河南省頂級(jí)名校2022屆高三5月全真模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題--試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

絕密★啟用前河南省頂級(jí)名校2022屆高三5月全真模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx題號(hào)一二三總分得分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評(píng)卷人得分一、單選題1．設(shè)，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，的定義域?yàn)?/span>M，的定義域?yàn)?/span>N，則（）A． B． C．MN D．NM3．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．－80 B．80 C．－16 D．164．函數(shù)在下列區(qū)間單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．5．設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是（）A．，平行于同一個(gè)平面 B．，垂直于同一個(gè)平面C．內(nèi)一條直線垂直于內(nèi)一條直線 D．內(nèi)存在一條直線垂直于6．設(shè)x，y滿足約束條件則的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為C上一點(diǎn)，且，若，則C的離心率為（）A． B． C． D．8．設(shè)，為兩個(gè)互相垂直的單位向量，則（）A． B．C． D．9．過圓上的點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為（）A．2 B． C． D．10．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A． B． C． D．11．已知，，，且計(jì)算可知．有下述四個(gè)結(jié)論：①， ②， ③， ④．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③12．己知，則（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評(píng)卷人得分二、填空題13．雙曲線的焦距為______．14．己知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，，則______．15．若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差分別為，，則對(duì)于任意，不等式成立．某次考試滿分150分，共有1200名學(xué)生參加考試，全體學(xué)生的成績～N（90，62），則分?jǐn)?shù)不低于110分的學(xué)生不超過______人．16．在三棱錐中，，，底面是邊長為的等邊三角形，則在三棱錐內(nèi)，半徑最大的球的表面積為______．評(píng)卷人得分三、解答題17．如圖，在中，D為邊BC的中點(diǎn)，的平分線分別交AB，AD于E，F兩點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，，，求DE．18．某中學(xué)面向全校所有學(xué)生開展一項(xiàng)有關(guān)每天睡眠時(shí)間的問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，每天睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的學(xué)生占到，而每天睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)的學(xué)生只有．現(xiàn)從所有問卷中隨機(jī)抽取4份問卷進(jìn)行回訪（視比率為概率）．(1)求抽取到的問卷中至少有兩份調(diào)查結(jié)果為睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率；(2)記抽取到的問卷中調(diào)查結(jié)果為少于7小時(shí)的份數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望．19．如圖，在正方體中，E，F分別為AB，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)設(shè)平面與平面的交線為l，求二面角的正弦值．20．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且不垂直于x軸的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且當(dāng)l的傾斜角為時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)P為x軸上一點(diǎn)，且，證明：的外接圓過定點(diǎn)．21．已知函數(shù)，．(1)是否為的極值點(diǎn)？說明理由；(2)設(shè)a，b為正數(shù)，且，證明：．22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值．23．設(shè)a，b為正數(shù)，且．證明：(1)：(2)．
參考答案：1．D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)模的公式直接計(jì)算可得.【詳解】；；；.故選：D．2．B【解析】【分析】分別求出的定義域?yàn)?/span>M和的定義域?yàn)?/span>N即可求解.【詳解】，則，，則，所以，故選：B．3．A【解析】【分析】通項(xiàng)化簡后由x的指數(shù)等于0可得r，然后代回通項(xiàng)可得.【詳解】的展開式中的第項(xiàng)由，得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故選：A．4．B【解析】【分析】利用三角函數(shù)半角公式及倍角公式對(duì)原函數(shù)進(jìn)行變換，求解單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】，當(dāng)時(shí)，即時(shí)單調(diào)遞減，令，得是的單調(diào)遞減區(qū)間.故選:B．5．D【解析】【分析】由面面關(guān)系及面面垂直的判定方法依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】，平行于同一個(gè)平面時(shí)，則，A錯(cuò)誤；，垂直于同一個(gè)平面時(shí)，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，B錯(cuò)誤；內(nèi)一條直線垂直于內(nèi)一條直線，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，C錯(cuò)誤；內(nèi)一條直線垂直于，則，反之也成立，D正確.故選：D．6．A【解析】【分析】作出可行域，由得，求解截距的最大值即可求解.【詳解】如圖，，圍成的區(qū)域?yàn)?/span>及其內(nèi)部，其中，因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)直線過時(shí)，的最大值為1，所以，的最大值為2.故選：A．7．A【解析】【分析】由已知，，，可設(shè)，則，然后根據(jù)勾股定理表示出，然后再利用橢圓的定義表示出之間的關(guān)系，帶入到離心率中即可完成求解.【詳解】，設(shè)C的半焦距為c，則，則，，，，由橢圓定義可知，則，所以離心率，故選：A．8．C【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和性質(zhì)直接計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，為兩個(gè)互相垂直的單位向量，所以，A錯(cuò)誤；，，B錯(cuò)誤；，C正確；，，D錯(cuò)誤.故選：C．9．B【解析】【分析】將最小值問題轉(zhuǎn)化為最小值問題，然后結(jié)合圖形分析可解.【詳解】分別設(shè)圓，圓的圓心為，，根據(jù)題意可知，，所以，因?yàn)?/span>PQ與相切于點(diǎn)Q，由幾何關(guān)系可知，所以當(dāng)最小時(shí)，有最小值，所以當(dāng)P在線段上時(shí)，最小，此時(shí)，所以的最小值為.故選：B．10．C【解析】【分析】由條件得，由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可得到C正確；若，則公差，不合題意即可得到A錯(cuò)誤；若，，，即可得到B、D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，，故C正確；若，則公差，此時(shí)，則不合題意，A錯(cuò)誤；若，則，此時(shí)，，故B、D錯(cuò)誤.故選：C．11．D【解析】【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式和誘導(dǎo)公式推導(dǎo)出，，，從而得到，，利用正弦二倍角公式推導(dǎo)出，在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出.【詳解】，所以；，，所以，；；，，所以，所以①②③正確，故選：D．12．C【解析】【分析】變形，構(gòu)造函數(shù)，通過二次求導(dǎo)可知函數(shù)單調(diào)性，然后利用單調(diào)性可得a、b符號(hào).【詳解】，設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)，所以.故選：C．13．【解析】【分析】由，可得，，從而即可求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，，所以，解得，所以該雙曲線的焦距為．故答案為：.14．【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列遞增，求出首項(xiàng)和公比，再求出即可.【詳解】設(shè)的公比為q，由可知，，，，，為各項(xiàng)為負(fù)數(shù)的遞增等比數(shù)列，所以，，．15．54【解析】【分析】由已知，可取，帶入題目給的不等式中，計(jì)算分?jǐn)?shù)不低于110分的學(xué)生的概率，然后再乘以總?cè)藬?shù)即可完成求解.【詳解】由題意可知，取，則，所以分?jǐn)?shù)不低于110分的學(xué)生不超過人．故答案為：54.16．【解析】【分析】由題意即求三棱錐內(nèi)切球表面積，先根據(jù)條件確定內(nèi)切球球心，再結(jié)合平幾條件求球半徑，代入球表面積公式得結(jié)果. 【詳解】如圖，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，由對(duì)稱性可知三棱錐的內(nèi)切球的球心在上，且與的切點(diǎn)分別在，，，上，設(shè)，分別為球與面和面的切點(diǎn)，則在上，且，為球半徑，，在上，且，，計(jì)算得到，，，，則，，，則，，所以，，所以球的表面積為．故答案為：.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑.17．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）在中與中，分別運(yùn)用正弦定理可求解；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系得相關(guān)的三角函數(shù)值，再運(yùn)用直角三角形中的三角函數(shù)關(guān)系得相關(guān)邊長，最后運(yùn)用余弦定理可求解.(1)在中，由正弦定理可知，且在中，由正弦定理可知，因?yàn)?/span>D為BC中點(diǎn)，即，所以，即．(2)當(dāng)時(shí)，可知，，又因?yàn)?/span>，且為銳角，所以，所以，，因?yàn)?/span>，所以，，，，，由余弦定理可知，可得．18．(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得每位學(xué)生每天睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的概率為，每位學(xué)生每天睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率為，所以所求事件概率為；（2）根據(jù)題意可知，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，分別求概率，得到分布列，再求期望即可.(1)根據(jù)題意可知每位學(xué)生每天睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的概率為，每位學(xué)生每天睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率為，所以4份問卷中至少有兩份結(jié)果為睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率為：．(2)根據(jù)題意可知，則，，，，，所以的分布列為：01234 所以．19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）作出輔助線，由線段之比相等得到線線平行，進(jìn)而證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.(1)如圖，連接DF交于點(diǎn)G，連接DE交AC于點(diǎn)H，連接GH，因?yàn)?/span>E，F分別為AB，的中點(diǎn)，且，，所以，，所以，，又因?yàn)?/span>平面，且平面，所以平面．(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，，，所以，，，．設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，，，夾角為，則，，即，，不妨取，，得，所以，所以二面角的正弦值為．20．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程可得，設(shè)，，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可知，，代入已知關(guān)系求解即可.（2）由可知，，則直線AQ的斜率與直線BQ的斜率滿足，聯(lián)立方程即可求證.(1)當(dāng)l的傾斜角為時(shí)，l的斜率為1，，則：，代入C的方程，得，即，設(shè)，，則，，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可知，，，由，可知，，因?yàn)?/span>，可知，，所以，所以，C的方程為．(2)設(shè)的外接圓與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，由可知，，則直線AQ的斜率與直線BQ的斜率滿足．設(shè)l的斜率為k，由（1）可知，，代入，則，即，．設(shè)，，則，，，，所以，即，，所以，為定點(diǎn)，則的外接圓過定點(diǎn)，得證.21．(1)不是的極值點(diǎn)，理由見解析.(2)證明見解析【解析】【分析】（1），設(shè)，則，由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得在上單調(diào)遞增，設(shè)，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得，存在唯一，使得，進(jìn)而可得在上單調(diào)遞增，從而可得答案；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得在上單調(diào)遞增，則，進(jìn)而可得，即，又，從而有，即可證明.(1)解：由，得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，設(shè)，則在區(qū)間單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，，所以存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故不是的極值點(diǎn)；(2)解：設(shè)，即，則，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，故．因?yàn)?/span>，單調(diào)遞減，所以，即，且由（1）可知，在單調(diào)遞增，則，，故，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故，所以．綜上，若正數(shù)a，b滿足，則．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（2）問解題的關(guān)鍵是設(shè)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得在上單調(diào)遞增，則，進(jìn)而可得，即，又，從而根據(jù)的單調(diào)性即可證明.22．(1)C的直角坐標(biāo)方程為；l的直角坐標(biāo)方程為.(2)【解析】【分析】（1）由曲線C的參數(shù)方程消參即可求得曲線C直角坐標(biāo)方程，把，代入，即可求得直線l的直角坐標(biāo)方程.（2）法一：利用設(shè)切線聯(lián)立方程判別式為0求解；法二：設(shè)C上的點(diǎn)為，表示P到直線l的距離，用基本不等式即可求解最值.(1)因?yàn)?/span>，，所以，所以C的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為所以l的直角坐標(biāo)方程為．(2)方法一：因?yàn)榍€C與直線l沒有公共點(diǎn)，所以當(dāng)C的切線與l平行時(shí)，切點(diǎn)到l的距離為最小值，設(shè)切線方程為，代入C的方程，有，整理有，由可得，當(dāng)時(shí)，C的切線到l的距離為，當(dāng)時(shí)，C的切線到l的距離也為，故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為．方法二：設(shè)C上的點(diǎn)為，則P到直線l的距離為，等號(hào)在時(shí)取得，即或時(shí)成立．故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為．23．(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）將不等式左邊因式分解為，對(duì)使用基本不等式，然后綜合可證；（2）利用已知條件消元，然后由基本不等式可證(1)，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“＝”，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”，所以，所以．(2)因?yàn)?/span>所以所以，因?yàn)?/span>a，b為正數(shù)，且，所以，所以，所以．

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