則BFC構成直角三角形，再用勾股定理進行計算．
【詳解】
延長AB、DC相交于F，則BFC構成直角三角形，

運用勾股定理得：
BC2=（15-3）2+（1-4）2=122+162=400，
所以BC=1．
則剪去的直角三角形的斜邊長為1cm．
故選D．
【點睛】
本題主要考查了勾股定理的應用，解答此題要延長AB、DC相交于F，構造直角三角形，用勾股定理進行計算．
6、B
【解析】
解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝10°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝10°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD＝6，
∵在Rt△BCD中，P點是BD的中點，
∴CP＝BD＝1．
故選B．
7、B
【解析】
根據(jù)整式的運算法則分別計算可得出結論.
【詳解】
選項A，由合并同類項法則可得3a2﹣6a2=﹣3a2，不正確；
選項B，單項式乘單項式的運算可得（﹣2a）?（﹣a）=2a2，正確；
選項C，根據(jù)整式的除法可得10a10÷2a2=5a8，不正確；
選項D，根據(jù)冪的乘方可得﹣（a3）2=﹣a6，不正確．
故答案選B．
考點：合并同類項；冪的乘方與積的乘方；單項式乘單項式．
8、C
【解析】
【分析】根據(jù)相關的定義(調(diào)查方式，概率，可能事件，必然事件)進行分析即可.
【詳解】
A. 檢測一批燈泡的使用壽命不適宜用普查，因為有破壞性；
B. 拋擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是，如果拋擲10次，就可能有5次正面朝上，因為這是隨機事件；
C. “367人中有兩人是同月同日生”為必然事件.因為一年只有365天或366天，所以367人中至少有兩個日子相同；
D. “多邊形內(nèi)角和與外角和相等”是可能事件.如四邊形內(nèi)角和和外角和相等.
故正確選項為：C
【點睛】本題考核知識點：對(調(diào)查方式，概率，可能事件，必然事件)理解. 解題關鍵：理解相關概念，合理運用舉反例法.
9、D
【解析】
根據(jù)ab＜0及正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的特點，可以從a＞0，b＜0和a＜0，b＞0兩方面分類討論得出答案．
【詳解】
解：∵ab＜0，
∴分兩種情況：
（1）當a＞0，b＜0時，正比例函數(shù)y=ax數(shù)的圖象過原點、第一、三象限，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，無此選項；
（2）當a＜0，b＞0時，正比例函數(shù)的圖象過原點、第二、四象限，反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，選項D符合．
故選D
【點睛】
本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．
10、C
【解析】
分析：必然事件就是一定發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可作出判斷．
詳解：A、三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，是不可能事件，故本選項不符合題意；
B、某射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件，故本選項不符合題意；
C、三角形的內(nèi)角和是180°，是必然事件，故本選項符合題意；
D、拋一枚硬幣，落地后正面朝上，是隨機事件，故本選項不符合題意；
故選C．
點睛：解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
11、
【解析】
試題分析：如圖，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F，可得BE∥CF，易證△BGD≌△CFD，所以GD=DF，BG=CF；又因BE是△ABC的角平分線且AD⊥BE，BG是公共邊，可證得△ABG≌△DBG，所以AG=GD=3；由BE∥CF可得△AGE∽△AFC，所以，即FC=3GE；又因BE=BG+GE=3GE+GE=4GE=6，所以GE=，BG=；在Rt△AFC中，AF=AG+GD+GF=9，CF=BG=，由勾股定理可求得AC=.

考點：全等三角形的判定及性質(zhì)；相似三角形的判定及性質(zhì)；勾股定理.
12、x≥﹣且x≠1．
【解析】
根據(jù)分式有意義的條件、二次根式有意義的條件列式計算．
【詳解】
由題意得，2x+3≥0，x-1≠0，
解得，x≥-且x≠1，
故答案為：x≥-且x≠1．
【點睛】
本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍，①當表達式的分母不含有自變量時，自變量取全體實數(shù)．②當表達式的分母中含有自變量時，自變量取值要使分母不為零．③當函數(shù)的表達式是偶次根式時，自變量的取值范圍必須使被開方數(shù)不小于零．
13、3a（a+1）（a﹣1）．
【解析】
首先提取公因式3a，進而利用平方差公式分解因式得出答案．
【詳解】
解：原式=3a（a2﹣1）
=3a（a+1）（a﹣1）．
故答案為3a（a+1）（a﹣1）．
【點睛】
此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵．
14、1
【解析】
分析：直接利用二次根式以及絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．
詳解：原式=5-3
=1．
故答案為1.
點睛：此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．
15、7
【解析】
試題分析：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC．
∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．
∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC．
又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE．
∴，即．
∴．
16、且
【解析】
根據(jù)一元二次方程的根與判別式△的關系，結合一元二次方程的定義解答即可.
【詳解】
由題意可得，1?k≠0，△＝4+4(1?k)＞0，
∴k＜2且k≠1.
故答案為k＜2且k≠1.
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程的根的判別式的應用，解題中要注意不要漏掉對二次項系數(shù)1-k≠0的考慮．
17、4cm．
【解析】
由題意知OD⊥AB，交AB于點C，由垂徑定理可得出BC的長，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理求出OC的長，由CD=OD-OC即可得出結論．
【詳解】
由題意知OD⊥AB，交AB于點E，
∵AB=16cm，
∴BC=AB=×16=8cm，
在Rt△OBE中，
∵OB=10cm，BC=8cm，
∴OC=（cm），
∴CD=OD-OC=10-6=4（cm）
故答案為4cm．
【點睛】
本題考查的是垂徑定理的應用，根據(jù)題意在直角三角形運用勾股定理列出方程是解答此題的關鍵．

三、解答題（共7小題，滿分69分）
18、（1），頂點P的坐標為；（2）E點坐標為；（3）Q點的坐標為.
【解析】
（1）利用交點式寫出拋物線解析式，把一般式配成頂點式得到頂點P的坐標；
（2）設，根據(jù)兩點間的距離公式，利用得到，然后解方程求出t即可得到E點坐標；
（3）直線交軸于，作于，如圖，利用得到，設，則，再在中利用正切的定義得到，即，然后解方程求出m即可得到Q點坐標.
【詳解】
解：（1）拋物線解析式為，
即，
，
頂點P的坐標為；
（2）拋物線的對稱軸為直線，
設，
，
，解得，
E點坐標為；
（3）直線交x軸于F，作MN⊥直線x=2于H，如圖，
，
而，
，
設，則，
在中，，
，
整理得，解得（舍去），，
Q點的坐標為.

【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式.
19、（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）由題意推出再結合，可得△BHE～△BCO.
（2）結合△BHE～△BCO ，推出帶入數(shù)值即可.
【詳解】
（1）證明：∵為圓的半徑，是的中點，
∴,,
∵,
∴，
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴∽．
（2）∵∽，
∴,
∵，,
∴得，
解得，
∴.
【點睛】
本題考查的知識點是圓與相似三角形，解題的關鍵是熟練的掌握圓與相似三角形.
20、（1）見解析；（2）1
【解析】
（1）根據(jù)ASA推出：△AEO≌△CFO；根據(jù)全等得出OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC即可推出四邊形是菱形；
（2）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AF=CF，設AF=x，推出AF=CF=x，BF=8－x．在Rt△ABF中，由勾股定理求出x的值，即可得到結論．
【詳解】
（1）∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO．
在△AEO和△CFO中，∵，∴△AEO≌△CFO（ASA）；∴OE=OF．
又∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．
又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形；
（2）設AF=x．
∵EF是AC的垂直平分線，∴AF=CF=x，BF=8﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周長為1．

【點睛】
本題考查了勾股定理，矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識點的綜合運用，用了方程思想．
21、（1）x≠﹣1；（2）2；（2）見解析；（4）在x＜﹣1和x＞﹣1上均單調(diào)遞增；
【解析】
（1）根據(jù)分母非零即可得出x+1≠0，解之即可得出自變量x的取值范圍；
（2）將y=代入函數(shù)解析式中求出x值即可；
（2）描點、連線畫出函數(shù)圖象；
（4）觀察函數(shù)圖象，寫出函數(shù)的一條性質(zhì)即可．
【詳解】
解：（1）∵x+1≠0，∴x≠﹣1．
故答案為x≠﹣1．
（2）當y==時，解得：x=2．
故答案為2．
（2）描點、連線畫出圖象如圖所示．
（4）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：函數(shù)在x＜﹣1和x＞﹣1上均單調(diào)遞增．

【點睛】
本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象，根據(jù)給定數(shù)據(jù)描點、連線畫出函數(shù)圖象是解題的關鍵．
22、旗桿AB的高為（4+1）m．
【解析】
試題分析：過點C作CE⊥AB于E，過點B作BF⊥CD于F．在Rt△BFD中，分別求出DF、BF的長度．在Rt△ACE中，求出AE、CE的長度，繼而可求得AB的長度．
試題解析：解：過點C作CE⊥AB于E，過點B作BF⊥CD于F，過點B作BF⊥CD于F．
在Rt△BFD中，∵∠DBF=30°，sin∠DBF==，cos∠DBF==．
∵BD=8，∴DF=4，BF=．
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，∴四邊形BFCE為矩形，∴BF=CE=4，CF=BE=CD﹣DF=1．
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=4，∴AB=4+1（m）．

答：旗桿AB的高為（4+1）m．
23、 (1)見解析;(2) .
【解析】
（1）連接OD，根據(jù)切線的判定方法即可求出答案；
（2）由于OD∥AC，點O是AB的中點，從而可知OD為△ABC的中位線，在Rt△CDE中，∠C＝60°，CE＝CD＝1，所以AE＝AC?CE＝4?1＝3，在Rt△AEF中，所以EF＝AE?sinA＝3×sin60°＝.
【詳解】
（1）連接OD，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°，
∵OD=OB，
∴△ODB是等邊三角形，
∴∠ODB=60°
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線
（2）∵OD∥AC，點O是AB的中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴BD=CD=2
在Rt△CDE中，
∠C=60°，
∴∠CDE=30°，
∴CE=CD=1
∴AE=AC﹣CE=4﹣1=3
在Rt△AEF中，
∠A=60°，
∴EF=AE?sinA=3×sin60°=
【點睛】
本題考查圓的綜合問題，涉及切線的判定，銳角三角函數(shù)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，本題屬于中等題型．
24、（1）y=；（2）1；
【解析】
（1）把點B的坐標代入反比例解析式求得k值，即可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)點B（3，4）、C（m，0）的坐標求得邊BC的中點E坐標為（，2），將點E的坐標代入反比例函數(shù)的解析式求得m的值，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可求解.
【詳解】
（1）把B坐標代入反比例解析式得：k=12，
則反比例函數(shù)解析式為y=；
（2）∵B（3，4），C（m，0），
∴邊BC的中點E坐標為（，2），
將點E的坐標代入反比例函數(shù)得2=，
解得：m=9，
則平行四邊形OBCD的面積=9×4=1．
【點睛】
本題為反比例函數(shù)的綜合應用，考查的知識點有待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、中點的求法．在（1）中注意待定系數(shù)法的應用，在（2）中用m表示出E點的坐標是解題的關鍵．

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