上海市七寶中學(xué)2022屆高三高考沖刺模擬2數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）評卷人得分  一、單選題1．函數(shù)是R上的增函數(shù)，則是的（ ）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知，若，則直線的傾斜角為A． B． C． D．3．若雙曲線和雙曲線的焦點(diǎn)相同，且給出下列四個結(jié)論：①；   ②； ③雙曲線與雙曲線一定沒有公共點(diǎn)；   ④；其中所有正確的結(jié)論序號是（       ）A．①② B．①③ C．②③ D．①④4．已知為拋物線的焦點(diǎn)，、、為拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)時，則存在橫坐標(biāo)的點(diǎn)、、有（       ）A．0個 B．2個 C．有限個，但多于2個 D．無限多個第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評卷人得分  二、填空題5．已知集合，，則_____________.6．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為______.7．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，，則_____.8．滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是______．9．函數(shù)的反函數(shù)為_________.10．若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為，則其母線與軸的夾角的大小為________．11．無窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為___________.12．如圖，正三棱柱中，，，若、分別是棱、上的點(diǎn)，則三棱錐的體積是________.13．設(shè)直線和圓相交于點(diǎn)、，則弦的垂直平分線方程是____．14．設(shè)點(diǎn)O在的內(nèi)部，點(diǎn)D，E分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，且，則___________15．設(shè)函數(shù)，數(shù)列的首項(xiàng)，且，，若數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是___________16．給定曲線族，為參數(shù)，則這些曲線在直線上所截得的弦長的最大值是________評卷人得分  三、解答題17．在四棱錐中，底面為梯形，，，，，四棱錐的體積為4.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角.（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）18．已知向量和向量，且.（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；（2）已知的三個內(nèi)角分別為，若有，，，求的長度.19．已知定義在區(qū)間上的兩個函數(shù)和，其中，.(1)求函數(shù)的最小值；(2)若對任意，恒成立，求的取值范圍.20．已知、為橢圓（）和雙曲線的公共頂點(diǎn)，、分為雙曲線和橢圓上不同于、的動點(diǎn)，且滿足，設(shè)直線、、、的斜率分別為、、、.（1）求證：點(diǎn)、、三點(diǎn)共線；（2）求的值；（3）若、分別為橢圓和雙曲線的右焦點(diǎn)，且，求的值.21．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意，都有；（1）若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求此時數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求此時數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案：1．A【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合充分必要條件的定義分別證明其充分性與必要性可得答案.【詳解】解：先證充分性：由，可得，，又因?yàn)?/span>是R上的增函數(shù)，故，，相加可得：，故充分性成立；再證必要性：若，則的逆否命題是：若，則假設(shè)，則，，又因?yàn)?/span>是R上的增函數(shù)，故，，相加可得：成立，故必要性成立，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的定義與函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題型.2．D【解析】【詳解】試題分析：關(guān)于對稱,直線的斜率,其傾斜角為,故選D.考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的對稱性；2.直線的斜率與傾斜角.3．B【解析】【分析】對于①，根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)相同，可知焦距相同，可判斷；對于②，舉反例可說明；對于③，根據(jù)可推得，繼而推得，可判斷雙曲線與雙曲線一定沒有公共點(diǎn)；對于④，舉反例可判斷.【詳解】對于①：∵兩雙曲線的焦點(diǎn)相同，∴焦距相同，∴，即，故①正確；對于②：若，，，，則，故②錯誤；對于③：∵，∴，∴ ，即，即，雙曲線與雙曲線一定沒有公共點(diǎn)，故③正確；對于④：∵，∴，∵且，∴ ，若，，，，則，故④錯誤.故選：B4．A【解析】【分析】首先判斷出為的重心，根據(jù)重心坐標(biāo)公式可得，結(jié)合基本不等式可得出，結(jié)合拋物線的定義化簡得出，同理得出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，先證，由知，為的重心，又，，，，，，，同理，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)為三角形的重心，屬于中檔題.5．【解析】【分析】求出集合、，然后利用交集的定義求出集合.【詳解】，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，同時與考查了具體函數(shù)的定義域，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．.【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法與模長公式求解再得出虛部即可.【詳解】由題.故虛部為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法與模長的計(jì)算和虛部的概念等.屬于基礎(chǔ)題型.7．【解析】【分析】利用二倍角公式求出，然后利用余弦定理求出的值.【詳解】由二倍角的余弦公式可得.由余弦定理得，因此，.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式的應(yīng)用，同時也考查了利用余弦定理求三角形的邊長，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.8．【解析】【詳解】試題分析：，即，∴．考點(diǎn)：行列式9．【解析】【分析】直接求出x的表達(dá)式，注意x．y的取值范圍，即可得出答案．【詳解】由，可得﹣1≤y≤1，且所以函數(shù)的反函數(shù)為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查反函數(shù)的應(yīng)用，注意反函數(shù)的定義域，是基礎(chǔ)題．10．【解析】【詳解】由題意得：母線與軸的夾角為考點(diǎn)：圓錐軸截面【名師點(diǎn)睛】掌握對應(yīng)幾何體的側(cè)面積，軸截面面積計(jì)算方法.如 圓柱的側(cè)面積 ，圓柱的表面積 ，圓錐的側(cè)面積 ，圓錐的表面積 ，球體的表面積 ，圓錐軸截面為等腰三角形.11．【解析】【分析】先求出等比數(shù)列的公比，然后利用無窮等比數(shù)列的和可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，即，，解得，因此，無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為.故答案為：.12．【解析】【分析】用三棱柱的體積減去四棱錐的體積和四棱錐的體積即可得出三棱錐的體積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則.平面平面，平面平面，平面，平面.是等邊三角形，，，平面，且、分別為、的中點(diǎn)...故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的體積的計(jì)算，常用的方法有等體積法、間接法、割補(bǔ)法，解題時可充分選擇合適的方法來進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.13．【解析】【詳解】由得，所以圓的圓心為，根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)，可知所求的直線過圓心，由直線垂直可得所求直線的斜率為，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程化簡可得結(jié)果為．14．2【解析】【分析】由向量的加法法則，把轉(zhuǎn)化為，從而易得結(jié)論．【詳解】∵點(diǎn)D，E分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，∴，，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模，向量關(guān)鍵是利用向量加法法則，把轉(zhuǎn)化為．15．｛1｝【解析】【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，通過分析的大小關(guān)系得出數(shù)列的增減性．【詳解】若，則，因此，，數(shù)列不遞增，滿足題意．若，∵在上是增函數(shù)，若，則，即，假設(shè)，則，即，由數(shù)學(xué)歸納法思想知，，數(shù)列遞增．∴只能有，即，，，不合題意，綜上的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性．解題關(guān)鍵是由函數(shù)的單調(diào)性討論數(shù)列的單調(diào)性，由的大小關(guān)系得出數(shù)列是遞增數(shù)列，從而只有，由此可得結(jié)論．16．【解析】【分析】聯(lián)立直線與曲線方程可求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2，要使曲線族在直線y＝2x上所截得的弦長的最大，則只要|x2﹣x1|最大即可，即t最大即可，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】將y＝2x代入曲線方程得x1＝0，．令，則3t﹣1＝（8﹣2t）sinθ+（t+1）cosθ，∴，∴弦長．故弦長的最大值是8，故答案為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與曲線相交求解交點(diǎn)、弦長，解題的關(guān)鍵是靈活利用三角函數(shù)的性質(zhì)及弦長公式，屬于中檔題17．（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可證，再結(jié)合，即可得證結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，證明平面，作出PC與平面ABCD所成角，通過解直角三角形，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）∵，∴，，又，所以，∵，，面，∴平面；（2）如圖，作的中點(diǎn)，連結(jié)，，∵，∴，，.由（1）平面，故，又，，面，所以平面，即為四棱錐的高，為與平面所成，.由四棱錐的體積為4，可得： ，解得，在中，，在中，，，所以與平面所成角為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的證明，考查求線面角，求線面角要體現(xiàn)“作、證、算”三步驟，考查邏輯思維能力和空間想象能力，考查計(jì)算能力，屬于常考題.18．（1）最小正周期為，最大值為2；（2）2.【解析】【分析】由整理可得：；（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期和最值的求解方法直接求得結(jié)果；（2）利用求得，利用正弦定理求得結(jié)果.【詳解】由得：則：（1）最小正周期為：當(dāng)時，（2）由得：，則由正弦定理可知：，即【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的應(yīng)用，涉及到平面向量共線定理、輔助角公式的應(yīng)用.19．(1)(2)【解析】【分析】（1）先將的解析式進(jìn)行配方，然后討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，可求出函數(shù)的最小值；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值和的最大值，然后使，建立關(guān)系式，解之即可求出答案.(1)由，則二次函數(shù)的對稱軸為，則當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減， ，所以；(2)，當(dāng)時，，又在區(qū)間 上單調(diào)遞增，所以.若對任意，恒成立則，故或解得：.20．（1）見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由，得到，由此可證明出點(diǎn)、、三點(diǎn)共線；（2）設(shè)點(diǎn)、，求出，，由，可得出，從而可求出的值；（3）由，可得，再由，得出，，由此能求出的值.【詳解】（1）、為橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn)，、分別為雙曲線和橢圓上不同于、的動點(diǎn)，且，即，即，因此，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線；（2）設(shè)點(diǎn)、，則，同理可得，，，則，因此，；（3），，，，又，解得，又，，則，則.，，同理可得，且，，，同理可得，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與雙曲線的綜合問題，考查整體代換與方程思想，在計(jì)算時應(yīng)充分利用點(diǎn)在曲線上這一條件得出等式進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.21．（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）將代入，得，令，求出，然后令，由得出，兩式作差可得出數(shù)列的遞推公式，然后利用定義證明出數(shù)列是等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)，即可求出；（2）令求出，然后令，由得出，兩式相減得出數(shù)列的遞推公式，然后利用定義證明出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求出；（3）結(jié)合（1）（2）中的結(jié)論，討論、、、、，結(jié)合條件，利用數(shù)列的單調(diào)性，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）將代入，得，即.當(dāng)時，則有，得；當(dāng)時， 由得出，上述兩式相減得，整理得，等式兩邊同時除以得，即，所以，數(shù)列是以首項(xiàng)為為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，因此，；（2）對任意，都有.當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，由得出，兩式相減得，化簡得，，所以，數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則，因此，；（3），且.當(dāng)時，，當(dāng)時，，不滿足條件；則，可得，可得，顯然時，數(shù)列單調(diào)遞增，不滿足條件，.當(dāng)時，則有顯然成立；當(dāng)時，若，則數(shù)列的最大項(xiàng)為，，即恒成立；當(dāng)時，數(shù)列的最大項(xiàng)為，則滿足條件；當(dāng)時，，數(shù)列的最大項(xiàng)為，不滿足條件；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，同時也考查了數(shù)列不等式問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題. 

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