絕密★啟用前河南省豫南省級示范高中聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)考三理科數(shù)學(xué)試題試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三總分得分    注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分  一、單選題1．設(shè)全集，集合，，則下面Venn圖中陰影部分表示的集合是（       ）A． B．C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（       ）A． B． C． D．23．某市高三年級共有14000 人參加教學(xué)質(zhì)量檢測，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布（試卷滿分150分），且，據(jù)此可以估計，這次檢測數(shù)學(xué)成績在80到90分之間的學(xué)生人數(shù)為（       ）A．2800 B．4200 C．5600 D．70004．考拉茲猜想是引人注目的數(shù)學(xué)難題之一，由德國數(shù)學(xué)家洛塔爾·考拉茲在世紀(jì)年代提出，其內(nèi)容是：任意正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘加，如果是偶數(shù)就除以，如此循環(huán)，最終都能夠得到．下邊的程序框圖演示了考拉茲猜想的變換過程．若輸入的值為，則輸出的值為（       ）A． B． C． D．5．設(shè)為第二象限角，若，則=（       ）A． B．C． D．26．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有（       ）A．8種 B．14種 C．20種 D．116種7．函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象關(guān)于（       ）A．直線對稱 B．點對稱C．直線對稱 D．點對稱8．將函數(shù)的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短為原來（縱坐標(biāo)不變）后，再向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，的值域為（       ）A． B．C． D．9．拋物線的焦點為，為拋物線上一點，以為圓心，為半徑的圓交拋物線的準(zhǔn)線于，兩點，，則直線的斜率為（       ）A． B．C． D．10．已知直線過定點，直線過定點，與的交點為，則面積的最大值為（       ）A． B．C．5 D．1011．在四面體中，， ，二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為（       ）A． B．C． D．12．過平面內(nèi)一點作曲線兩條互相垂直的切線，切點為（不重合），設(shè)直線分別與y軸交于點，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（       ）①兩點的橫坐標(biāo)之積為定值；②直線的斜率為定值；③線段的長度為定值；                       ④面積的取值范圍為.A．1 B．2 C．3 D．4第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分  二、填空題13．曲線在點（，2）處的切線方程是________．14．已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，O為坐標(biāo)原點，橢圓上一點P滿足|OP|＝3，則△F1PF2的面積為________．15．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝2，將△ACD沿AC折疊形成三棱錐D1?ABC．當(dāng)三棱錐D1?ABC體積最大時，則此時三棱錐外接球體積為________．16．已知函數(shù)，（），（），給出下列四個命題，其中真命題有________．（寫出所有真命題的序號）①存在實數(shù)k，使得方程恰有一個根；②存在實數(shù)k，使得方程恰有三個根；③任意實數(shù)a，存在不相等的實數(shù)，使得；④任意實數(shù)a，存在不相等的實數(shù)，使得．評卷人得分  三、解答題17．已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且.(1)求證：；(2)若為，的等差中項，且，求的面積.18．2022年北京冬奧會防寒服中的“神奇內(nèi)芯”—仿鵝絨高保暖絮片，是國家運動員教練員比賽服裝的保暖材料.該“內(nèi)芯”具有超輕超薄?濕態(tài)保暖?高蓬松度等特點，其研發(fā)是國家重點研發(fā)計劃“科技冬奧”重點專項之一，填補了國內(nèi)空白.為了保證其質(zhì)量，廠方技術(shù)員從生產(chǎn)的一批保暖絮片中隨機抽取了100處，分別測量了其纖維長度(單位：)的均值，并制成如下頻率分布直方圖：(1)估計該批保暖絮片纖維長度的平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；(2)該批保暖絮片進人成品庫之前需進行二次檢驗，從中隨機抽取15處測量其纖維長度均值，數(shù)據(jù)如下：31.8，32.7，28.2，34.3，29.1，34.8，37.2，30.8，30.6，25.2，32.9，28.9，33.9，29.5，34.5.請問該批保暖絮片是否合格？(若二次抽檢纖維長度均值滿足，則認(rèn)為保暖絮片合格，否則認(rèn)為不合格).19．如圖，為平行四邊形，，將沿翻折到位置且.(1)求P、C兩點之間的距離；(2)求二面角的余弦值.20．已知橢圓的左，右焦點分別為?，動直線過與相交于，兩點.若：是其中一個的內(nèi)切圓.(1)求橢圓的方程；(2)求內(nèi)切圓半徑的最大值.21．已知函數(shù)，函數(shù)在處取得最大值.(1)求a的取值范圍；(2)當(dāng)時，求證：.22．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C的普通方程；(2)若過點的直線l與曲線C交于A，B兩點，求的取值范圍.23．已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)若時，恒成立，求a的取值范圍.
參考答案：1．A【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，二次根式定義確定集合，然后確定Venn圖中陰影部分表示的集合并計算．【詳解】由題意，或，，Venn圖中陰影部分為．故選：A．2．C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)虛部的定義即可得解.【詳解】解：因為，所以，則.所以的虛部為.故選：C.3．A【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)即可解出．【詳解】因為，近似服從正態(tài)分布，所以，即這次檢測數(shù)學(xué)成績在80到90分之間的學(xué)生人數(shù)大約為．故選：A．4．C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖列舉出算法循環(huán)的每一步，即可得出輸出結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán)，不成立，，，不成立；第二次循環(huán)，成立，，，不成立；第三次循環(huán)，成立，則，，不成立；第四次循環(huán)，成立，則，，不成立；第五次循環(huán)，成立，則，，成立.跳出循環(huán)體，輸出.故選：C.5．B【解析】【分析】結(jié)合平方關(guān)系解得，由商數(shù)關(guān)系求得，再由兩角和的正切公式計算．【詳解】由得，，是第二象限角，，，所以由，解得：，所以，．故選：B．6．B【解析】【分析】按照同個元素（甲）分類討論，特殊元素和特殊位置優(yōu)先考慮即可得解.【詳解】按照甲是否在天和核心艙劃分，①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的三人中選取兩人，剩下兩人去剩下兩個艙位，則有種可能；②若甲不在天和核心艙，需要從問天實驗艙和夢天實驗艙中挑選一個，剩下四人中選取三人進入天和核心艙即可，則有種可能；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有6+8=14種可能.故選：B.7．D【解析】【分析】根據(jù)對稱性進行檢驗．【詳解】由題意，它與之間沒有恒等關(guān)系，相加也不為0，AB均錯，而，所以的圖象關(guān)于點對稱．故選：D．8．C【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換可求得，由可求得的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】將函數(shù)的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短為原來（縱坐標(biāo)不變）后，可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時，，所以，.故選：C.9．D【解析】【分析】根據(jù)題意求出點坐標(biāo)，即可求出直線的斜率.【詳解】由題意可知：，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于，因為，所以，且，所以，設(shè)，由拋物線定義可知，所以，代入拋物線中得，所以，且，所以直線的斜率為.故選：D10．C【解析】【分析】由直線方程求出定點，確定，即在以為直徑的圓上，由圓的性質(zhì)得點到的距離最大值為圓半徑，由此可得面積最大值．【詳解】由直線的方程是得直線過定點，同理直線方程為，即，所以定點，又，所以，即在以為直徑的圓上，，由圓的性質(zhì)知點到的距離最大值等于圓半徑，即，所以面積的最大值為．故選：C．11．B【解析】【分析】取中點，中點，連接，證明是二面角的平面角，，是直角的外心，是直角的外心，在平面內(nèi)過作，過作，交點為四面體外接球球心，求出球半徑可得表面積．【詳解】取中點，中點，連接，則，，，，所以是直角的外心，，，，，所以，，所以是二面角的平面角，，是中點，則是直角的外心，由，，，平面得平面，平面，所以平面平面，同理平面平面，平面平面，平面平面，在平面內(nèi)過作，則平面，在平面內(nèi)過作，則平面，與交于點，所以為四面體的外接球的球心，中，，所以，所以，，所以外接球表面積為．故選：B．12．C【解析】【分析】當(dāng)時，求得，當(dāng)時，，可判定①正確；根據(jù)斜率公式和對數(shù)的運算性質(zhì)，可判定②正確；求得的方程，得到，，求得，可判定③正確；聯(lián)立方程組，得到，進而求得，可判定④不正確.【詳解】作出曲線的圖象，如圖所示，過平面內(nèi)一點作曲線兩條互相垂直的切線，切點為（不重合），可得切點的橫坐標(biāo)在，的橫坐標(biāo)在，當(dāng)時，，則，所以；當(dāng)時，，則，所以，所以，所以，所以①正確；直線的斜率為，所以②正確；過點的切線方程為，令，可得，即點，過點的切線方程為，令，可得，即點，所以，所以③正確；由切線聯(lián)立方程組，解得其交點的橫坐標(biāo)，因為不重合，故等號不成立，所以的橫坐標(biāo)，所以，所以④不正確.故選：C.13．【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程的斜率，進而求出切線方程.【詳解】，所以，故在點（，2）處的切線方程為，即.故答案為：14．7【解析】【分析】設(shè)出，列出方程組，求出，從而求出面積.【詳解】由題意得：，解得：，所以，設(shè)出，則，解得：，故故答案為：715．【解析】【分析】找到體積最大時的狀態(tài)，結(jié)合三棱錐的幾何特點，求得外接球球心，再求半徑和體積即可.【詳解】在等腰梯形中，因為，容易知，當(dāng)三棱錐D1?ABC體積最大時，此時平面平面，又面面，且面，故面，因為，故△為直角三角形，不妨取斜邊的中點為，則，過作平面的垂線，取中點為，連接，因為，故，又面面，面，面，故面，故//，則四點共面.因為，取△的外心為，過作的垂線交于點，則，故該三棱錐的外接球球心為，設(shè)其半徑為，則由圖可知：，又，在△中，由正弦定理可得，故，又，故，，故三棱錐外接球體積.故答案為：.16．①②④【解析】【分析】①②畫出函數(shù)圖象，結(jié)合經(jīng)過定點，數(shù)形結(jié)合進行判斷；③轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點問題，可以舉出反例；④轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點問題，能夠得到一組二次函數(shù)，均過原點，且開口向下，利用圖象，數(shù)形結(jié)合得以證明.【詳解】畫出的函數(shù)圖象，如圖：經(jīng)過定點，從圖中可以看出存在實數(shù)k，使得方程恰有一個根；①正確；存在實數(shù)k，使得方程恰有三個根，②正確；要想對任意實數(shù)a，存在不相等的實數(shù)，使得，只需函數(shù)，（）始終有兩個交點，當(dāng)時，，開口向上，且最小值為，此時圖象如圖所示：由于指數(shù)函數(shù)的增長速度高于二次函數(shù)，顯然此時兩函數(shù)只有一個交點，故③錯誤；要想對任意實數(shù)a，存在不相等的實數(shù)，使得，即，只需與，無論a取何值，都有兩個交點，其中開口向下，且有最大值為，且恒過，畫出兩函數(shù)圖象如下，其中為一組拋物線，用虛線表示：無論a取何值，都有兩個交點，④正確；故答案為：①②④【點睛】利用函數(shù)圖象研究函數(shù)零點是很重要的方法，需要數(shù)形結(jié)合進行求解，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，極值，最值，有時候需要用到導(dǎo)函數(shù)的方法.17．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，再根據(jù)三角形性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)，得，求解即可.(1)由已知及正弦定理得，又代入上式得，即又，顯然，所以，故(2)由（1）知，因為為，的等差中項，不妨設(shè)由余弦定理得，整理得：①由已知得，②由①②聯(lián)立，整理得：，所以.所以，所以的面積為18．(1)31，12.28；(2)合格﹒【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求出每一組的頻率和頻數(shù)，根據(jù)方差計算公式即可計算方差；(2)求出,比較的大小關(guān)系即可判斷.(1)由頻率分布直方圖可得，纖維長度區(qū)間是???????的頻率分別為：0.04?0.09?0.16?0.24?0.18?0.14?0.10?0.05，對應(yīng)的頻數(shù)分別為：4?9?16?24?18?14?10?5，故樣本均值為：；樣本方差為：﹒∴估計該保暖絮片的纖維長度的平均數(shù)為，方差為；(2)二次抽檢纖維長度均值：，∵，∴該批保暖絮片合格﹒19．(1)；(2)﹒【解析】【分析】(1)延長到E，使，連接.證明CE⊥平面PDE，根據(jù)勾股定理可求PC長度；(2)取中點O，連接，以分別為x，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面DPB和平面CPB的法向量，利用向量法即可求解二面角的余弦.(1)延長到E，使，連接.由己知得為平行四邊形，故.又，∴，則，∵PD∩AE＝D，∴平面，∴平面，∴，∵，∴，又，∴為等邊三角形，故.又，∴；(2)由(1)知為矩形，取中點O，連接，則OP⊥DE，則OP⊥平面BCED，如圖，以分別為x，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則..設(shè)平面的法向量為，則，即，取，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，故，∴，由已知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.20．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，再利用橢圓定義求解即可；（2）根據(jù)題意得，，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立求出韋達定理，整理求最值即可.(1)由已知方程為：，圓心，半徑為.由已知得，故，由，解得故，所以，.所以橢圓的方程為.(2)設(shè)內(nèi)切圓半徑為，面積為，，則，又，所以，設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立整理得，則.由，所以所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故內(nèi)切圓半徑的最大值為.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性進而可求極值，從而可得出結(jié)論；（2）方法一：結(jié)合（1）的結(jié)論可知只需證即可，然后構(gòu)造函數(shù)，從而證得其最小值大于0即可；方法二：結(jié)合（1）的結(jié)論可知只需證即可，進而分別構(gòu)造函數(shù)令和，然后結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出結(jié)論.(1)顯然，由已知得.故.若，當(dāng)時，；當(dāng)正數(shù)時，.有最小值，不符合題意.若，當(dāng)時，；當(dāng)時，.有最大值，故a的取值范圍為.(2)由（1）知，當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，因為，只需證，即證令，設(shè)，故在上為增函數(shù).所以，所以存在，使得，此時.當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即.故.又因為在為減函數(shù)，且，所以故當(dāng)時，，即，所以.綜上，當(dāng)時，.解法二：由（1）知，當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，因為，只需證，即證.令在上單遞增，所以；令，由得.當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.當(dāng)時，，故所以綜上，當(dāng)時，.【點睛】不等式證明問題是近年高考命題的熱點，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法主要有兩個：（1）不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值即可；（2）觀察不等式的特點，結(jié)合已解答問題把要證的不等式變形，并運用已證結(jié)論先行放縮，再化簡或者進一步利用導(dǎo)數(shù)證明.22．(1)；(2).【解析】【分析】（1）由題得，利用極坐標(biāo)公式化簡即得解；（2）設(shè)直線l的傾斜角為，寫出直線的參數(shù)方程，聯(lián)立曲線C的普通方程得到韋達定理，再利用韋達定理和參數(shù)的幾何意義求解.(1)解：由，故，因為所以曲線C的普通方程為，即.(2)解：設(shè)直線l的傾斜角為，則直線l的參數(shù)方程為（t是參數(shù)），代入化簡得：由得，設(shè)其兩根分別為，則，由參數(shù)的幾何意義知，又，其中，所以，故.故的取值范圍為.23．(1)(2)【解析】【分析】（1）分段討論去絕對值后求解（2）根據(jù)的值分類討論，轉(zhuǎn)化為最值問題求解(1)當(dāng)時，故原不等式等價于①或②或③解①得：；解②得：；解③得：綜上：不等式的解集為(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由時，，故即，解得，故.故a的取值范圍為. 

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