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湖南省長沙市雅禮中學2022屆高三下學期月考（九）數學試題
試卷副標題
考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx
題號
一
二
三
四
五
總分
得分






注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
請點擊修改第I卷的文字說明
評卷人
得分



一、單選題
1．已知復數（為虛數單位），則（???????）
A． B． C． D．
2．已知集合，，則的子集個數為（???????）
A． B． C． D．
3．函數圖象的大致形狀為（???????）
A． B．
C． D．
4．《增減算法統(tǒng)宗》中，許多數學問題都是以歌訣的形式出現(xiàn)的．其中有一首“葛藤纏木”，大意是說：有根高2丈的圓木柱，該圓木的周長為3尺，有根葛藤從圓木的根部向上生長，緩慢地自下而上均勻繞該圓木7周，剛好長的和圓木一樣高．已知1丈等于10尺，則能推算出該葛長為（???????）
A．21尺 B．25 C．29尺 D．33尺
5．“x，y為無理數”是“xy為無理數”的（???????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．下列對不等關系的判斷，正確的是（???????）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
7．已知雙曲線的右焦點為，圓（為雙曲線的半焦距）與雙曲線的一條漸近線交于兩點，且線段的中點落在另一條漸近線上，則雙曲線的方程是
A． B．
C． D．
8．若不等式在區(qū)間內的解集中有且僅有三個整數，則實數的取值范圍是（???????）．
A． B． C． D．
評卷人
得分



二、多選題
9．如果，，都是非零向量.下列判斷正確的有（???????）
A．若，，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
10．如圖是國家統(tǒng)計局發(fā)布的年月至年月的全國居民消費價格漲跌幅，其中同比，環(huán)比．

則下列說法正確的是（???????）
A．年月至年月全國居民消費價格環(huán)比的極差為
B．年月至年月全國居民消費價格同比的中位數為
C．這個月中，年月全國居民消費價格最低
D．年比年全國居民消費平均價格增長大于
11．已知函數，其中，，且滿足①；②；③在區(qū)間單調，則下述結論中正確的為（???????）
A． B．
C．函數的圖象關于直線對稱 D．函數在區(qū)間單調遞增
12．記表示與實數x最接近的整數，數列通項公式為（），其前項和為，設，則下列結論正確的是（???????）
A． B．
C． D．
第II卷（非選擇題）
請點擊修改第II卷的文字說明
評卷人
得分



三、填空題
13．的展開式中，的系數為___________.(用數字作答)
14．年北京冬奧會參加冰壺混雙比賽的隊伍共有支，冬奧會冰壺比賽的賽程安排如下，先進行循環(huán)賽，循環(huán)賽的規(guī)則規(guī)定：每支隊伍都要和其余支隊伍輪流交手一次，循環(huán)賽結束后按照比賽規(guī)則決出前名進行半決賽.勝者決冠軍，負者爭銅牌，則整個冰壺混雙比賽的場數是___________.
15．在△ABC中，，將△ABC繞BC旋轉至△BCD的位置，使得，如圖所示，則三棱錐外接球的體積為_____________．

評卷人
得分



四、雙空題
16．橢圓的光學性質，從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上.已知橢圓：，，為其左?右焦點.是上的動點，點，若的最大值為.動直線為此橢圓的切線，右焦點關于直線的對稱點，，則：（1）橢圓的離心率為___________；（2）的取值范圍為___________.
評卷人
得分



五、解答題
17．在①，②是的等比中項，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.
問題：已知各項均為正數的等差數列的前項和為，，且 .
（1）求；
（2）設數列的前項和為，試比較與的大小，并說明理由.
18．如圖，四邊形是圓柱的軸截面，圓柱的側面積為，點在圓柱的底面圓周上，且是邊長為的等邊三角形，點是線段上的動點.

(1)若是的中點，求證：；
(2)若，求與平面所成角的余弦值.
19．已知等腰三角形ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，c(c＋b)＝(a＋b)(a－b)．
(1)求A和b；
(2)若點E，F(xiàn)分別是線段BC(含端點)上的動點，且BF＞BE，在運動過程中始終有，求△EAF面積的最小值．
20．某校對學生關于開展數學研究性學習的態(tài)度進行調查，隨機抽調了人，他們數學成績的平均分（單位：分）的頻數分布及對開展數學研究性學習贊成人數如表：
成績






頻數






贊成人數







（1）根據以上統(tǒng)計數據完成下面的列聯(lián)表：能否有的把握認為學生關于開展數學研究性學習的態(tài)度與數學成績平均分為分分界點有關？

成績不低于分的人數
成績低于分的人數
合計
贊成



不贊成



合計




（2）若對數學成績平均分在和的被調查人中各隨機選取人進行追蹤調查，求在選中的人中有人不贊成的條件下，贊成開展數學研究性學習的人數的分布列及數學期望．
附參考公式與數據：，．













21．已知拋物線C：的焦點為，過且垂直于x軸的直線l與拋物線交于，兩點，拋物線的準線與x軸的交點為，已知的面積為.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知，，若在線段上，，是拋物線的兩條切線，切點為，，求面積的最大值.
22．已知函數.
(1)當時，設，求的最小值；
(2)若在上恒成立，求實數的取值范圍；
(3)證明：.

參考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根據復數的除法運算求出復數，再根據復數的模的計算公式即可得解.
【詳解】
解：，
所以.
故選：B.
2．C
【解析】
【分析】
化簡集合A、B,再根據集合的交集運算即可.
【詳解】
，，∴，∴的子集個數為8.
故選：C.
3．A
【解析】
【分析】
利用奇偶性定義判斷的奇偶性，結合的符號，應用排除法確定答案.
【詳解】
由且定義域為R，
所以為偶函數，排除C、D；
，且，，即，排除B.
故選：A
4．C
【解析】
【分析】
根據葛藤繞圓柱7周，由7個圓柱的側面展開圖拼成的矩形的對角線求解.
【詳解】
如圖所示，圓柱的側面展開圖是矩形ABEF，

由題意得：2丈=20尺，圓周長BE=3尺，
則葛藤繞圓柱7周后長為尺，
故選：C
5．D
【解析】
【分析】
對充分性和必要性分別取特殊值進行否定即可.
【詳解】
充分性：取符合“x，y為無理數”，但是不符合“xy為無理數”，故充分性不滿足；
必要性：當“xy為無理數”時，可以取，但是不符合“x，y為無理數”，故必要性不滿足.
故“x，y為無理數”是“xy為無理數”的既不充分也不必要條件.
故選：D
6．C
【解析】
【分析】
根據不等式的性質，對數函數、指數函數、正切函數的性質判斷，錯誤的可舉反例．
【詳解】
A．滿足，但，A錯；
B．，，滿足，但，B錯；
C．，C正確；
D．，但，D錯．
故選：C．
【點睛】
本題考查不等式的性質，考查函數的單調性．解題關鍵是掌握不等式的性質，掌握指數函數、對數函數、正切函數的性質．特別是函數的單調性問題，一般只有兩個在同一單調區(qū)間的自變量的值，才能比較它們函數的大小，否則需要轉化為同一單調上來，否則會出錯，因此可舉反例說明不等式是錯誤的．
7．D
【解析】
漸近線過圓心，代入求出漸近線，點在圓上，得，由中點及線段的中點，由中位線得漸近線與平行，建立方程組求解.
【詳解】
不妨設雙曲線的一條漸近線方程為，代入圓，得，則，所以.易知點在圓上，所以，得，即①.因為線段的中點落在另一條漸近線上，且，所以，與該漸近線垂直，所以該漸近線與平行，得②.解①②組成的方程組，得，所以雙曲線的方程為.
故選：D.
【點睛】
本題考查利用雙曲線的幾何性質求雙曲線方程.
求雙曲線方程的思路:
(1)如果已知雙曲線的中心在原點，且確定了焦點在軸上或軸上，則設出相應形式的標準方程，然后根據條件確定關于的方程組，解出，從而寫出雙曲線的標準方程(求得的方程可能是一個，也有可能是兩個，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)當焦點位置不確定時，有兩種方法來解決：一種是分類討論，注意考慮要全面；另一種是設雙曲線的一般方程為求解．
8．C
【解析】
【分析】
令，根據導數判斷出的單調性并求得最值，根據在區(qū)間內的解集中有且僅有三個整數，轉為在區(qū)間內的解集中有且僅有三個整數，結合圖像可得結果.
【詳解】
不等式，即，不等式成立則，
令，則.
令，得或；，得，
在和上單調遞增，在上單調遞減，
，且.如圖所示

當時，至多有一個整數解.當時，在區(qū)間內的解集中有且僅有三個整數，只需，即，
解得.
故選：C
【點睛】
本題考查不等式的解法和應用問題，考查利用導數研究函數的單調性最值和函數圖像，考查數形結合思想的應用，屬于中檔題.
9．ACD
【解析】
【分析】
利用平行向量的定義可判斷AD，利用數量積的概念及性質可判斷BC.
【詳解】
∵，，都是非零向量，
∴若，，則，故A正確；
若，，則，但不一定等于，故B錯誤；
由，可得，整理可得，所以，故C正確；
若，則，故D正確.
故選：ACD.
10．AB
【解析】
【分析】
計算出年月至年月全國居民消費價格環(huán)比的極差，可判斷A選項；利用中位數的定義可判斷B選項；根據漲幅可判斷C選項；利用平均數公式可判斷D選項.
【詳解】
年月至年月全國居民消費價格環(huán)比的最大值為，最小值為，
所以其極差為，A項正確；
年月至年月全國居民消費價格同比（單位：）從小到大依次為
、、、、、、、、、、、、，
其中位數為，B項正確；
從環(huán)比來看，假設2020年全國居民消費平均價格為1，經計算可得2020年12月全國居民消費平均價格，C項錯誤；
年比年全國居民消費價格平均增長為
，D項錯誤．
故選：AB.
11．AB
【解析】
【分析】
由①可得在處取得最值，由②可得關于對稱，由③可得，結合①②與題設條件可得，進而判斷選項
【詳解】
由得：，；
由得：，；
∴，.
由在區(qū)間單調得：，，
又，綜上可得，，，故AB正確；
又函數的圖象關于點對稱，滿足在區(qū)間單調遞減.
故CD錯誤；
故選：AB
12．BCD
【解析】
【分析】
A特殊值判斷即可；B、C由題設可得即可判斷正誤；D通過歸納總結得到數列中有2個1，4個，6個，8個，……，根據中各對應值的項數，進而求和.
【詳解】
由題意，記表示與實數最接近的整數且，
當時，可得，則， A不正確；
由，即，可得，故成立， B正確；
由B分析知：，平方得：，
因為且不是整數，其中是右側的最接近的整數，所以成立， C正確；
當時，，此時；
當時，，此時；
當時，，此時；
當時，，此時；……
歸納得：數列中有2個1，4個，6個，8個，……
又2，4，6，8，…構成首項為2，公差為2的等差數列，其前項和，
而，所以， D正確.
故選：BCD
【點睛】
關鍵點點睛：D選項，首先通過列舉歸納總結出對應值出現(xiàn)的次數，再由等差數列前n項和公式確定項的分布情況，進而求出.
13．5
【解析】
【分析】
利用二項展開式的通項公式可求得結果.
【詳解】
的展開式的通項公式為，，
令，得，
所以的系數為.
故答案為：5
14．49
【解析】
【分析】
分別計算循環(huán)賽、半決賽、決賽和銅牌爭奪賽的場次再求和即可
【詳解】
循環(huán)賽有場，決出前4名后，分兩組進行半決賽，半決賽舉行2場，勝者決冠軍舉行1場，負者爭銅牌舉行1場，共舉行場.
故答案為：49
15．
【解析】
【分析】
在△ABC中，利用余弦定理求得，從而將三棱錐D—ABC放入長方體中，如圖所示，設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則，長方體的外接球半徑就是三棱錐D—ABC的外接球半徑，求出長方體的對角線，可求得外接球的半徑，從而可求出體積
【詳解】
在△ABC中，由余弦定理得，所以．
在三棱錐D—ABC中，．
將三棱錐D—ABC放入長方體，設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，
棱錐D—ABC外接球的半徑為R，則，
所以，
所以，
從而三棱錐D—ABC外接球的體積
故答案為：

16．???? ????
【解析】
【分析】
根據題意得，所以，求出，即可求出，再求出離心率；根據橢圓的光學性質可得，即點的軌跡是以為圓心，半徑為4的圓，又表示點到直線的距離的倍，分析求解即可.
【詳解】
根據橢圓定義得：，
所以，因為的最大值為6，
因為，所以，即，解得，所以離心率為.
右焦點關于直線的對稱點，設切點為，由橢圓的光學性質可得：
，，三點共線，所以，
即點的軌跡是以為圓心，半徑為4的圓，
圓心到直線的距離為，
則圓上的點到直線的距離最小值，最大值，
所以點到直線的距離為：，
所以表示點到直線的距離的倍，
則，即.
故答案為：，.
17．（1）（2），理由見解析
【解析】
【分析】
（1）設等差數列{an}的公差為d，根據所選條件求出數列{an}的首項和公差，進一步求出{an}的通項公式；
（2）求得，運用數列的裂項相消求和求得，將與作差，通分化簡可得大?。?br /> 【詳解】
設等差數列的公差為，則
，
.
方案一：選條件①
由，
解得，，
.






又





方案二：選條件②
由
解得，

同方案一
方案三：選條件③
由
解得，

同方案一
【點睛】
規(guī)律方法點睛：使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點．
18．(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先證明出BP⊥AG，DP⊥AG，利用線面垂直的判定定理證明出AG⊥面BPD,即可證明AG⊥BD；
（2）在底面內過O作，連結OQ.以O為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.用向量法求解.
(1)
設圓柱的底面半徑為，高為.
因為三角形是邊長為的等邊三角形，所以.
因為圓柱的側面積為，所以，解得：.
在底面圓中，，，所以.
因為圓柱的母線底面，所以，.
因為，
所以，又，所以面.
因為面，
所以.在三角形中，，是的中點，所以.
又，所以面.
因為面，所以.
(2)
在底面內過作，連接.以為原點，，，分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系.
則，，，，，，.
所以，，.
因為，，
.
設為平面的法向量，
則，即，令得.
設與平面所成角為，則.
∵，∴與平面所成角的余弦值為.

19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理結論，結合，可求得；利用余弦定理結合即可求得A,從而求得b.
（2）利用（1）中的結論，分別在三角形和三角形中利用正弦定理，結合三角形面積公式，即可解出答案.
(1)
由正弦定理得：即： (R為三角形ABC的外接圓半徑)，
故 ，
由 得： ，
則 ，因為 ，故 ；
由等腰三角形ABC可得 ，故 ；
(2)
由（1）知： ，
由點E，F(xiàn)分別是線段BC(含端點)上的動點，且BF>BE，在運動過程中始終有 ，
知點在點的左邊,如圖：

設 ，不變，可知,
在中，由正弦定理可得，
，
在中，由正弦定理可得，
，
故
，，
，
三角形的面積的最小值為，此時．
20．（1）表格見解析，有；（2）分布列見解析，.
【解析】
【分析】
（1）根據頻數分布表中的數據填寫列聯(lián)表，再利用求出，然后利用臨界值表進行判斷，
（2）由題意知，的所有可能取值為，，，，然后求出各自對應的概率，從而可列出分布列，求出數學期望
【詳解】
解：（1）根據統(tǒng)計數據填寫列聯(lián)表，如下：

成績不低于分的人數
成績低于分的人數
合計
贊成



不贊成



合計

40
50

由表中數據，計算，
所以有的把握認為學生關于開展數學研究性學習的態(tài)度與數學成績平均分為分分界點有關；
（2）由題意知，的所有可能取值為，，，，則
，
，
，
，
所以的分布列為：











數學期望為．
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）聯(lián)立準線與拋物線的方程可得，，再根據面積求解即可；
（2）設，，的方程為，聯(lián)立拋物線的方程，根據判別式為0可得切線的方程為：，同理得到切線的方程，再根據點在切線?上，進而得直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程并表達出面積，結合韋達定理化簡求解即可
(1)
拋物線的焦點為，準線為：，直線為：，點，聯(lián)立，解得：，或，不妨設，，則.，得.
∴拋物線的方程為；
(2)
∵，，在線段上，∴，且.
依題意：切線，的斜率存在，
設，，的方程為，
聯(lián)立，消去得：，
，
整理得：，解得：，
∴切線的方程為：，即：.
同理可得切線的方程為，
又點在切線?上，∴，得直線的方程為，
即.聯(lián)立，得，
∴.
又點到直線的距離，
∴.
∵，∴，，則.
即面積的最大值為.
22．(1)
(2)
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據題意，所以，得在上恒成立，即在上單調遞增，所以，即在上單調遞增，求解即可；（2）根據題意得當時，恒成立，設，所以，再設，所以，可以求出的單調性，進而得到在上存在唯一零點，設為，確定的單調性，求出的最小值即可；（3）根據題意得，構造，求解證明即可.
(1)
根據題意，函數，所以，
則，故在上恒成立，
所以在上單調遞增，則有，所以在上單調遞增，
則有，故的最小值為；
(2)
根據題意得：在上恒成立，
當時，；當時，，設，
，
設，，
則時，，單調遞增；時，，
單調遞減.而，，，
所以在上存在唯一零點，設為，則時，，；
時，，，所以在處取得最大值，
在處取得最小值，所以，綜上所述：實數的取值范圍為.
(3)
由（2）知：時，，所以，所以，
即，
所以
，
所以.
【點睛】
函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯(lián)系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

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