絕密★啟用前廣東省深圳市深圳中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx題號(hào)一二三四總分得分     注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評(píng)卷人得分  一、單選題1．（       ）A． B． C． D．2．=（       ）A． B． C． D．3．已知，則（       ）A． B． C． D．4．如圖，在中，點(diǎn)M是線段上靠近B的三等分點(diǎn)，則（       ）A． B． C． D．5．的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，（       ）A． B． C． D．6．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cos B＝（     ）A． B． C． D．7．已知向量，且，則的值是（       ）A．1 B． C．3 D．8．在中，，若，則向量在上的投影是（       ）A． B． C． D．評(píng)卷人得分  二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（       ）A．復(fù)數(shù)z的虛部是 B．復(fù)數(shù)z的模為5C．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是 D．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限10．（多選題）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是（　?。?/span>A．－2 B． C．1 D．－111．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列說法中不正確的是（       ）A．向量，則B．若點(diǎn)G為的重心，則C．若O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則D．若I為的內(nèi)心，則12．如圖，甲船從出發(fā)以每小時(shí)25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船出發(fā)時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里．當(dāng)甲船航行12分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距5海里，下面正確的是（       ）A．乙船的行駛速度與甲船相同 B．乙船的行駛速度是海里/小時(shí)C．甲乙兩船相遇時(shí)，甲行駛了小時(shí) D．甲乙兩船不可能相遇第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評(píng)卷人得分  三、填空題13．函數(shù)的最大值為________．14．已知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．15．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則_______．16．中，M為邊上任意一點(diǎn)，為中點(diǎn)，，則的值為________評(píng)卷人得分  四、解答題17．已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù).（1）求；（2）若是純虛數(shù)，求的值.18．已知為銳角，．(1)求的值；(2)求的值．19．如圖，已知內(nèi)接于以O圓心，半徑為2的圓O中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，R表示的外接圓半徑．若和是圓O的弦，且．(1)求；(2)求弦的長．20．己知函數(shù)，在銳角中，．(1)求A的值；(2)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，求銳角面積最大值．21．如圖，在直角梯形中，，，，M為上靠近B的三等分點(diǎn)，交于．(1)用和表示；(2)求．22．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量．(1)若，且，求向量的坐標(biāo)；(2)若，求的取值范圍．
參考答案：1．B【解析】【分析】由的冪運(yùn)算的周期性可直接求得結(jié)果.【詳解】，，，，其中，.故選：B.2．D【解析】【分析】利用兩角差的正弦可求三角函數(shù)式的值.【詳解】,故選：D.3．B【解析】【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二倍角的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，故選：B4．B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】在中，點(diǎn)M是線段上靠近B的三等分點(diǎn)，則，所以.故選：B5．A【解析】【分析】結(jié)合正弦定理求得正確答案.【詳解】，由正弦定理得.故選：A6．B【解析】【分析】利用余弦定理求即可.【詳解】由b2＝ac，又c＝2a，得，由余弦定理，得cos B＝＝.故選：B.7．D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求，再利用兩角和的正切公式，求.【詳解】，，得，.故選：D8．C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出，進(jìn)而求出，再利用向量投影的意義計(jì)算作答.【詳解】在中，，，由正弦定理得：，即有，整理得，解得，，因此，，，，所以向量在上的投影是.故選：C9．BD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)定義、模的運(yùn)算與幾何意義即可求得答案.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部為-3，A錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)的模為，B正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第四象限，D正確.故選：BD.10．ABD【解析】【分析】先求與，使之共線并求出的值，則A，B，C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形，因此取共線之外的值即可．【詳解】因?yàn)?/span>，．假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，則A，B，C三點(diǎn)即可構(gòu)成三角形.故選：ABD．11．AC【解析】【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算及模的坐標(biāo)表示計(jì)算判斷A；利用三角形重心定理計(jì)算判斷B；利用數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算判斷C；利用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)推理計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，，則，，A不正確；對(duì)于B，點(diǎn)G為的重心，如圖，延長交BC于E，則E是BC中點(diǎn)，則，因此，，B正確；對(duì)于C，由得：，即，點(diǎn)O在邊BC的高所在直線上，顯然，C不正確；對(duì)于D，I為的內(nèi)心，如圖，延長交BC于D，顯然分別平分，則有，，，，，同理，，所以，D正確.故選：AC【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積的關(guān)系等式中，不能全與代數(shù)等式的相關(guān)性質(zhì)類比，如：不能推出.12．AD【解析】【分析】連接，求出，再用余弦定理求出，計(jì)算乙船速度判斷A，B；延長與延長線交于O，計(jì)算甲乙到達(dá)點(diǎn)O的時(shí)間判斷C，D作答.【詳解】如圖，連接，依題意，（海里），而海里，，則是正三角形，，海里，在中，，海里，由余弦定理得：，且有，所以乙船的行駛速度是海里/小時(shí)，A正確，B不正確；延長與延長線交于O，顯然有，即，海里，海里，海里，甲船從出發(fā)到點(diǎn)O用時(shí)（小時(shí)），乙船從出發(fā)到點(diǎn)O用時(shí)（小時(shí)），，即甲船先到達(dá)點(diǎn)O，所以，甲乙兩船不可能相遇，C不正確，D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解三角形應(yīng)用問題，根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型是解題的關(guān)鍵．13．2【解析】【分析】利用輔助角公式化簡即可求解.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為2．故答案為：2．14．【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的幾何意義即可列式計(jì)算.【詳解】，由題可知，.故答案為：.15．1【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定角A與B的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算作答.【詳解】在中，因，則，，所以.故答案為：116．【解析】【分析】根據(jù)即可得，進(jìn)而得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以 ，所以，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查基底表示向量，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于借助得，進(jìn)而求解.17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡即可，（2）先求出，再利用純虛數(shù)的概念列出方程組得答案.【詳解】解：（1），，（2），是純虛數(shù)，，.18．(1)；(2)1.【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式，結(jié)合正余弦齊次式法計(jì)算作答.（2）由同角公式求出，再利用差角的正切公式計(jì)算作答.(1)因，所以.(2)因為銳角，則，而，則，于是得，所以.19．(1)30°；(2). 【解析】【分析】（1）由正弦定理求出，進(jìn)而根據(jù)角的范圍求得答案；（2）通過正弦定理并結(jié)合兩角和與差的正弦公式即可求得答案.(1)由正弦定理可知，因?yàn)?/span>，所以，則.(2)由（1）可知，于是由正弦定理可得，即弦AB的長為.20．(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用給定函數(shù)及，借助同角公式求出A作答.（2）利用余弦定理結(jié)合均值不等式，求出的最大值，再由三角形面積定理求解作答.(1)依題意，，則，在銳角中，，，于是得，解得，所以.(2)在銳角中，由余弦定理得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，于是得，所以銳角面積最大值為.21．(1)(2)【解析】【分析】（1）據(jù)給定條件及幾何圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）選定一組基向量，將由這一組基向量的唯一表示及三點(diǎn)共線即可求解.(1)由題意可知，因?yàn)?/span>，所以.又因?yàn)?/span>M為上靠近B的三等分點(diǎn)，所以...(2)因?yàn)?/span>交于，由（1）知，，所以，因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，所以，解得，所以，即，于是有.所以.22．(1)；(2).【解析】【分析】（1）運(yùn)用向量平行的條件和向量的模長公式，解方程可得，進(jìn)而得到所求向量的坐標(biāo)；（2）由向量垂直數(shù)量積為零的條件求出，代入函數(shù)式子化簡，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得所求函數(shù)的最小值.(1) ， ，         ①又             ②由①②得， 當(dāng)時(shí)，（舍去）當(dāng)時(shí)， (2)由（1）知， 即 又 的取值范圍為. 

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