絕密★啟用前廣西南寧市第三中學2022屆高三下學期一模數(shù)學（理）試題試卷副標題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三總分得分    注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分  一、單選題1．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．2．已知復數(shù)，則（       ）A．的虛部為 B．的實部為 C． D．3．甲、乙、丙、丁四名同學在某次軍訓射擊測試中，各射擊10次．四人測試成績對應(yīng)的條形圖如下：以下關(guān)于四名同學射擊成績的數(shù)字特征判斷不正確的是（       ）A．平均數(shù)相同 B．中位數(shù)相同 C．眾數(shù)不完全相同 D．丁的方差最大4．已知命題；命題則下列命題中為真命題的是（       ）A． B． C． D．5．已知某種垃圾的分解率為，與時間（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中，為非零常數(shù)），若經(jīng)過12個月，這種垃圾的分解率為10%，經(jīng)過24個月，這種垃圾的分解率為20%，那么這種垃圾完全分解，至少需要經(jīng)過（       ）（參考數(shù)據(jù)：）A．48個月 B．52個月 C．64個月 D．120個月6．有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是（       ）A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B．分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；7．等腰直角三角形ABC中，，，D是斜邊BC上一點，且，則(       )A．2 B．3 C．4 D．58．如圖，一座垂直建于地面的信號發(fā)射塔的高度為，地面上一人在A點觀察該信號塔頂部，仰角為，沿直線步行后在B點觀察塔頂，仰角為，若，此人的身高忽略不計，則他的步行速度為（       ）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法錯誤的是（       ）A．在上單調(diào)遞減B．該函數(shù)的初相是C．該圖象可由的圖象向左平移個單位得到D．的圖象關(guān)于直線對稱10．已知球是正四面體的外接球，為線段的中點，過點的平面與球形成的截面面積的最小值為，則正四面體的體積為（       ）A． B．C． D．11．已知關(guān)于x的不等式-x- alnx≥1對于任意x∈(l，+∞)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為A．（-∞，1-e] B．（-∞，-3] C．（-∞，-2] D．（-∞，2- e2]12．已知正方體的外接球表面積為，點E為棱的中點，且平面，點平面，則平面截正方體所得的截面圖形的面積為（       ）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分  二、填空題13．已知實數(shù)，滿足約束條件，設(shè)，則最小值為_________.14．若的展開式常數(shù)項為，則________．15．已知為偶函數(shù)，且當時，，則在處的切線方程為______．16．如圖，已知，分別為雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的左支交于、兩點，連接，，在中，，，則雙曲線的離心率為________．評卷人得分  三、解答題17．在① ,,② ,, ③ , 這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.已知等差數(shù)列的前項和為且_________.（填寫序號）（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求證數(shù)列的前項和 注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質(zhì)量分別，，，，（單位：克）中，經(jīng)統(tǒng)計頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)在樣本中，按分層抽樣從質(zhì)量在，中的芒果中隨機抽取5個，再從這5個中隨機抽取2個，求這2個芒果都來自同一個質(zhì)量區(qū)間的概率；(3)某經(jīng)銷商來收購芒果，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表，用樣本估計總體，該種植園中共有芒果大約10000個，經(jīng)銷商提出以下兩種收購方案：方案①：所有芒果以10元/千克收購；方案②：對質(zhì)量低于350克的芒果以3元/個收購，對質(zhì)量高于或等于350克的芒果以5元/個收購.請通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB=1，PA=2，E為PB的中點，點F在棱PC上，且PF=PC.(1)求直線CE與直線PD所成角的余弦值；(2)當直線BF與平面CDE所成的角最大時，求此時的值.20．橢圓的離心率為，右頂點為A，設(shè)點O為坐標原點，點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，面積的最大值為．(1)求橢圓E的標準方程；(2)設(shè)直線交x軸于點P，其中，直線PB交橢圓E于另一點C，直線BA和CA分別交直線l于點M和N，若O、A、M、N四點共圓，求t的值．21．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，求函數(shù)在上的零點個數(shù)．22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．(1)求的普通方程，并說明是什么曲線；(2)已知為圓上一動點，為曲線上一動點，求的最小值．23．已知，，.(1)求的范圍；(2)證明：.
參考答案：1．A【解析】【分析】先求集合，，再根據(jù)集合交集運算即可得答案.【詳解】解：由于，，所以.故選：A.【點睛】本題考查集合的交集運算，是基礎(chǔ)題.2．B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方、復數(shù)的模、實部、虛部等知識求得正確答案.【詳解】因為，所以的實部為，虛部為，所以A選項錯誤，B選項正確.與不能比較大小，C選項錯誤.，D選項錯誤.故選：B3．D【解析】【分析】觀察四名同學的統(tǒng)計圖的特征，四位同學的直方圖都關(guān)于5環(huán)對稱，因此它們的平均數(shù)都是5，中位數(shù)相同，眾數(shù)顯然不完全相同，根據(jù)方差的定義分別計算四名同學的方差即可得出結(jié)論.【詳解】解：由圖的對稱性可知，平均數(shù)都為；由圖易知，四組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不完全相同，中位數(shù)相同；記甲、乙、丙、丁圖所對應(yīng)的方差分別為，則，，， ，所以丙的方差最大．故選：D．【點睛】本小題考查統(tǒng)計圖表、數(shù)字特征的概念等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、統(tǒng)計與概率思想；考查直觀想象、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性．4．A【解析】【分析】先判斷命題，命題的真假，再利用復合命題判斷.【詳解】對于命題，當時，，故命題p為真命題，是假命題；對于命題，因為，所以，故命題q是真命題，是假命題；所以是真命題，       是假命題，是假命題，是假命題，故選：A5．B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，然后再代入數(shù)值計算即可.【詳解】由題意可得，解得，所以，這種垃圾完全分解，即當時，有，即，解得.故選：B6．D【解析】【分析】根據(jù)題意，分別按照選項說法列式計算驗證即可做出判斷.【詳解】選項A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項錯誤；選項B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項錯誤；選項C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項錯誤；選項D，先將6本書分為2-2-1-1的4組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項正確.故選：D.7．C【解析】【分析】以為基底表示向量，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律即可計算．【詳解】，∴，∵，．故選：C．8．D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用直角三角形邊角關(guān)系求出AD，BD，再利用余弦定理計算作答.【詳解】依題意，在中，，則m，在中，，則m，在中，，由余弦定理得：，即，解得m，即有，所以他的步行速度為.故選：D9．A【解析】【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】由圖象可知, 所以, 解得，又圖象過點，所以，因為，所以，故，當時，，所以單調(diào)遞增，A錯誤；由解析式知函數(shù)的初相是，故B正確；的圖象向左平移個單位得到，故C正確；當時，為最大值，知的圖象關(guān)于直線對稱，故D正確,故選：A10．D【解析】【分析】設(shè)外接球的半徑為，截面面積最小時截面圓的半徑為，，外接圓的圓心為，易知平面時，截面面積最小，求得截面圓的半徑，然后在，利用勾股定理求得四面體的邊長即可.【詳解】如圖所示：易知平面時，截面面積最小.設(shè)外接球的半徑為，截面面積最小時截面圓的半徑為，，外接圓的圓心為，則，，所以.由，解得，則，解得.又正四面體的高為，所以正四面體的體積，故選：D.11．B【解析】化簡得到，根據(jù)化簡得到答案.【詳解】根據(jù)題意：.設(shè)，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故.根據(jù)，，故.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)，利用不等式化簡是解題的關(guān)鍵.12．D【解析】【分析】先求得正方體的邊長，畫出截面，利用向量法證得平面，根據(jù)梯形面積公式計算出截面的面積.【詳解】設(shè)該正方體外接球的半徑為R，依題意，，解得，故，，故.分別取棱，的中點F，G，連接，，，，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知：四邊形為等腰梯形，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，所以，由于，所以平面，即截面為等腰梯形.由題可知，，所以等腰梯形的高為，故截面圖形的面積為故選：D13．-2【解析】【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】作出可行域如圖所示：由，可得：.由可行域易知，當直線過點時，縱截距最大，取得最小值.此時. .故答案為：-2.14．【解析】【分析】求出二項展開式的通項，令的指數(shù)為零，可得出方程組，進而可解得的值.【詳解】的展開式通項為，由題意可得，解得.故答案為：.15．；【解析】【分析】首先求時，函數(shù)的解析式，再利用導數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】設(shè)，，因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，當時，，，，所以在處的切線方程為，即.故答案為：16．【解析】【分析】設(shè)，利用雙曲線的定義和，得到，再根據(jù)為等腰三角形，求得，如何在中，利用余弦定理求解.【詳解】解：設(shè)，由雙曲線的定義可得，由，得，即，因為為等腰三角形，所以，解得（負值舍去），在中，，即，所以．故答案為：17．（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）選條件①，利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；選條件②，利用等差數(shù)列的前項和公式以及等差數(shù)列的通項公式即可求解；選條件③，利用等差數(shù)列的通項公式即可求解.（2）利用裂項求和法即可求解.【詳解】（1）方案一：選條件①.設(shè)等差數(shù)列的公差為.因為，，所以,解得所以.   方案二：選條件②.設(shè)等差數(shù)列的公差為.因為，，所以,解得所以.   方案三：選條件③.設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以.因為，，所以，，所以，所以.   （2）由（1）知，所以=＜18．(1)；(2)；(3)選擇方案②獲利多.【解析】【分析】（1）根據(jù)區(qū)間的頻率和區(qū)間中點的坐標進行求解即可；（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，用列舉法，結(jié)合古典概型的計算公式進行求解即可；（3）根據(jù)兩個不同方案進行計算求解判斷即可.(1)由頻率分布直方圖知，各區(qū)間頻率為，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：；(2)利用分層抽樣從這兩個范圍內(nèi)抽取5個芒果，則質(zhì)量在內(nèi)的芒果有2個，記為，，質(zhì)量在內(nèi)的芒果有3個，記為；從抽取的5個芒果中抽取2個共有10種不同情況：，記事件為“這2個芒果都來自同一個質(zhì)量區(qū)間”，則有4種不同組合：從而，故這2個芒果都來自同一個質(zhì)量區(qū)間的概率為；(3)方案①收入：（元）；方案②：低于350克的芒果收入為（元；不低于350克的支果收入為（元）；故方案②的收入為（元）.由于，所以選擇方案（2）獲利多.19．(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用坐標法，利用向量夾角公式即得；（2）利用線面角的向量求法，然后利用基本不等式即得.(1)以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則、、、，從而∴,即與所成角的余弦值為；(2)點在棱上，且，所以，于是，，又，．設(shè)為平面的法向量，則，可得，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則令，則，所以，當，即時，有最小值，此時取得最大值為，即與平面所成的角最大，此時，即的值為．20．(1)(2)6【解析】【分析】（1）由離心率為可得，又面積的最大值為，聯(lián)立方程求解即可得答案；（2）設(shè)直線BC方程為，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理可得，又，，當O、A、M、N四點共圓，由相交弦定理可得，即，根據(jù)韋達定理化簡可得，從而即可求解.(1)解：由題意，設(shè)橢圓半焦距為c，則，即，得，設(shè)，由，所以的最大值為，將代入，有，解得，所以橢圓的標準方程為；(2)解：設(shè)，因為點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，則直線BC不與x軸重合，設(shè)直線BC方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，，可得，由韋達定理可得，直線BA的方程為，令得點M縱坐標，同理可得點N縱坐標，當O、A、M、N四點共圓，由相交弦定理可得，即，，由，故，解得．21．(1)答案不唯一，具體見解析(2)零點個數(shù)為2【解析】【分析】（1）求導得到，再對分類討論，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）求導得到，因無法輕易求得的解，故根據(jù)導函數(shù)的性質(zhì)將的取值范圍分為三段分別討論，即可求解零點個數(shù).(1)解：∵，故，當時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；②當時，令，解得，故時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.綜上，當時，則在上單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.(2)由已知得，，則．①當時，因為，所以在上單調(diào)遞減．所以．所以在上無零點．②當時，因為單調(diào)遞增，且，，所以存在，使．當時，；當時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．所以．設(shè)，，則．令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．所以．所以．所以．所以在上存在一個零點．所以在有2個零點．③當時，，所以在上單調(diào)遞增．因為，所以在上無零點．綜上所述，在上的零點個數(shù)為2．22．(1)，是一條射線(2)【解析】【分析】（1）直接消去參數(shù)即可得到的普通方程；（2）利用幾何法求出最小值.(1)將曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得，因為，所以的普通方程為，故是一條射線．(2)因為是一條射線，且端點為，所以數(shù)形結(jié)合可知，當與重合且為線段與圓的交點時，取得最小值，且最小值為．23．(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）利用基本不等式可求得的取值范圍；（2）由已知可得出，令，將所證不等式等價轉(zhuǎn)化為，通分、因式分解后判斷符號，即可證得結(jié)論成立.(1)解：因為，，則，由基本不等式可得，可得，當且僅當時，等號成立，故.(2)證明：因為，所以，，要證，即證，即證，令，即證，因為，故原不等式得證. 

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