?2020-2021學年湖北省襄陽市、宜昌市、荊州市、荊門市高二（下）期末數(shù)學試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）設(shè)，向量，若，則　　
A． B． C．1 D．3
2．（5分）已知隨機變量的分布列如表所示，則　　


0
1




A． B．0 C． D．
3．（5分）已知圓，圓，則這兩個圓的位置關(guān)系為　　
A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)含
4．（5分）一袋中有大小相同的3個紅球和2個白球，從中不放回地取球2次，每次任取一球，在第一次取到紅球的條件下，第二次也取到紅球的概率為　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知函數(shù)在處取得極值，則曲線在點，處的切線方程為　　
A． B． C． D．
6．（5分）2021年是“十四五”開局之年，“三農(nóng)”工作重心轉(zhuǎn)向全面推進鄉(xiāng)村振興．某縣現(xiàn)招錄了5名大學生，其中3名男生，2名女生，計劃全部派遣到、、三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)參加鄉(xiāng)村振興工作，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少派遣1名大學生，鄉(xiāng)鎮(zhèn)只派2名男生．則不同的派遣方法總數(shù)為　　
A．9 B．18 C．36 D．54
7．（5分）如圖，在三棱柱中，與相交于點，，，，則線段的長度為　　

A． B． C． D．
8．（5分）已知函數(shù)，若對任意的，，且，都有，則實數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C．， D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9．（5分）下列命題中，正確的命題有　　
A．利用最小二乘法，由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必過樣本點的中心，
B．設(shè)隨機變量，則
C．天氣預報，五一假期甲地的降雨概率是0.3，乙地的降雨概率是0.2，假定這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互沒有影響，則這段時間內(nèi)甲地和乙地都不降雨的概率為0.5
D．在線性回歸模型中，表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，越接近于1，表示回歸的效果越好
10．（5分）已知的展開式中各項系數(shù)的和為1，則下列結(jié)論正確的有　　
A．
B．展開式中二項式系數(shù)之和為256
C．展開式中系數(shù)最大的項為第3項
D．展開式中的系數(shù)為
11．（5分）如圖所示，在棱長為1的正方體中中，，分別為棱，的中點，則以下四個結(jié)論正確的是　　

A．平面
B．平面
C．異面直線和所成的角的正切值為
D．若為直線上的動點，則三棱錐的體積為定值
12．（5分）已知拋物線的焦點為，為拋物線上一動點，直線交拋物線于，兩點，點，則下列說法正確的是　　
A．存在直線，使得，兩點關(guān)于對稱
B．的最小值為6
C．當直線過焦點時，以為直徑的圓與軸相切
D．若分別以，為切點的拋物線的兩條切線的交點在準線上，則，兩點的縱坐標之和的最小值為4
三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知隨機變量服從正態(tài)分布且，則　?。?br /> 14．（5分）已知等差數(shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列，是數(shù)列的前項和，則　?。?br /> 15．（5分）已知函數(shù)在上連續(xù)且可導，為偶函數(shù)且（2），其導函數(shù)滿足，則函數(shù)的零點個數(shù)為 　?。?br /> 16．（5分）已知正四面體的棱長為，是該正四面體內(nèi)切球球面上的動點，則的最小值為 　　．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知圓經(jīng)過點，且與直線相切于點．
（1）求圓的方程；
（2）設(shè)直線與圓相交于，兩點，求弦長．
18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且是等差數(shù)列，，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
19．（12分）如圖，在三棱柱中，已知側(cè)面，，，．
（1）求證：平面；
（2）若是的中點，求二面角的余弦值．

20．（12分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某高中決定在全校約3000名高中生中開展“學黨史、知奮進”黨史知識競賽活動，設(shè)置一、二、三等獎若干名．為了解學生的獲獎情況與選修歷史學科之間的關(guān)系，在全校隨機選取了50名學生作為樣本，統(tǒng)計這50名學生的獲獎情況后得到如下列聯(lián)表：

沒有獲獎
獲獎
合計
選修歷史
4

20
沒有選修歷史



合計

12

（1）請完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有的把握認為“黨史知識競賽是否獲獎與選修歷史學科”有關(guān)；（結(jié)果保留一位小數(shù)）
（2）①在上述樣本中從選修歷史的學生中抽取4名學生，設(shè)抽到?jīng)]有獲獎的人數(shù)為，求（概率用組合數(shù)表示即可）；
②若將樣本頻率視為概率，從全校獲獎的學生中隨機抽取14人，求這些人中選修了歷史學科的人數(shù)的數(shù)學期望．下面的臨界值表供參考

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（參考公式：，其中
21．（12分）已知雙曲線的方程為，橢圓的焦點為和，橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的方程；
（2）不經(jīng)過橢圓的焦點的直線與以坐標原點為圓心、為半徑的圓相切，且與橢圓交于，兩點，試判斷△的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由．
22．（12分）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當時，若存在兩個不相等的正數(shù)，，滿足，求證：．

2020-2021學年湖北省襄陽市、宜昌市、荊州市、荊門市高二（下）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）設(shè)，向量，若，則　　
A． B． C．1 D．3
【解答】解：因為向量，且，
則有，解得．
故選：．
2．（5分）已知隨機變量的分布列如表所示，則　　


0
1




A． B．0 C． D．
【解答】解：由題意可得：，解得．
所以．
故選：．
3．（5分）已知圓，圓，則這兩個圓的位置關(guān)系為　　
A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)含
【解答】解：根據(jù)題意，圓，圓心，半徑，
圓，圓心，半徑，
圓心距，有，
則兩圓相交；
故選：．
4．（5分）一袋中有大小相同的3個紅球和2個白球，從中不放回地取球2次，每次任取一球，在第一次取到紅球的條件下，第二次也取到紅球的概率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為第一次取到紅球，
所以還剩下2個紅球和2個白球，
故第二次也取到紅球的概率為．
故選：．
5．（5分）已知函數(shù)在處取得極值，則曲線在點，處的切線方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得，
由題意，（1），即．
，，
，，
則曲線在點，處的切線方程為，即．
故選：．
6．（5分）2021年是“十四五”開局之年，“三農(nóng)”工作重心轉(zhuǎn)向全面推進鄉(xiāng)村振興．某縣現(xiàn)招錄了5名大學生，其中3名男生，2名女生，計劃全部派遣到、、三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)參加鄉(xiāng)村振興工作，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少派遣1名大學生，鄉(xiāng)鎮(zhèn)只派2名男生．則不同的派遣方法總數(shù)為　　
A．9 B．18 C．36 D．54
【解答】解：鄉(xiāng)鎮(zhèn)派2名男生有種，
然后剩下3人派給鄉(xiāng)鎮(zhèn)，有種，
故共有種，
故選：．
7．（5分）如圖，在三棱柱中，與相交于點，，，，則線段的長度為　　

A． B． C． D．
【解答】解：四邊形是平行四邊形，，
，
，，，，
，，，，
，
，即．
故選：．

8．（5分）已知函數(shù)，若對任意的，，且，都有，則實數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C．， D．
【解答】解：因為，，且，不妨設(shè)，
所以，
于是題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
當 時，，
令
令，解得；令，解得．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以．
故選：．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9．（5分）下列命題中，正確的命題有　　
A．利用最小二乘法，由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必過樣本點的中心，
B．設(shè)隨機變量，則
C．天氣預報，五一假期甲地的降雨概率是0.3，乙地的降雨概率是0.2，假定這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互沒有影響，則這段時間內(nèi)甲地和乙地都不降雨的概率為0.5
D．在線性回歸模型中，表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，越接近于1，表示回歸的效果越好
【解答】解：對于：線性回歸直線必過樣本點的中心，而樣本點未必在回歸直線上，故正確；
對于：由于隨機變量，則，故正確；
對于：甲地和乙地都不降雨的概率為，故不正確；
對于：在線性回歸模型中，表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，越接近于1，表示回歸的效果越好，故正確．
故選：．
10．（5分）已知的展開式中各項系數(shù)的和為1，則下列結(jié)論正確的有　　
A．
B．展開式中二項式系數(shù)之和為256
C．展開式中系數(shù)最大的項為第3項
D．展開式中的系數(shù)為
【解答】解：選項：令可得：，解得，故正確，
選項：所以二項式為，二項式系數(shù)和為，故錯誤，
選項：二項式展開式為，
令，解得，所以展開式的的系數(shù)為，故錯誤，
選項：二項式的展開式為，
設(shè)第項的系數(shù)最大，則，解得，又，所以，
又當時，是二項式的展開式第3項，即，故正確，
故選：．
11．（5分）如圖所示，在棱長為1的正方體中中，，分別為棱，的中點，則以下四個結(jié)論正確的是　　

A．平面
B．平面
C．異面直線和所成的角的正切值為
D．若為直線上的動點，則三棱錐的體積為定值
【解答】解：以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系：

則，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，
所以，1，，，，，，0，，
因為，
所以不垂直于，
所以不垂直于平面，故錯誤；
對于：因為，分別是，中點，
所以是△的中位線，
所以，
因為，
所以，
所以平面，故正確；
對于，0，，，，，
所以，，
所以，，故正確；
對于：當點為，0，時，，，，
平面的法向量，，，
，，
所以，，
當點為，1，時，，0，，
，，
所以，，
所以點到平面的距離不是定值，
所以三棱錐的體積不是定值，故錯誤．
故選：．

12．（5分）已知拋物線的焦點為，為拋物線上一動點，直線交拋物線于，兩點，點，則下列說法正確的是　　
A．存在直線，使得，兩點關(guān)于對稱
B．的最小值為6
C．當直線過焦點時，以為直徑的圓與軸相切
D．若分別以，為切點的拋物線的兩條切線的交點在準線上，則，兩點的縱坐標之和的最小值為4
【解答】解：由于拋物線的焦點，
對于，假設(shè)存在直線，使得，兩點關(guān)于直線對稱，
則設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，
所以，
所以△，即，
設(shè)，，，，線段的中點為，
所以，
所以，，
點在直線上，
所以，解得，與矛盾，故不正確；
對于：設(shè)為拋物線的準線，則準線的方程為，過點作于點，

則，當且僅當，， 三點共線時等號成立，
所以的最小值為6，故正確；
對于：當直線過焦點時，設(shè)，，
則以為直徑的圓心為的中點，，，
所以圓心到軸的距離為，
由拋物線的定義可得為點到準線的距離，即，
所以，
所以當直線過焦點時，以為直徑的圓與軸相切，故正確；
對于：設(shè)，，，，
由，即，
所以，
則切線的方程為，即，
同理切線的方程為，
聯(lián)立，
解得，，
由題意，點在準線上，
則，
所以，
所以，
所以當時，取得最小值4，故正確；
故選：．
三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知隨機變量服從正態(tài)分布且，則　0.4?。?br /> 【解答】解：因為隨機變量服從正態(tài)分布，故對稱軸為．
由得：．
則．
故答案為：0.4．
14．（5分）已知等差數(shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列，是數(shù)列的前項和，則　108　．
【解答】解：由，，成等比數(shù)列，得，即，
整理并解得，所以．
故答案為：108．
15．（5分）已知函數(shù)在上連續(xù)且可導，為偶函數(shù)且（2），其導函數(shù)滿足，則函數(shù)的零點個數(shù)為 　3　．
【解答】解：因為為偶函數(shù)，
所以關(guān)于軸對稱，
又向右平移1個單位長度得到，
所以關(guān)于對稱，
因為，
當時，，，單調(diào)遞增，
當時，，，單調(diào)遞減，
所以（1），
又因為（2），
所以，
所以函數(shù)有兩個零點0，2，
令，得或，
所以函數(shù)的零點有三個0，1，2．
故答案為：3．
16．（5分）已知正四面體的棱長為，是該正四面體內(nèi)切球球面上的動點，則的最小值為 　?。?br /> 【解答】解：四面體是棱長為的正四面體，
底面外接圓的半徑為，
四面體的高為，
其體積，
設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，得．
如圖，取的中點為，
則．
則當?shù)拈L度最小時，取得最小值，
設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，可得，
球心到點的距離，
球上的點到的最小距離為，
的最小值為．
故答案為：．

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知圓經(jīng)過點，且與直線相切于點．
（1）求圓的方程；
（2）設(shè)直線與圓相交于，兩點，求弦長．
【解答】解：（1）過切點且與垂直的直線為，
即，則其經(jīng)過圓心．
直線的方程為，直線的中垂線過圓心，
聯(lián)立，解得，．
圓心為，半徑，
所求圓的方程為；
（2）直線的方程為，圓心到直線的距離，
設(shè)的中點為，連接，則必有，
在中，，
．
18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且是等差數(shù)列，，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
【解答】解：（1）由題意得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則．，，
當時，，經(jīng)檢驗也滿足上式，，
（2），
，
．
19．（12分）如圖，在三棱柱中，已知側(cè)面，，，．
（1）求證：平面；
（2）若是的中點，求二面角的余弦值．

【解答】（1）證明：因為平面，平面，則，
又，則，
所以，又，，平面，
故平面；
（2）解：以為坐標原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，
所以，
設(shè)為平面的法向量，
則，即，
令，則，
因為平面，
所以在方向上取平面的法向量，
所以，
故二面角的余弦值為．

20．（12分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某高中決定在全校約3000名高中生中開展“學黨史、知奮進”黨史知識競賽活動，設(shè)置一、二、三等獎若干名．為了解學生的獲獎情況與選修歷史學科之間的關(guān)系，在全校隨機選取了50名學生作為樣本，統(tǒng)計這50名學生的獲獎情況后得到如下列聯(lián)表：

沒有獲獎
獲獎
合計
選修歷史
4

20
沒有選修歷史



合計

12

（1）請完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有的把握認為“黨史知識競賽是否獲獎與選修歷史學科”有關(guān)；（結(jié)果保留一位小數(shù)）
（2）①在上述樣本中從選修歷史的學生中抽取4名學生，設(shè)抽到?jīng)]有獲獎的人數(shù)為，求（概率用組合數(shù)表示即可）；
②若將樣本頻率視為概率，從全校獲獎的學生中隨機抽取14人，求這些人中選修了歷史學科的人數(shù)的數(shù)學期望．下面的臨界值表供參考

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（參考公式：，其中
【解答】解：（1）補充完整的列聯(lián)表如下：

沒有獲獎
獲獎
合計
選修歷史
4
16
20
沒有選修歷史
18
12
30
合計
22
28
50
，
故有的把握認為“黨史知識競賽是否獲獎與選修歷史學科”有關(guān)．
（2）①顯然，隨機變量服從超幾何分布，取值為3表示抽到選修了歷史但沒有獲獎的人數(shù)恰好為3人．
故．
②從全校獲獎的學生中隨機抽取1人，則此人選修了歷史學科的概率為，
設(shè)從全校獲獎的學生中隨機抽取14人，這些人中選修了歷史學科的人數(shù)為，
則，
故．
21．（12分）已知雙曲線的方程為，橢圓的焦點為和，橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的方程；
（2）不經(jīng)過橢圓的焦點的直線與以坐標原點為圓心、為半徑的圓相切，且與橢圓交于，兩點，試判斷△的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為，
由題意得，．雙曲線的離心率為，
橢圓的離心率．，，
故橢圓的方程：．
（2）由題意，，即圓心到直線的距離為，
則，，
設(shè)，，，，
由，得，
由△，得，
則
，
又，，
周長，周長為定值4．
22．（12分）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當時，若存在兩個不相等的正數(shù)，，滿足，求證：．
【解答】解：（1）
令解得（舍或．
①當時，，則在上單調(diào)遞減，
②當時，，則在上單調(diào)遞減；
③當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）證明：，由（1）不妨設(shè)．
設(shè)．
則，
當時，恒成立，
則在上單調(diào)遞增，
（a），
，

由，則可得，
，，
而在上單調(diào)遞減，
，
．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/6/14 16:54:59；用戶：13159259195；郵箱：13159259195；學號：39016604

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