2021-2022學年廣東省深圳市深圳中學高一下學期期中數學試題一、單選題1．（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的冪運算的周期性可直接求得結果.【詳解】，，，，其中，.故選：B.2．=（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角差的正弦可求三角函數式的值.【詳解】,故選：D.3．已知，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角的三角函數關系式，結合二倍角的正弦公式進行求解即可.【詳解】由，故選：B4．如圖，在中，點M是線段上靠近B的三等分點，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用向量的線性運算計算作答.【詳解】在中，點M是線段上靠近B的三等分點，則，所以.故選：B5．的內角所對的邊分別為，已知，（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】結合正弦定理求得正確答案.【詳解】，由正弦定理得.故選：A6．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cos B＝（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求即可.【詳解】由b2＝ac，又c＝2a，得，由余弦定理，得cos B＝＝.故選：B.7．已知向量，且，則的值是（       ）A．1 B． C．3 D．【答案】D【分析】根據向量垂直的坐標表示求，再利用兩角和的正切公式，求.【詳解】，，得，.故選：D8．在中，，若，則向量在上的投影是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，利用正弦定理求出，進而求出，再利用向量投影的意義計算作答.【詳解】在中，，，由正弦定理得：，即有，整理得，解得，，因此，，，，所以向量在上的投影是.故選：C二、多選題9．已知復數，下列說法正確的是（       ）A．復數z的虛部是 B．復數z的模為5C．復數z的共軛復數是 D．在復平面內復數z對應的點在第四象限【答案】BD【分析】根據復數的相關定義、模的運算與幾何意義即可求得答案.【詳解】復數的虛部為-3，A錯誤；復數的模為，B正確；復數的共軛復數為，C錯誤；復數對應的點的坐標為，在第四象限，D正確.故選：BD.10．已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若點A，B，C能構成三角形，則實數m可以是（　?。?/span>A．－2 B． C．1 D．－1【答案】ABD【分析】先求與，使之共線并求出的值，則A，B，C三點不共線即可構成三角形，因此取共線之外的值即可．【詳解】因為，．假設A，B，C三點共線，則1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，則A，B，C三點即可構成三角形.故選：ABD．11．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法中不正確的是（       ）A．向量，則B．若點G為的重心，則C．若O為所在平面內一點，且，則D．若I為的內心，則【答案】AC【分析】利用向量坐標運算及模的坐標表示計算判斷A；利用三角形重心定理計算判斷B；利用數量積運算律計算判斷C；利用三角形內角平分線性質推理計算判斷D作答.【詳解】對于A，，則，，A不正確；對于B，點G為的重心，如圖，延長交BC于E，則E是BC中點，則，因此，，B正確；對于C，由得：，即，點O在邊BC的高所在直線上，顯然，C不正確；對于D，I為的內心，如圖，延長交BC于D，顯然分別平分，則有，，，，，同理，，所以，D正確.故選：AC【點睛】易錯點睛：平面向量數量積的關系等式中，不能全與代數等式的相關性質類比，如：不能推出.12．如圖，甲船從出發(fā)以每小時25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船出發(fā)時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里．當甲船航行12分鐘到達處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距5海里，下面正確的是（       ）A．乙船的行駛速度與甲船相同 B．乙船的行駛速度是海里/小時C．甲乙兩船相遇時，甲行駛了小時 D．甲乙兩船不可能相遇【答案】AD【分析】連接，求出，再用余弦定理求出，計算乙船速度判斷A，B；延長與延長線交于O，計算甲乙到達點O的時間判斷C，D作答.【詳解】如圖，連接，依題意，（海里），而海里，，則是正三角形，，海里，在中，，海里，由余弦定理得：，且有，所以乙船的行駛速度是海里/小時，A正確，B不正確；延長與延長線交于O，顯然有，即，海里，海里，海里，甲船從出發(fā)到點O用時（小時），乙船從出發(fā)到點O用時（小時），，即甲船先到達點O，所以，甲乙兩船不可能相遇，C不正確，D正確.故選：AD【點睛】關鍵點睛：解三角形應用問題，根據題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型是解題的關鍵．三、填空題13．函數的最大值為________．【答案】2【分析】利用輔助角公式化簡即可求解.【詳解】解：，當時，函數取得最大值為2．故答案為：2．14．已知在復平面內對應的點在第三象限，則實數m的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據復數的運算法則和復數的幾何意義即可列式計算.【詳解】，由題可知，.故答案為：.15．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則_______．【答案】1【分析】根據給定條件，確定角A與B的關系，結合誘導公式計算作答.【詳解】在中，因，則，，所以.故答案為：116．中，M為邊上任意一點，為中點，，則的值為________【答案】【分析】根據即可得，進而得答案.【詳解】因為，所以 ，所以，所以故答案為：【點睛】本題考查基底表示向量，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于借助得，進而求解.四、解答題17．已知復數滿足為虛數單位)，復數.（1）求；（2）若是純虛數，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用復數代數形式的乘除運算化簡即可，（2）先求出，再利用純虛數的概念列出方程組得答案.【詳解】解：（1），，（2），是純虛數，，.18．已知為銳角，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）由二倍角的余弦公式，結合正余弦齊次式法計算作答.（2）由同角公式求出，再利用差角的正切公式計算作答.【詳解】(1)因，所以.(2)因為銳角，則，而，則，于是得，所以.19．如圖，已知內接于以O圓心，半徑為2的圓O中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，R表示的外接圓半徑．若和是圓O的弦，且．(1)求；(2)求弦的長．【答案】(1)30°；(2).【分析】（1）由正弦定理求出，進而根據角的范圍求得答案；（2）通過正弦定理并結合兩角和與差的正弦公式即可求得答案.【詳解】(1)由正弦定理可知，因為，所以，則.(2)由（1）可知，于是由正弦定理可得，即弦AB的長為.20．己知函數，在銳角中，．(1)求A的值；(2)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，求銳角面積最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用給定函數及，借助同角公式求出A作答.（2）利用余弦定理結合均值不等式，求出的最大值，再由三角形面積定理求解作答.【詳解】(1)依題意，，則，在銳角中，，，于是得，解得，所以.(2)在銳角中，由余弦定理得：，即，當且僅當時取“=”，于是得，所以銳角面積最大值為.21．如圖，在直角梯形中，，，，M為上靠近B的三等分點，交于．(1)用和表示；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）據給定條件及幾何圖形，利用平面向量的線性運算即可求解；（2）選定一組基向量，將由這一組基向量的唯一表示及三點共線即可求解.【詳解】(1)由題意可知，因為，所以.又因為M為上靠近B的三等分點，所以...(2)因為交于，由（1）知，，所以，因為三點共線，所以，解得，所以，即，于是有.所以.22．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量．(1)若，且，求向量的坐標；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）運用向量平行的條件和向量的模長公式，解方程可得，進而得到所求向量的坐標；（2）由向量垂直數量積為零的條件求出，代入函數式子化簡，利用余弦函數的性質，可得所求函數的最小值.【詳解】(1) ， ，         ①又             ②由①②得， 當時，（舍去）當時， (2)由（1）知， 即 又 的取值范圍為.

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