九師聯(lián)盟2022屆高三摸底考試鞏固卷理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合，，則（    ）A.  B.C.  D.2.若（為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A.-6 B. C.6 D.3.已知平面向量，滿足，，與的夾角為60°，則（    ）A. B.3 C. D.54.某中學(xué)有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下圖所示.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為的樣本，已知從高中生中抽取女生21人，則從初中生中抽取的男生人數(shù)是（    ）A.12 B.15 C.20 D.215.已知等差數(shù)列中，，，則a（    ）A.1 B.3 C.5 D.76.若，且，則（    ）A.-7 B. C. D.-7或7.若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，，則，，滿足（    ）A.  B.C.  D.8.的展開式中的系數(shù)為（    ）A.-84 B.84 C.-280 D.2809.已知線段平面，，兩點(diǎn)到的距離分別為3和5，則的中點(diǎn)到平面的距離為（    ）A.1 B.4 C.1或4 D.210.若過雙曲線的一個焦點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線交軸于點(diǎn)（為雙曲線的半焦距），則此雙曲線的離心率是（    ）A. B. C.2 D.11.已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則在區(qū)間上的最大值為（    ）A.1 B. C. D.212.過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為（    ）A.  B.C.  D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若實(shí)數(shù)，滿足不等式組則的最大值為______.14.函數(shù)的圖象在處的切線方程為______.15.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則______.16.在直三棱柱中，且，，則此三棱柱外接球的表面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.在中，角，，的對邊分別為，，，且，.（1）求角的大?。?/span>（2）設(shè)，求的面積的最大值.18.2018年2月22日，在韓國平昌冬奧會短道速滑男子500米比賽中，中國選手武大靖以連續(xù)打破世界紀(jì)錄的優(yōu)異表現(xiàn)，為中國代表隊(duì)奪得了本屆冬奧會的首枚金牌，也創(chuàng)造中國男子冰上競速項(xiàng)目在冬奧會金牌零的突破.根據(jù)短道速滑男子500米的比賽規(guī)則，運(yùn)動員自出發(fā)點(diǎn)出發(fā)進(jìn)人滑行階段后，每滑行一圈都要依次經(jīng)過4個直道與彎道的交接口.已知某男子速滑運(yùn)動員順利通過每個交接口的概率均為，摔倒的概率均為.假定運(yùn)動員只有在摔倒或到達(dá)終點(diǎn)時才停止滑行，現(xiàn)在用表示該運(yùn)動員在滑行最后一圈時在這一圈內(nèi)已經(jīng)順利通過的交接口數(shù).（1）求該運(yùn)動員停止滑行時恰好已順利通過3個交接口的概率；（2）求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19.如圖，在梯形中，，，，，四邊形為矩形，，平面平面.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)也為拋物線的焦點(diǎn).（1）若，為橢圓上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率；（2）若過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，和，，設(shè)線段，的長分別為，，證明：是定值.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）假設(shè)函數(shù)有兩個極值點(diǎn).①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若函數(shù)的極大值小于整數(shù)，求的最小值.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23兩題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并指出該曲線是什么曲線；（2）若直線與曲線的交點(diǎn)分別為，，求.23.選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）記函數(shù)的最大值為，若，，，求的最小值.2022屆高三摸底考試鞏固卷·理科數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則1.D，，.又，.2.B，當(dāng)為實(shí)數(shù)時，實(shí)數(shù).3.B，，與的夾角為60°.4.A因?yàn)榉謱映闃拥某槿”壤秊?/span>，所以初中生中抽取的男生人數(shù)是.5.D由等差數(shù)列性質(zhì)，得，所以，所以.6.A因?yàn)?/span>，所以，所以，得，則或t，又，所以.7.B∵偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，，，.故選B.8.C的展開式中的系數(shù)為.9.C若，點(diǎn)在平面的同側(cè)，則線段的中點(diǎn)到平面的距離為；若，在平面的異側(cè)，則線段的中點(diǎn)到的距離為.綜上，線段的中點(diǎn)到平面的距離為1或4.10.A不妨取雙曲線的左焦點(diǎn)，則過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為.據(jù)題意，得點(diǎn)在直線上，，.11.A因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以.又，則，即.因?yàn)?/span>，所以.則當(dāng)，即時，取得最大值.故選A12.D由題意得，拋物線的焦點(diǎn)，直線的斜率存在，設(shè)，、，由，得，即，即，聯(lián)立得，則，解得，（舍）.又，所以，解得，即直線的斜率為士.故選D.13.16畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖：令，則.分析知，當(dāng)，時，取得最大值，且.14.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.15.由等比數(shù)列性質(zhì)得（為公比），所以，所以.16.如圖，作出，的外心，，易證平面，又，為截面圓的圓心，所以直三棱柱外接球的球心在上，由球的對稱性可得為的中點(diǎn).連接，，.在中，因?yàn)?/span>，所以.所以由正弦定理得2，解得.易證，所以，所以由勾股定理得，即外接球的半徑，所以此三棱柱外接球的表面積為.17.解：（1），，，或.又，，，，.（2）由（1）求解知，，三角形面積.又，，，.又，，..18.解：（1）由題意可知：.（2）的所有可能值為0，1，2，3，4.則，且，，，相互獨(dú)立.故，，，，.從而的分布列為01234所以.19.證明：（1）取為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于直線的直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.，.設(shè)平面的一個法向量為，不妨設(shè)，，則，.又，，.又平面，平面.解：（2），.設(shè)平面的一個法向量為，不妨設(shè)，則，，.設(shè)向量與的夾角為，則,.平面與平面所成二面角的正弦值為20.解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，故.所以橢圓.（1）設(shè)，，則兩式相減得，又的中點(diǎn)為，所以，.所以.顯然，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線的斜率為.證明：（2）橢圓右焦點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在或者為0時，.當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程得消去并化簡得，因?yàn)?/span>，所以，.所以.同理可得.所以為定值.21.解：（1），.分析知，當(dāng)或時，f，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）①，令，則.討論：當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù).當(dāng)時，.由于有兩個極值點(diǎn)，關(guān)于的方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根，即有兩個不相等實(shí)數(shù)根，.解得.②分析可知，，，，則.又，即函數(shù)極大值令，則，則（*）可變?yōu)?/span>分析知，，，，下面再說明對于任意，，有.又由（#）得，把它代入（*）得，當(dāng)時，且，故在上單調(diào)遞減.又，當(dāng)時，.滿足題意的整數(shù)的最小值為3.22.解：（1）因?yàn)?/span>，所以，即，所以曲線表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為軸的拋物線.（2）直線過拋物線的焦點(diǎn)，且參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得，所以，.所以.23.解：（1）當(dāng)時，由，得，所以；當(dāng)時，由1，得，所以；當(dāng)時，由，得，無解.綜上可知，，即不等式的解集為.（2）因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的最大值.因?yàn)?/span>，所以.又，，所以，所以，即.所以有.又，所以，，即的最小值為4.  

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