2020-2021學(xué)年廣東省深圳市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合，，則　　A． B． C．，或 D．，或2．（5分）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則　　A．1 B． C． D．23．（5分）已知向量，，若，，則　　A． B．3 C． D．4．（5分）4名同學(xué)參加3個課外知識講座，每名同學(xué)必須且只能隨機(jī)選擇其中的一個，不同的選法種數(shù)是　　A． B． C．12 D．245．（5分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則　　A．8 B．7 C．6 D．56．（5分）已知：“，”， ：“的圖象不過第一象限”，則是的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（5分）若，，則下列式子成立的是　　A． B． C． D．8．（5分）設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為　　A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．（5分）若是雙曲線上一點(diǎn)，的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是　　A． B．漸近線方程為 C．的最小值是1 D．焦點(diǎn)到漸近線的距離是10．（5分）已知雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)性質(zhì)類似的函數(shù)．雙曲余弦函數(shù)為，雙曲正弦函數(shù)為．則下列結(jié)論中正確的是　　A． B． C． D．是奇函數(shù)11．（5分）設(shè)函數(shù)的圖象為曲線，則下列結(jié)論中正確的是　　A．是曲線的一個對稱中心 B．若，且，則的最小值為 C．將曲線向右平移個單位長度，與曲線重合 D．將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，與曲線重合12．（5分）如圖，菱形邊長為2，，為邊的中點(diǎn)．將沿折起，使到，且平面平面，連接，．則下列結(jié)論中正確的是　　A． B．四面體的外接球表面積為 C．與所成角的余弦值為 D．直線與平面所成角的正弦值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）曲線在處的切線方程為　　．14．（5分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)到的距離為6，則　　．15．（5分）中國工程院院士袁隆平，被譽(yù)為“世界雜交水稻之父”．他發(fā)明的“三系法”秈型雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系．某地種植超級雜交稻，產(chǎn)量從第一期大面積畝產(chǎn)760公斤，到第二期畝產(chǎn)810公斤，第三期畝產(chǎn)860公斤，第四期畝產(chǎn)1030公斤．將第一期視為第二期的父代，第二期視為第三期的父代，或第一期視為第三期的祖父代，并且認(rèn)為子代的產(chǎn)量與父代的產(chǎn)量有關(guān)，請用線性回歸分析的方法預(yù)測第五期的產(chǎn)量為每畝 　　公斤．附：用最小二乘法求得線性回歸方程為，其中，．16．（5分）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式：，瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉憑著他非凡的數(shù)學(xué)洞察力，由此公式得到了下面的無窮級數(shù)之和，并最終給出了嚴(yán)格證明．．其發(fā)現(xiàn)過程簡單分析如下：當(dāng)時，有，容易看出方程的所有解為：，，，，，于是方程可寫成：，改寫成：．比較方程與方程中項(xiàng)的系數(shù)，即可得　　．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．（1）求角；（2）若，，求的面積．18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，，是與的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求．19．（12分）如圖，在五面體中，面為矩形，且與面垂直，，，．（1）證明：；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．20．（12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布表和頻率分布直方圖．分組頻數(shù)頻率，20.002，0.054，1060.106，1490.149，352，1900.190，1000.100，470.047合計(jì)10001.000（1）求，，的值；（2）求出這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，其中已計(jì)算得．如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間，企業(yè)每件產(chǎn)品可以獲利10元，如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外，企業(yè)每件產(chǎn)品要損失100元，從該企業(yè)一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品，記為抽取的20件產(chǎn)品所獲得的總利潤，求．附：，，．21．（12分）已知橢圓的長軸長為4，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓上的點(diǎn)，的直線與，軸的交點(diǎn)分別為，，且，過原點(diǎn)的直線與平行，且與交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．22．（12分）已知函數(shù)，，是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍．
2020-2021學(xué)年廣東省深圳市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合，，則　　A． B． C．，或 D．，或【解答】解：，，．故選：．2．（5分）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則　　A．1 B． C． D．2【解答】解：，．故選：．3．（5分）已知向量，，若，，則　　A． B．3 C． D．【解答】解：向量，，，，，解得或，．故選：．4．（5分）4名同學(xué)參加3個課外知識講座，每名同學(xué)必須且只能隨機(jī)選擇其中的一個，不同的選法種數(shù)是　　A． B． C．12 D．24【解答】解：根據(jù)題意，每名同學(xué)必須且只能從3個課外知識講座隨機(jī)選擇其中的一個，則每個同學(xué)有3種選法，則4名同學(xué)有種選，故選：．5．（5分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則　　A．8 B．7 C．6 D．5【解答】解：由，可得：，兩式相減整理得：，，又當(dāng)時，有，也適合上式，所以，由，可得：，解之得：，又，可得．故選：．6．（5分）已知：“，”， ：“的圖象不過第一象限”，則是的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：：“的圖象不過第一象限”，則，：“，”，則是的充分不必要條件，故選：．7．（5分）若，，則下列式子成立的是　　A． B． C． D．【解答】解：，且，，，，，，，故錯，，，，故錯，，，故對，令，，則，，故錯，故選：．8．（5分）設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為　　A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，所以，令．則，由與互為反函數(shù)，可得圖象關(guān)于直線對稱，所以有解，則，即，可得，求導(dǎo)得，可得時，函數(shù)遞減；時，函數(shù)遞增，則時，取得最大值為，即，所以，所以，即的最大值為．故選：．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．（5分）若是雙曲線上一點(diǎn)，的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是　　A． B．漸近線方程為 C．的最小值是1 D．焦點(diǎn)到漸近線的距離是【解答】解：對于，因?yàn)殡p曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，，故錯；對于，漸近線方程，故正確；對于，的最小值是，故正確；對于，焦點(diǎn)到漸近線的距離是，故正確．故選：．10．（5分）已知雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)性質(zhì)類似的函數(shù)．雙曲余弦函數(shù)為，雙曲正弦函數(shù)為．則下列結(jié)論中正確的是　　A． B． C． D．是奇函數(shù)【解答】解：對于，，即選項(xiàng)正確；對于，，即選項(xiàng)錯誤；對于，，，即選項(xiàng)正確；對于，，為偶函數(shù)，即選項(xiàng)錯誤．故選：．11．（5分）設(shè)函數(shù)的圖象為曲線，則下列結(jié)論中正確的是　　A．是曲線的一個對稱中心 B．若，且，則的最小值為 C．將曲線向右平移個單位長度，與曲線重合 D．將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，與曲線重合【解答】解：函數(shù)的圖象為曲線，令，求得，為最小值，故的圖象關(guān)于直線對稱，故錯誤；若，且，則的最小值，故正確；將曲線向右平移個單位長度，可得的圖象，故錯誤；將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象，與曲線重合，故正確，故選：．12．（5分）如圖，菱形邊長為2，，為邊的中點(diǎn)．將沿折起，使到，且平面平面，連接，．則下列結(jié)論中正確的是　　A． B．四面體的外接球表面積為 C．與所成角的余弦值為 D．直線與平面所成角的正弦值為【解答】解：將沿折起，使到，且平面平面，連接，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，對于，，0，，，，，，0，， 2，，，，，，，，，，與不垂直，故錯誤；對于，取中點(diǎn)，連接，，，過作平面，四面體的外接球球心在直線上，設(shè)，由，得，解得，，四面體的外接球表面積為：，故正確；對于，，，，，，，設(shè)與所成角的為，則，與所成角的余弦值為，故正確；對于，，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，直線與平面所成角的正弦值為：，故正確．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）曲線在處的切線方程為　　．【解答】解：求導(dǎo)數(shù)可得，時，又曲線在處的切線方程為，即故答案為：．14．（5分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)到的距離為6，則　　．【解答】解：拋物線；的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線為，由拋物線的定義可得，，解得，即有拋物線的方程為，將代入拋物線方程，可得．故答案為：．15．（5分）中國工程院院士袁隆平，被譽(yù)為“世界雜交水稻之父”．他發(fā)明的“三系法”秈型雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系．某地種植超級雜交稻，產(chǎn)量從第一期大面積畝產(chǎn)760公斤，到第二期畝產(chǎn)810公斤，第三期畝產(chǎn)860公斤，第四期畝產(chǎn)1030公斤．將第一期視為第二期的父代，第二期視為第三期的父代，或第一期視為第三期的祖父代，并且認(rèn)為子代的產(chǎn)量與父代的產(chǎn)量有關(guān)，請用線性回歸分析的方法預(yù)測第五期的產(chǎn)量為每畝 　1384　公斤．附：用最小二乘法求得線性回歸方程為，其中，．【解答】解：設(shè)期數(shù)為，2，，畝產(chǎn)為，2，，則，，所以中，則，則線性回歸方程為，當(dāng)時，，所以預(yù)測第五期的產(chǎn)量為每畝1080公斤．故答案為：1384．16．（5分）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式：，瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉憑著他非凡的數(shù)學(xué)洞察力，由此公式得到了下面的無窮級數(shù)之和，并最終給出了嚴(yán)格證明．．其發(fā)現(xiàn)過程簡單分析如下：當(dāng)時，有，容易看出方程的所有解為：，，，，，于是方程可寫成：，改寫成：．比較方程與方程中項(xiàng)的系數(shù)，即可得　　．【解答】解：方程中項(xiàng)的系數(shù)為，又方程中項(xiàng)的系數(shù)為，由題意可知，，所以．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．（1）求角；（2）若，，求的面積．【解答】解：（1）因?yàn)?/span>，所以可得，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以．（2）因?yàn)?/span>，，，所以由余弦定理，可得，解得，所以．18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，，是與的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，是與的等差中項(xiàng)，可得，，，即，解得，，，則；；（2）因?yàn)?/span>；所以數(shù)列的前項(xiàng)和，，兩式相減可得，．19．（12分）如圖，在五面體中，面為矩形，且與面垂直，，，．（1）證明：；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【解答】（1）證明：因?yàn)槊?/span>為矩形，則，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以；（2）解：由題意，平面平面，平面平面，又，平面，所以，由（1）可知，，又，則，故，，兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，則，令，則，故，所以，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．20．（12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布表和頻率分布直方圖．分組頻數(shù)頻率，20.002，0.054，1060.106，1490.149，352，1900.190，1000.100，470.047合計(jì)10001.000（1）求，，的值；（2）求出這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，其中已計(jì)算得．如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間，企業(yè)每件產(chǎn)品可以獲利10元，如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外，企業(yè)每件產(chǎn)品要損失100元，從該企業(yè)一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品，記為抽取的20件產(chǎn)品所獲得的總利潤，求．附：，，．【解答】解：（1）結(jié)合頻率分布表可以得到：，解得，，．（2）這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為：．（3），由（2）知，，設(shè)為隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值位于之外的件數(shù)，依題意知，，．21．（12分）已知橢圓的長軸長為4，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓上的點(diǎn)，的直線與，軸的交點(diǎn)分別為，，且，過原點(diǎn)的直線與平行，且與交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．【解答】解：（1）因?yàn)殚L軸長為4，離心率為，所以，且，解得，，所以，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，令，得，即，令，得，即，，因?yàn)?/span>，所以，，，所以，即，聯(lián)立，得，設(shè)，，，，所以，，所以，點(diǎn)，到直線的距離，所以，因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以，即，代入，得，令，則，則，令，，，在上，，單調(diào)遞增，在，上，，單調(diào)遞減，所以，所以．22．（12分）已知函數(shù)，，是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時，，，令，得，令，得或，在，上單調(diào)遞增，在和，上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時，，得，記，則，①當(dāng)時，則，可知在上單調(diào)遞增，且，不符合題意；②當(dāng)時，令，解得，，由于，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，由于，故；③當(dāng)時，則，此時當(dāng)時，，故在，上單調(diào)遞減，，解得，故；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/6/14 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