試卷副標(biāo)題
考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx
注意事項(xiàng)：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明
1．集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，且，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．B．5C．9D．10
4．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
5．將甲，乙，丙3名醫(yī)生派到兩個社區(qū)指導(dǎo)疫情防控，要求每個社區(qū)至少派一人，則甲被派到社區(qū)的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，若，則（ ）
A．2B．4C．6D．
7．設(shè)a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
8．在等比數(shù)列中，已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
9．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在y軸上，短軸長等于，離心率為，過焦點(diǎn)為作軸的垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的方程為B．橢圓C的方程為
C．D．的周長為
10．某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對隨機(jī)抽出的編號為1~1000的1000名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中使用了兩個問題，問題1：你的編號是否為奇數(shù)？問題2：你是否吸煙？被調(diào)查者從設(shè)計好的隨機(jī)裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球50個，紅球50個）中摸出一個小球（摸完放回）：摸到白球則如實(shí)回答問題1，摸到紅球則如實(shí)回答問題2，回答“是”的人在一張白紙上畫一個“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個問題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無顧忌的給出真實(shí)的答案．最后統(tǒng)計得出，這1000人中，共有265人回答“是”，則下列表述正確的是（ ）
A．估計被調(diào)查者中約有15人吸煙B．估計約有15人對問題2的回答為“是”
C．估計該地區(qū)約有3%的中學(xué)生吸煙D．估計該地區(qū)約有1.5%的中學(xué)生吸煙
11．已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則一定有（ ）
A．B．C．D．
12．已知四面體中，，，，直線AB與CD所成角為，則下列說法正確的是（ ）
A．AD的取值可能為B．AD與BC所成角余弦值一定為
C．四面體ABCD體積一定為D．四面體ABCD的外接球的半徑可能為
第II卷（非選擇題）
請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明
13．在等差數(shù)列中，已知，則___________.
14．在的展開式中，的系數(shù)是______．（用數(shù)字作答）
15．如圖是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形EFGH組成的．若大正方形的邊長為，E為線段BF的中點(diǎn)，則______．
16．已知函數(shù)，若函數(shù)有5個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為______．
17．在△ABC中，已知．
(1)求A；
(2)若，求．
18．如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點(diǎn).
(1)求證：；
(2)若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.
19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，且．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求的最大值．
20．教育部門最近出臺了“雙減”政策，即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)）．“雙減”政策的出臺對校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響．某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對2021年前200名報名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計整理，其中數(shù)據(jù)如表．
(1)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移，為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為和的學(xué)員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進(jìn)行有獎問卷調(diào)查，求抽取的3人中消費(fèi)金額為的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)以頻率估計概率，假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員的消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布，，分別為報名前200名學(xué)員消費(fèi)的平均數(shù)以及方差（同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）．
①試估計該機(jī)構(gòu)學(xué)員2021年消費(fèi)金額為的概率（保留一位小數(shù)）；
②若從該機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人，記消費(fèi)金額為的人數(shù)為，求的方差．
參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，．
21．已知雙曲線的離心率為，記雙曲線C與圓的交點(diǎn)為，，，（逆時針排列），且矩形的面積為．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)，直線交雙曲線C的左支于A、B兩點(diǎn)，若△PAB的外接圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求m的值．
22．已知對于不相等的正實(shí)數(shù)a，b，有成立，我們稱其為對數(shù)平均不等式．現(xiàn)有函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，．
①證明：；
②證明：．
題號
一
二
三
四
總分
得分
評卷人
得分
一、單選題
評卷人
得分
二、多選題
評卷人
得分
三、填空題
評卷人
得分
四、解答題
消費(fèi)金額（千元）
人數(shù)
30
50
60
20
30
10
參考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根據(jù)解一元二次不等式的方法、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合集合交集的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】
因?yàn)?，?br>所以，
故選：C
2．D
【解析】
【分析】
設(shè)，其中a，，根據(jù)已知求出，，即得解.
【詳解】
解：設(shè)，其中a，，
則，則，，
此時z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.
故選：D．
3．A
【解析】
【分析】
由題意可知，利用基本不等式，即可求出的最小值.
【詳解】
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
故選：A．
4．B
【解析】
【分析】
先計算圓錐的底面周長，即為側(cè)面展開圖的弧長，進(jìn)而求得側(cè)面展開圖的半徑，從而求得側(cè)面積
【詳解】
設(shè)圓錐的母線為，即側(cè)面展開圖的半徑為
又圓錐的底面半徑為1，則側(cè)面展開圖的弧長為，
又側(cè)面展開圖是半圓，則，則
所以該圓錐的側(cè)面積為
故選：B
5．B
【解析】
【分析】
由題知總的派遣方案有種，其中甲被派到社區(qū)的方案有3種，進(jìn)而根據(jù)古典概型求解即可.
【詳解】
解：將甲，乙，丙3名醫(yī)生派到兩個社區(qū)指導(dǎo)疫情防控，要求每個社區(qū)至少派一人共有種不同的方案；
其中甲被派到社區(qū)可以是一個人被派去，也可以是和另外一個一起派去，故有種不同方案，
所以甲被派到社區(qū)的概率為.
故選：B
6．B
【解析】
【分析】
由拋物線定義可知，結(jié)合可得△PQF為正三角形，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，由可得，利用，可得答案.
【詳解】
由拋物線定義可知，∴，△PQF為正三角形，
設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，由拋物線可知：，
∵，∴，∴，∴.
故選：B．
7．B
【解析】
【分析】
利用余弦定理和正弦定理，以及倍角公式，直接計算即可求解
【詳解】
因?yàn)?，所以，即，所以，所以?若則.這與題設(shè)不合，故，又，所以，即.
故選：B
8．A
【解析】
【分析】
直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其充分條件，必要條件的定義求解即可.
【詳解】
∵公比，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴且，
∴且，
即“”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
9．AC
【解析】
【分析】
解方程組求出即可選項(xiàng)AB的真假，再利用通徑公式判斷選項(xiàng)C的真假，再利用橢圓的定義判斷選項(xiàng)D的真假.
【詳解】
解：由題意得：，所以，因?yàn)?，故，因?yàn)榻裹c(diǎn)，在y軸上，所以橢圓C的方程為，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯誤；
由通徑長可得，，所以選項(xiàng)C正確；
的周長為，所以選項(xiàng)D錯誤.
故選：AC．
10．BC
【解析】
【分析】
先求出回答問題2且回答的“是”的人數(shù)，從而估計出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比，即得解.
【詳解】
隨機(jī)抽出的1000名學(xué)生中，回答第一個問題的概率是，其編號是奇數(shù)的概率也是，所以回答問題1且回答的“是”的學(xué)生人數(shù)為，
回答問題2且回答的“是”的人數(shù)為，
從而估計該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為，
估計被調(diào)查者中吸煙的人數(shù)為.
故選：BC．
11．AB
【解析】
【分析】
根據(jù)，可得，進(jìn)而判斷出，A正確；
構(gòu)造，得到單調(diào)性，從而求出，B正確；CD選項(xiàng)可以舉出反例.
【詳解】
由正實(shí)數(shù)a，b，c，以及，可得，
又，所以．
所以，又，所以，
即，等價于，
構(gòu)造函數(shù)，
，
當(dāng)時，
故在上遞增，從而．
又取時，原式為同樣成立，
故CD不正確，
故選：AB
【點(diǎn)睛】
對于指數(shù)，對數(shù)比較大小問題，屬于高頻考點(diǎn)，難點(diǎn)在于部分題目需要構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行比較，本題中要結(jié)合不等式的特點(diǎn)構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)求出其單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小
12．ACD
【解析】
【分析】
可將四面體ABCD的四個頂點(diǎn)放入如下圖所示的直三棱柱中，考慮到直線AB與CD所成角為，故有兩種情況，通過計算可以判斷選項(xiàng)ABC的真假，再求四面體ABCD的外接球半徑判斷選項(xiàng)D的真假.
【詳解】
由題可知，，，則可將四面體ABCD的四個頂點(diǎn)放入如下圖所示的直三棱柱中，考慮到直線AB與CD所成角為，故有如下兩種情況：
對于左圖，，則，；此時AD與BC所成角余弦值為；所以選項(xiàng)A正確；
因?yàn)椋?br>所以；
分別取三棱柱上下底面三角形的外心G，H，連接GH，則線段GH的中點(diǎn)O即為三棱柱外接球球心，也即為四面體ABCD的外接球心，
故四面體ABCD的外接球半徑．
對于右圖，，則，；
此時AD與BC所成角余弦值為，所以選項(xiàng)B錯誤；
因?yàn)椋?br>所以，所以選項(xiàng)C正確；
同上可得四面體ABCD的外接球半徑．
所以選項(xiàng)D正確.
故選：ACD．
13．
【解析】
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可化簡得到，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得答案.
【詳解】
由題意在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d,
則
所以，于是，
故答案為：10
14．
【解析】
【分析】
用乘以展開式的項(xiàng)再加上乘以展開式的項(xiàng)，最后合并同類項(xiàng)即可求解
【詳解】
展開式的第項(xiàng)
展開式中項(xiàng)的系數(shù)為：．
故答案為：
15．4
【解析】
【分析】
利用數(shù)量積的幾何意義求解.
【詳解】
解：如圖所示：
設(shè)，由題可得，
所以，
解得．
過F作BC的垂線，垂足設(shè)為Q，
故，
故答案為：4．
16．
【解析】
【分析】
先分析函數(shù)的奇偶性，再轉(zhuǎn)化為有兩個不同的正實(shí)數(shù)解，令，求出函數(shù)的最小值即得解.
【詳解】
解：因?yàn)?，所以?br>所以函數(shù)為偶函數(shù)，又，
所以在上有兩個零點(diǎn)，
即有兩個不同的正實(shí)數(shù)解，即，
令，則，
；.
故在上遞減，上遞增，
故．畫出圖像如圖所示
從而.
故答案為：．
17．(1)
(2)7
【解析】
【分析】
（1）由兩角和的正弦公式變形已知后，利用平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系可求得，從而得角大??；
（2）由利用正弦、余弦的二倍角公式及商數(shù)關(guān)系求得，由二倍角公式得，然后由誘導(dǎo)公式、兩角和的正切公式計算可得．
(1)
在△ABC中，因?yàn)?，所以?br>所以．
∴．
∵，∴，故，即，所以．
(2)
在△ABC中，∵，，∴，，，
∴，
在△ABC中，∵，∴，
∴，
即．
18．(1)證明過程見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行證明即可；
（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點(diǎn)到面距離公式進(jìn)行求解即可.
(1)
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
，
，因?yàn)椋?br>所以，即，
(2)
設(shè)平面的法向量為，
，
所以有，
因?yàn)橹本€與平面所成角為，
所以，
解得，即，因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)到平面的距離為：
.
【點(diǎn)睛】
19．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用即項(xiàng)與和的關(guān)系方法求得，再利用求得；
（2）再由定義求得，并利用作差法得出是遞減的，從而易得最大值．
(1)
∵①，∴②，
由①②可得，由①也滿足上式，∴③，
∴④，由③④可得，
即，∴，∴．
(2)
由（1）可知，則，
記，
∴，
∴，
∴，即單調(diào)遞減，
∴的最大值為．
20．(1)分布列見解析，
(2)①0.8；②
【解析】
【分析】
（1）由已知頻數(shù)統(tǒng)計表，得出頻率，從而可得抽取的5人在兩個區(qū)間的人數(shù)，得出的可能值為，計算出概率得分布列，然后由期望公式計算期望；
（2）①由頻數(shù)分布表得各概率，計算出平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，再由正態(tài)分布的概率性質(zhì)求得概率發(fā)；②由二項(xiàng)分布的方差公式計算方差．
(1)
由題意得，抽中的5人中消費(fèi)金額為的人數(shù)為，
消費(fèi)金額為的人數(shù)為，設(shè)消費(fèi)金額為的人數(shù)為X，則，
所以，，，
所以X的分布列為：
；
(2)
①由題意得，
，
所以，
所以．
②由題意及①得，，，所以．
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由離心率得，化簡雙曲線方程后與圓方程聯(lián)立，求出，從而可求得矩形面積，由面積得出值得雙曲線方程；
（2）設(shè)，，雙曲線方程與直線方程聯(lián)立方程組，消元后由得的范圍，由韋達(dá)定理得，得中點(diǎn)坐標(biāo)，寫出線段的中垂線方程，再寫出線段中垂線方程，聯(lián)立求得圓心坐標(biāo)，然后由圓心到圓上點(diǎn)的距離相等求出值．
(1)
∵，∴，∴雙曲線，由得，，∴，∴，解得，
∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)
由得，
則，解得或，
設(shè)，，，，∴，，
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則，，即，
從而AB的中垂線為，又OP的中垂線為，
聯(lián)立、得圓心，
從而，
∴，
即，∵，∴．
22．(1)極大值為，無極小值
(2)①證明見解析；②證明見解析
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)區(qū)間即可求出極值；
（2）由和可得，由已知條件所給的不等式即可證得①；
由①可得，則，令，構(gòu)造函數(shù)，利用二次求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性即可證得②.
(1)
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
則當(dāng)時，；時，．
即在上遞增，上遞減，
故的極大值為，無極小值．
(2)
結(jié)合（1）由，；，，可得，
①由題意可得，從而，
即，
結(jié)合參考的公式可得：，
故，
且，即，從而有．
②由①可得，令，則，
所以，
則，
則，∴遞減，
又∵，∴，
故遞增，∴，
即，
即．
X
1
2
3
P

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