2021-2022學(xué)年江西省贛州市瑞金市八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一．選擇題（本題共6小題，共18分）與是同類二次根式的是A.  B.  C.  D. 下列運(yùn)算中，正確的是A.  B.  C.  D. 已知的三個(gè)內(nèi)角分別為、、，三邊分別為、、，下列條件不能判定是直角三角形的是A. ：：：： B.
C.  D. ：：：：如圖，?中，平分，，則A.
B.
C.
D. 如圖，在平行四邊形中，于，于，若，，平行四邊形的周長(zhǎng)為則平行四邊形的面積為A.
B.
C.
D. 如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短路程是A.
B.
C.
D. 二．填空題（本題共6小題，共18分）如果代數(shù)式有意義，則的取值范圍是______．如圖所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長(zhǎng)為，則正方形、、、的面積和為______．

  如圖，在平行四邊形中，、分別是、上的點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得四邊形為平行四邊形，則添加的條件是______ 答案不唯一，添加一個(gè)即可．
比較大?。?/span>______填“”，“”，“”號(hào)如圖，在中，，，，、分別是和邊上的點(diǎn)，把沿著直線折疊，若點(diǎn)落在邊上，則的取值范圍是______．
  在平行四邊形中，平分，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為______．三．計(jì)算題（本題共1小題，共8分）計(jì)算：；
．四．解答題（本題共10小題，共76分）在中，，，求的長(zhǎng)．
在中，，，，判斷是否是直角三角形．已知，，求下列各式的值．
；
．如圖，在?中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，，，．
求：?的面積；
的周長(zhǎng)．
如圖是超市的兒童玩具購物車，圖為其側(cè)面簡(jiǎn)化示意圖，測(cè)得支架，，兩輪中心的距離，求點(diǎn)到的距離．結(jié)果保留整數(shù)
如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，，，．
求證：≌；
連接，求證：四邊形是平行四邊形．
先閱讀下列材料，再解決問題：
閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過完全平方公式及一次根式的性質(zhì)化去一層根號(hào)．
例如：．
解決問題：
化簡(jiǎn)下列各式：
；
．如圖，在邊長(zhǎng)為的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題．
畫出關(guān)于直線對(duì)稱的；
的面積為______；
試判斷的形狀并說明理由．

  如圖，平分，，若，則______．
探究：如圖，四邊形，平分，，求證：．
應(yīng)用：如圖，四邊形，平分，，，，．
求的長(zhǎng)．
在初、高中階段，要求二次根式化簡(jiǎn)的最終結(jié)果中分母不含有根號(hào)，也就是說當(dāng)分母中有無理數(shù)時(shí)，要將其化為有理數(shù)，實(shí)現(xiàn)分母有理化，比如：
；

試試看，將下列各式進(jìn)行化簡(jiǎn)：
；
；
．如圖，已知在中，，，，是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，連接．
當(dāng)秒時(shí)，求的長(zhǎng)度；
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；
過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)平分時(shí)，直接寫出的值．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：選項(xiàng)，，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，是最簡(jiǎn)二次根式，被開方數(shù)不是，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：．
將各選項(xiàng)化簡(jiǎn)，被開方數(shù)是的二次根式是的同類二次根式，從而得出答案．
本題考查了同類二次根式，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】【解析】解：、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，正確．
故選：．
直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．
此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
 3.【答案】【解析】解：、：：：：，，故不能判定是直角三角形；
B、，，，故能判定是直角三角形；
C、，，故能判定是直角三角形；
D、，故能判定是直角三角形；
故選：．
由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方或最大角是否是即可．
本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定義判斷．
 4.【答案】【解析】解：在?中，
，
，
平分，
，
又，
．
故選：．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求解．
本題利用了兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，內(nèi)錯(cuò)角相等和角的平分線的性質(zhì)．
 5.【答案】【解析】解：設(shè)，則，根據(jù)“等面積法”得
，解得，
平行四邊形的面積故選D．
已知平行四邊形的高、，設(shè)，則，根據(jù)“等面積法”列方程，求，從而求出平行四邊形的面積．
本題應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)為：平行四邊形一組鄰邊之和為平行四邊形周長(zhǎng)的一半，平行四邊形的面積底高，可用兩種方法表示．
 6.【答案】【解析】解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖：
長(zhǎng)方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，
；
只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖：
長(zhǎng)方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，
；
只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖：
長(zhǎng)方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，
；
，
螞蟻爬行的最短距離是．
故選：．
要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．
本題考查的是平面展開最短路徑問題，根據(jù)題意畫出長(zhǎng)方體的側(cè)面展開圖，根據(jù)勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．
 7.【答案】【解析】解：由題意可得：，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)二次根式有意義的條件列不等式求解．
本題考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．
 8.【答案】【解析】解：

根據(jù)勾股定理可得面積面積面積，面積面積面積，面積面積面積，
、、、的面積和平方厘米
故答案為：．
根據(jù)勾股定理的幾何意義解答．
此題考查勾股定理問題，靈活應(yīng)用勾股定理以及正方形的性質(zhì)來解決問題是關(guān)鍵．
 9.【答案】【解析】解：四邊形平行四邊形，
，，
，
，
，
四邊形為平行四邊形．
故答案為：．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，添加，即可得，進(jìn)而可得結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)．
 10.【答案】【解析】解：，，
，
，
故答案為：．
先把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，再比較即可．
本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較法則和二次根式的性質(zhì)，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū容^大小是解此題的關(guān)鍵．
 11.【答案】【解析】解：當(dāng)點(diǎn)折疊后落在點(diǎn)上時(shí)，此時(shí)最長(zhǎng)為，
當(dāng)點(diǎn)折疊后落在點(diǎn)上時(shí)，此時(shí)最短，連接，如圖，

此時(shí)垂直平分，，設(shè)，則，
在中，，
，
解得，
故答案為．
需要分情況討論點(diǎn)落在點(diǎn)或者點(diǎn)處時(shí)的長(zhǎng)．
本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)和勾股定理，解題關(guān)鍵是能夠推斷出的最大值和最小的位置．
 12.【答案】或【解析】解：四邊形為平行四邊形，，
，，
，
平分，
，
，
，
同理，
如圖，，
，
，
如圖，，
，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為或，
故答案為：或．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，結(jié)合角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)可求解，，由即可求得的長(zhǎng)．
本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，證明，是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】解：

．
．

．【解析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再利用二次根式的加減混合運(yùn)算法則計(jì)算．
直接利用二次根式的乘法和除法運(yùn)算法則計(jì)算．
本題考查二次根式的乘除運(yùn)算、二次根式的加減運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】解：由勾股定理得：；

，，，
，，
，
是直角三角形．【解析】根據(jù)勾股定理得出，再代入求出答案即可；
先分別求出兩小邊的平方和和最長(zhǎng)邊的平方，再看看是否相等即可．
本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊、的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
 15.【答案】解：，
，，
原式

；
當(dāng)，時(shí)，



．【解析】直接利用平方差公式分解因式，進(jìn)而代入計(jì)算即可得出答案；
直接代入，然后根據(jù)乘法公式計(jì)算即可得出答案．
本題主要考查了二次根式的加減法和乘法，熟練掌握乘法公式是解決問題的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：四邊形是平行四邊形，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，

；
四邊形是平行四邊形，，
，，
，，
，
，
．【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理以及平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論；
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理以及三角形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．
此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理，正確得出的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
 17.【答案】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則的長(zhǎng)即點(diǎn)到的距離，
在中，，，，
，，
，
為直角三角形，即，
，
，即，
，
答：點(diǎn)到的距離約為．【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，則的長(zhǎng)即點(diǎn)到的距離，根據(jù)勾股定理的逆定理得到為直角三角形，即，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
本題考查了勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，勾股定理的逆定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】證明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌；
由得：≌，
，，
，
四邊形是平行四邊形．【解析】由證明≌即可；
由全等三角形的性質(zhì)得，，則，即可得出結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定，證明≌是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：


；



．【解析】首先把被開方數(shù)拆項(xiàng)，再化為完全平方的形式，最后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)；
首先把被開方數(shù)拆項(xiàng)，再化為完全平方的形式，最后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)．
本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、完全平方公式，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，把被開方數(shù)拆項(xiàng)，化為完全平方的形式是解題關(guān)鍵．
 20.【答案】【解析】解：如圖所示；

的面積


．
故答案為：；

由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)、、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)、、的位置，然后順次連接即可；
根據(jù)三角形的面積等于三角形所在的矩形面積減去四周三個(gè)直角三角形的面積列式計(jì)算即可得解；
利用勾股定理列式求出、、，再根據(jù)勾股定理逆定理解答．
本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，勾股定理，勾股定理逆定理，三角形的面積，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】【解析】解：平分，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案為：；
證明：在上截取，連接，如圖所示：

平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
；
解：如圖，在上截取，連接，過作于，

由同理可得，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：．
證≌，再由全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；
在上截取，連接，證≌，得，，再證，得，即可得出結(jié)論；
連接，在上截取，連接，過作于，同得，，再證是等腰直角三角形，得，，則，然后由勾股定理即可得出答案．
本題是四邊形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造出全等三角形，屬于中考常考題型．
 22.【答案】解：；
；
原式


．【解析】仿照材料方法即可化簡(jiǎn)；
仿照材料方法即可化簡(jiǎn)；
先將各數(shù)分母有理化，再合并即可．
本題考查二次根式的分母有理化，解題的關(guān)鍵式讀懂題意，能將二次根式分母有理化．
 23.【答案】解：根據(jù)題意，得，
，
在中，，
根據(jù)勾股定理，得．
答：的長(zhǎng)為．

在中，，，
根據(jù)勾股定理，得，
為等腰三角形，
若，則，
在中，根據(jù)勾股定理得，，解得．
若，則，解得；
若，則，，解得；
即滿足條件的的值為或或．

點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作于，如圖所示：
則，
，
平分，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)作于，如圖所示：
同得：≌，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
綜上所述，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)的值為或時(shí)，平分．【解析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間先求出，再根據(jù)勾股定理即可求解；
根動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中形成三種等腰三角形，分情況即可求解；
分兩種情況：點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作于，先證≌，得出，，再由勾股定理求出，則，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)作于，同得≌，得出，，再由勾股定理得，則，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及分類討論等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵．
 

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