2021-2022學(xué)年山西省朔州市懷仁市第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．在正方體中，底面的對(duì)角線交于點(diǎn)，且，，則等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空間向量的減法可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：.故選：A.2．如果直線與直線垂直，那么的值為（       ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)兩條直線垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以.故選：A3．在等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列，則公差等于(       )A． B．0 C．3 D．0或3【答案】D【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)和等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，構(gòu)成等比數(shù)列，∴，解得d＝0或3.故選：D.4．雙曲線的漸近線方程是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得出漸近線方程.【詳解】因?yàn)?/span>，所以雙曲線的漸近線方程是故選：C5．若動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且恒過定點(diǎn)，則此動(dòng)圓與直線（       ）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)題意得定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義判斷即可.【詳解】解：由題知，定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在拋物線上，且恒過定點(diǎn)，所以根據(jù)拋物線的定義得動(dòng)圓的圓心到直線的距離等于圓心到定點(diǎn)，即圓心到直線的距離等于動(dòng)圓的半徑，所以動(dòng)圓與直線相切.故選：B6．正三棱柱各棱長(zhǎng)均為為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（       ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)面距公式求得正確答案.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可知兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，.設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：C7．函數(shù)的圖象大致為（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)法判斷其單調(diào)性即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，排除C選項(xiàng)；求導(dǎo)，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上遞增，在上遞減，故選：B8．若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的最大值是（       ）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)弦長(zhǎng)求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線過圓心，即，由于為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A9．下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（     ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算即可.【詳解】，故A求導(dǎo)正確；，則，故B求導(dǎo)錯(cuò)誤.，故C求導(dǎo)正確；，故D求導(dǎo)正確.故選：B.10．《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至?立春?春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），問立夏日影長(zhǎng)為（       ）A．一尺五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸【答案】D【分析】結(jié)合等差數(shù)列的知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)冬至日影長(zhǎng)，公差為，則，所以立夏日影長(zhǎng)丈，即四尺五寸.故選：D11．已知首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列說法不正確的是（       ）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列C． D．【答案】D【分析】由，，可得，可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，且，，故數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，可判斷A；由可判斷B；代入通項(xiàng)公式計(jì)算可判斷C；利用通項(xiàng)公式和求和公式代入可判斷D【詳解】由題意，在中，令可得故數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，16為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)，16為公比的等比數(shù)列故奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為：，偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為：，，故數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，故A正確由于，故數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故B正確；，故C正確；由于故，故D錯(cuò)誤故選：D12．將正方形沿對(duì)角線翻折，使平面與平面的夾角為，如下四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是(       )A．B．是等邊三角形C．直線與平面所成的角為D．與所成的角為【答案】C【分析】證明線面垂直，得到線線垂直判斷①；求解三角形可得的形狀判定②；求解線面角判斷③；求解三角形，可得是等邊三角形判斷④．【詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，平面AEC，平面，∴，故A正確；設(shè)折疊前正方形的邊長(zhǎng)為2，則，，平面平面，且平面平面，AE⊥BD，平面ABD，平面，∴，＝AD＝CD，即是等邊三角形，故B正確；∵面，與平面所成的線面角的平面角是，故C錯(cuò)誤；取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，，，則，，為異面直線，所成的角，∵，，，是等邊三角形，則，故D正確．故選：C．二、填空題13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則的值為__________.【答案】【分析】由題知，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>，所以，所以故答案為：14．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為__________.【答案】【分析】直線與橢圓相交，求交點(diǎn)，利用列式求解即可.【詳解】聯(lián)立方程得，因?yàn)?/span>，所以,即，所以， .故答案為：.15．已知函數(shù)，若遞增數(shù)列滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據(jù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于是遞增數(shù)列，所以.所以的取值范圍是.故答案為：16．?dāng)?shù)學(xué)中，多數(shù)方程不存在求根公式.因此求精確根非常困難，甚至不可能.從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.例如牛頓迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假設(shè)是方程的根，選取作為的初始近似值，在點(diǎn)處作曲線的切線，則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為的一次近似值，在點(diǎn)處作曲線的切線.則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為的二次近似值.重復(fù)上述過程，用逐步逼近.若給定方程，取，則__________.【答案】【分析】根據(jù)牛頓迭代法的知識(shí)求得.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，切線的方程為，與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.，所以切線的方程為，與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故答案為：三、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知.(1)求直線的方程；(2)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，到點(diǎn)與點(diǎn)距離的平方和為24，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合點(diǎn)斜式求得直線的方程.（2）設(shè)，根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得的軌跡方程.【詳解】(1)，于是直線的方程為，即(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)，于是，代入坐標(biāo)得，化簡(jiǎn)得，于是動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為18．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且__________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）若選①：根據(jù)，利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；若選②：構(gòu)造利用等比數(shù)列的定義求解；（2）根據(jù)（1）得到，再利用錯(cuò)位相減法求解.【詳解】(1)解:若選①：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故若選②：易得于是數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，(2)若選①：由（1）得，從而，，作差得，于是若選②由（1）得，從而，，作差得，于是19．我們知道，裝同樣體積的液體容器中，如果容器的高度一樣，那么側(cè)面所需的材料就以圓柱形的容器最省.所以汽油桶等裝液體的容器大都是圓柱形的，某臥式油罐如圖1所示，它垂直于軸的截面如圖2所示，已知截面圓的半徑是1米，弧的長(zhǎng)為米表示劣弧與弦所圍成陰影部分的面積.(1)請(qǐng)寫出的函數(shù)表達(dá)式；(2)用求導(dǎo)的方法證明.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由弧長(zhǎng)公式得，根據(jù)即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單調(diào)遞增，即可證明.【詳解】(1)由弧長(zhǎng)公式得，于是，(2)cos，顯然在上單調(diào)遞增，于是.20．在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)分別在上，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析.(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由面面角的空間向量求解方法可得答案.【詳解】(1)證明：長(zhǎng)方體中，平面，又平面，又平面，又平面同理可證，而平面，平面(2)解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.從而，，，由（1）知，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，，則，從而 ，令，則，得平面的一個(gè)法向量為由圖示得平面與平面所成的角為銳角，平面與平面所成的角的余弦值為21．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且橢圓的離心率.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)兩動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，總滿足直線與的斜率互為相反數(shù)，求證：直線的斜率為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，解方程組求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，由此求得，同理求得，從而化簡(jiǎn)求得直線的斜率為定值.【詳解】(1)由題可知，解得，從而粚圓方程為.(2)證明設(shè)直線的斜率為，則，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，整理得，從而，于是，由題意得直線的斜率為，則，，同理可求得，于是即直線的斜率為定值.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用求得的單調(diào)區(qū)間.（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值大于零，從而證得不等式成立.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，且，又與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)因?yàn)?/span>，所以，要證，只需證當(dāng)時(shí)，即可.，易知在上單調(diào)遞增，又，所以，且，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以.【點(diǎn)睛】在證明不等式的過程中，直接證明困難時(shí)，可考慮證明和兩個(gè)不等式成立，從而證得成立. 

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