商周聯(lián)盟2020~2021學(xué)年高二6月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷草稿紙上作答無(wú)效．4．本卷命題范圍：選修2-2，選修2-3，選修4-4，選修4-5．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（    ）A． B． C． D．2．某產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：45677608090100120根據(jù)上表可得回歸直線(xiàn)方程，則宣傳費(fèi)用為9萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售額約為（    ）A．123萬(wàn)元 B．128萬(wàn)元 C．132萬(wàn)元 D．138萬(wàn)元3．已知，則對(duì)，（    ）A．  B．C．  D．4．在四張卡片上寫(xiě)上甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的名字，再隨機(jī)地發(fā)給這四位同學(xué)，在甲得到寫(xiě)有自己名字的卡片的情況下，其他人得到的都不是寫(xiě)有自己名字的卡片的概率為（    ）A． B． C． D．5．若，則（    ）A．120 B．24 C．-24 D．-1206．已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③；④；⑤正確的個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．47．（    ）A． B． C． D．98．，，三人參加單位組織的安全生產(chǎn)知識(shí)（閉卷）競(jìng)賽，三人向組織人員詢(xún)問(wèn)結(jié)果，得知他們?nèi)税鼣埩诉@次競(jìng)賽的前三名，未告知具體名次，但提供了以下3條信息：①不是第一名；②不是第三名；③是第三名，并告知他們這3條信息中有且只有一條信息正確，那么該次競(jìng)賽的第一名，第二名，第三名依次為（    ）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、9．已知，若，， ，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．10．“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動(dòng)之一，在我國(guó)南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（    ）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種11．從集合中任取3個(gè)元素組成一個(gè)集合，記中所有元素之和被3除余數(shù)為的概率為，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．12．定義函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，，，，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（    ）A． B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題， 每小題5分，共20分．13．______．14．某校2000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，則成績(jī)位于區(qū)間的人數(shù)大約是______人（注：若，則，，）15．30030能被______個(gè)不同正偶數(shù)整除．16．一幾何體是由圓柱及其上的半球組合而成，球的半徑等于圓柱底面半徑，若該組合體的體積為，當(dāng)圓柱的半徑為______時(shí)，該組合體的表面積最?。?/span>三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿(mǎn)分12分）某餐廳為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了60名男顧客和60名女顧客，每位顧客對(duì)該餐廳的服務(wù)給出滿(mǎn)意或不滿(mǎn)意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表： 滿(mǎn)意不滿(mǎn)意合計(jì)男顧客48  女顧客 24 合計(jì)   （1）完成上述列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該餐廳服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？（2）該餐廳為了進(jìn)一步提高服務(wù)水平，改善顧客的用餐體驗(yàn)，在不滿(mǎn)意的顧客中利用分層抽樣的方法抽取6人聽(tīng)取他們的意見(jiàn)，并從這6人中抽取3人作為監(jiān)督員，設(shè)為抽取的3人中男顧客人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（本小題滿(mǎn)分12分）用兩種方法證明：能被49整除．19．（本小題滿(mǎn)分12分）2021年五--期間，某大型超市舉辦了一次回饋消費(fèi)者的有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，消費(fèi)者消費(fèi)每超過(guò)800元（含800元），均可抽獎(jiǎng)一次，并獲得用相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)（抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種）．抽獎(jiǎng)方法及獎(jiǎng)勵(lì)如下：方案一：從裝有10個(gè)形狀、大小、質(zhì)地完全相同的小球（其中紅球1個(gè)，白球2個(gè)，黑球7個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，一次摸出3個(gè)球，獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則為：若摸出1個(gè)紅球和2個(gè)白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)白球和1個(gè)黑球則打4折；若摸出1個(gè)紅球2個(gè)黑球，則打6折；若摸出1個(gè)白球2個(gè)黑球則打9折，其余情況不打折．方案二：從裝有10個(gè)形狀、大小、質(zhì)地完全相同的小球（其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元．（1）若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了800元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費(fèi)了1000元，試從數(shù)學(xué)期望角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？20．（本小題滿(mǎn)分12分）（1）已知，且，用分析法證明：；（2）已知函數(shù)，證明：在上單調(diào)遞增．21．（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰好有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線(xiàn)的普通方程及直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)為，，與軸的交點(diǎn)為，．求的值．23．（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-5：不等式選講已知．（1）若，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意，關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍． 商周聯(lián)盟2020~2021學(xué)年高二6月聯(lián)考·數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．D  由題意，得，所以．所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．故選D．2．C  由表格數(shù)據(jù)知：，，由回歸直線(xiàn)方程的性質(zhì)，得，所以，故，所以當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，萬(wàn)元．故選C．3．A  ．故選A．4．A  設(shè)事件為“甲得到寫(xiě)有自己名字的卡片”，事件為“其他三人得到的卡片都不是寫(xiě)有自己名字的卡片”，則，，故．故選A．5．D  令，則，所以，所以．故選D．6．A  ①錯(cuò)誤，例如，滿(mǎn)足，但，；②錯(cuò)誤，例如，，滿(mǎn)足條件．但二者是虛數(shù)，不能比較大?。虎坼e(cuò)誤，等號(hào)左邊結(jié)果一定是非負(fù)實(shí)數(shù)，等號(hào)右邊未必是實(shí)數(shù)；④正確；⑤錯(cuò)誤，類(lèi)似于③．故選A．7．C   ，由定積分的幾何意義知表示曲線(xiàn)（單位圓的上半部分）與直線(xiàn)，及坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積，所以．所以．故選C．8．B  由題意知若③對(duì)，則②也對(duì)，不合題意，故③一定錯(cuò)誤，則為第一名，或?yàn)榈诙?，?/span>為第一名，則①正確，那么②錯(cuò)誤，故為第三名，符合題意；若為第二名，此時(shí)①②同真，或同假，不合題意．故選B．9．B  ，令，則，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，又的定義域?yàn)?/span>，所以在，上單調(diào)遞減，又，，，，所以．故選B．10．C  根據(jù)題意，設(shè)只會(huì)劃左槳的3人，只會(huì)劃右槳的3人，既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳的2人，據(jù)此分3種情況討論：①?gòu)?/span>中選3人劃左槳，劃右槳的在（）中剩下的人中選取，有種選法，②從中選2人劃左槳，中選1人劃左槳，劃右槳的在（）中選取，有種選法，③從中選1人劃左槳，中2人劃左槳，中3人劃右槳，有種選法，則有種不同的選法．故選C．11．B  記為中被3除余數(shù)為的數(shù)所組成的集合，則在，，中各有11個(gè)元素，在中任取3個(gè)元素，其和被3除余數(shù)為0，在，，各取一個(gè)元素，其和被3除余數(shù)為0，所以，同理可得，，很明顯，所以．故選B．12．D  當(dāng)時(shí)，，，，所以的取值為0，所以，所以；當(dāng)時(shí)．，若時(shí)，，故，若時(shí)，，，故，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，，故；若時(shí)． ，故；若時(shí)，，故，5，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，故；若時(shí)，，故；若時(shí)，，故，5，若時(shí)．，故，10，11，所以．所以；以此類(lèi)推，可以歸納，得，所以，所以，所以．故選D．13．  ．14．43  ，其中，，所以，，所以，所以成績(jī)?cè)?/span>的人數(shù)估計(jì)約為人．15．32  先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：；依題意偶因數(shù)2必取，3，5，7，11，13這5個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成成積，所有的偶因數(shù)為個(gè)．16．3  法一：設(shè)圓柱的半徑為，高為，則，即，所以，所以該組合體的表面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．法二：設(shè)圓柱的半徑為，高為，則，即，所以，所以該組合體的表面積，所以，令，得，易知當(dāng)時(shí)，取得最小值．17．解：（1） 滿(mǎn)意不滿(mǎn)意合計(jì)男顧客481260女顧客362460合計(jì)8436120所以，所以能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該餐廳服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異．（2）由題意知，抽取的6人中男顧客，女顧客的人數(shù)分別為2人，4人，所以的取值為0，1，2，，，，所以其分布列為012所以其數(shù)學(xué)期望．18．證明：方法一：因?yàn)?/span>為整數(shù)，所以能被49整除．方法二：（1）當(dāng)時(shí)，，能被49整除．（2）假設(shè)當(dāng)，能被49整除，那么，當(dāng)，．因?yàn)?/span>能被49整除，也能被49整除，所以能被49整除，即當(dāng)時(shí)命題成立，由（1）（2）知，能被49整除．19．解：（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出1個(gè)紅球，2個(gè)白球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，所以?xún)晌活櫩途硎艿矫鈫蔚母怕蕿?/span>．（2）若選擇方案一：設(shè)付款金額為元，則可能的取值為0、400、600、900、1000．，，，，，故的分布列為04006009001000所以．若選擇方案二：設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）．因?yàn)?/span>，所以該顧客選擇第二種抽獎(jiǎng)方案更合算．20．證明：（1）因?yàn)?/span>，且，所以，，，要證，只需證即可，只要證，即證，只要證，因?yàn)?/span>，，，所以，，所以成立．命題得證．（2）任取，，且，因?yàn)?/span>，所以，由，得，所以，所以，所以，所以，即．所以在上單調(diào)遞增．21．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的兩根是，2．①當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增； （2）問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因?yàn)?/span>（由易得），所以，令，則．令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即的取值范圍為．22．解：（1）由，得，消去參數(shù)，得，即曲線(xiàn)的普通方程為；由，得，即．又，，所以，所以直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為．（2）因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將其代入曲線(xiàn)的方程，得．所以，設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，．所以．23．解：（1）時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?/span>，解得；當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?/span>，不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?/span>， 解得．所以原不等式的解集為．（2）因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．由題意知，所以，或，所以，或．所以的取值范圍為．

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