第6講 定值問題（先構(gòu)造函數(shù)，再消去參數(shù)）一、考情分析　　在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動點坐標(biāo)或動線中的參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題．對學(xué)生邏輯思維能力計算能力等要求很高,這些問題重點考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．為了提高同學(xué)們解題效率,特別是高考備考效率,本文列舉了一些典型的定點和定值問題,以起到拋磚引玉的作用．探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；② 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值． 解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值二、經(jīng)驗分享1.定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得．2.【知識拓展】1.設(shè)點是橢圓C：上一定點，點A,B是橢圓C上不同于P的兩點，若，則時直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點；2. 設(shè)點是雙曲線C：一定點，點A,B是雙曲線C上不同于P的兩點，若，則時直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點；3. 設(shè)點是拋物線C：一定點，點A,B是拋物線C上不同于P的兩點，若，則時直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點；三、題型分析（一）與向量與距離有關(guān)的等式的定值問題 例1．在直角坐標(biāo)系中，曲線的點均在：外，且對上任意一點，到直線的距離等于該點與圓上點的距離的最小值.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)（）為圓外一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點A，B和C，D.證明：當(dāng)在直線上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．        
【變式訓(xùn)練1】【2016年北京】已知橢圓：的離心率為，，，，的面積為1．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點．求證：為定值．     （二）與距離和比值有關(guān)的定值問題例2．設(shè)圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于，兩點，過作的平行線交于點.（I）證明為定值，并寫出點的軌跡方程；（II）設(shè)點的軌跡為曲線，直線交于，兩點，過且與垂直的直線與圓交于，兩點，求四邊形面積的取值范圍．         【變式訓(xùn)練1】已知點是直線與橢圓的一個公共點， 分別為該橢圓的左右焦點，設(shè)取得最小值時橢圓為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）已知為橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點， 是橢圓上異于的任意一點，直線分別與軸交于點，試判斷是否為定值；如果為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由．    （三）與平面圖形有關(guān)面積的定值問題例3.【安徽省“皖南八校”2017屆高三第二次聯(lián)考】如圖,點,分別為橢圓的左右頂點,為橢圓上非頂點的三點,直線的斜率分別為,且,,.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）判斷的面積是否為定值？若為定值,求出該定值；若不為定值,請說明理由.     【變式訓(xùn)練1】．【江西省贛州市十四縣（市）2018屆高三下學(xué)期期中】已知橢圓系方程： (， )， 是橢圓的焦點， 是橢圓上一點，且.（1）求的方程；        （2）為橢圓上任意一點，過且與橢圓相切的直線與橢圓交于， 兩點，點關(guān)于原點的對稱點為，求證： 的面積為定值，并求出這個定值．   【變式訓(xùn)練2】.【湖南省五市十校教研教改共同體2017屆高三12月聯(lián)考】如圖,設(shè)點的坐標(biāo)分別為,直線相交于點,且它們的斜率之積為．（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)點的軌跡為,點是軌跡為上不同于的兩點,且滿足,求證：的面積為定值． 
（四）與斜率有關(guān)的定值問題例4．橢圓的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為l．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接．設(shè)的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點．設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值．     【變式訓(xùn)練1】【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷)考試數(shù)學(xué)試題】已知拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與拋物線的交點為，且.（1）求的值；（2）已知點為上一點，，是上異于點的兩點，且滿足直線和直線的斜率之和為，證明直線恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)．
四、遷移應(yīng)用1．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.       2．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）．（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．  3．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為．已知橢圓的短軸長為4，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負(fù)半軸上．若（為原點），且，求直線的斜率．  4.【2019-2020巴蜀中學(xué)2020屆高考適應(yīng)性月考卷理科（四）試卷】 已知橢圓：，直線與該橢圓交于，兩點，為橢圓上異于，的點.（1）若，且以為直徑圓過點，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線，分別與軸交于，兩點，是否為定值，若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.   5.已知橢圓： 的離心率，若橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一動點和，組成的面積最大為.（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線和橢圓相交于不同的兩點，，且原點與,連線的斜率之和滿足：=2，求直線的斜率的取值范圍.            6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點為，為拋物線上異于原點的任意一點，以為直徑作圓，當(dāng)直線的斜率為時，（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過焦點作的垂線與圓的一個交點為，交拋物線與（點在之間），記的面積為，求的最小值。  

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