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如圖，，分別是邊和對角線上的動點，且，則的最小值______直接寫出結果
答案和解析 1.【答案】【解析】解：依題意得：，
解得．
故選：．
二次根式有意義時，被開方數(shù)是非負數(shù)．
考查了二次根式的有意義的條件．二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．
2.【答案】【解析】解：選項，原式，故該選項不符合題意；
選項，原式，故該選項不符合題意；
選項，原式，故該選項不符合題意；
選項，是最簡二次根式，故該選項符合題意；
故選：．
根據最簡二次根式的概念判斷即可．
本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關鍵．
3.【答案】【解析】解：、原式，故此選項不符合題意；
B、原式，故此選項符合題意；
C、原式，故此選項不符合題意；
D、與不是同類二次根式，不能合并計算，故此選項不符合題意；
故選：．
根據二次根式加減法運算法則判斷、和，根據二次根式除法運算法則判斷，
本題考查二次根式的混合運算，理解二次根式加減法和除法運算法則是解題關鍵．
4.【答案】【解析】解：、，，
，
以線段，，首尾相連能構成直角三角形，
故A不符合題意；
B、，，
，
以線段，，首尾相連能構成直角三角形，
故B不符合題意；
C、：：：：，
設，，，
，，
，
以線段，，首尾相連能構成直角三角形，
故C不符合題意；
D、，，
，
以線段，，首尾相連不能構成直角三角形，
故D符合題意；
故選：．
根據勾股定理的逆定理，進行計算即可解答．
本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．
5.【答案】【解析】解：已知等邊，過點作于點，如圖所示：
則點為的中點，
等邊三角形的邊長為，
，，
根據勾股定理，得，
的面積為，
故選：．
過點作于點，根據等邊三角形的性質可知是的中點，根據勾股定理求出的值，再求的面積即可．
本題考查了等邊三角形的性質，涉及勾股定理，三角形的面積等，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．
6.【答案】【解析】解：、由，，不能判定四邊形為平行四邊形，故選項A不符合題意；
B、，，
四邊形為平行四邊形，故選項B符合題意；
C、由，，不能判定四邊形為平行四邊形，故選項C不符合題意；
D、由，，不能判定四邊形為平行四邊形，故選項D不符合題意；
故選：．
由平行四邊形的判定分別對各個選項進行判斷即可．
本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．
7.【答案】【解析】解：、如果四邊形是矩形，那么它的對角線相等的逆命題是如果四邊形的對角線相等，那么四邊形是矩形，逆命題是假命題；
B、如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等的逆命題是如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么它們相等，逆命題是假命題；
C、如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么的逆命題是如果三角形三條邊滿足，那么三角形是直角三角形，逆命題是真命題；
D、如果四邊形是菱形，那么它的對角線互相垂直的逆命題是如果四邊形的對角線垂直，那么四邊形是菱形，逆命題是假命題；
故選：．
寫出原命題的逆命題后判斷正誤即可．
考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解如何寫出一個命題的逆命題，難度不大．
8.【答案】【解析】解：因為平行四邊形的對角線互相平分，
所以，
所以平行四邊形的對角線互相垂直，
所以根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，
可知這個平行四邊形是菱形．
所以這個平行四邊形的一條邊上的高為，
故選：．
根據勾股定理逆定理可以說明平行四邊形的對角線互相垂直，進而可以判斷這個平行四邊形是菱形．
本題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握菱形的判定．
9.【答案】【解析】解：四邊形 是邊長為的正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可求：
，
，
，
，
，
故選：．
根據題意求出，，根據面積的變化規(guī)律總結的關系式即可．
本題主要考查了正方形的性質，三角形的面積，等腰直角三角形的性質等知識，熟練掌握正方形的性質和三角形面積的計算是解題的關鍵．
10.【答案】【解析】解：連接，連接交于點，連接，分別交、于點、，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
點，，分別是，，的中點，
，，，，
，，
，
故選：．
連接，連接交于點，連接，分別交、于點、，利用證明≌，根據全等三角形的性質及三角形中位線定理求解即可．
此題考查了全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理并作出合理的輔助線是解題的關鍵．
11.【答案】【解析】解：．
故答案為．
根據算術平方根的性質進行化簡，即．
此題考查了算術平方根的性質，即．
12.【答案】【解析】解：，，
，
則，
故答案為：．
根據二次根式的加法法則求出，計算即可．
本題考查的是二次根式的計算，掌握二次根式的加法法則是解題的關鍵．
13.【答案】或【解析】解：當為直角邊時，第三邊為，
當為斜邊時，第三邊為，
故答案為：或．
分為斜邊和直角邊，分別利用勾股定理可得答案．
本題主要考查了勾股定理，運用分類思想是解題的關鍵．
14.【答案】【解析】解：連接，交于，如圖所示：
四邊形是矩形，
，，，，
，，
，
又，
，
，
，
．
故答案為：．
連接，交于，由矩形性質可得，得出，而，可得度數(shù)．
本題主要考查了矩形性質、等腰三角形的性質以及三角形的外角性質等知識；熟練掌握矩形的性質和等腰三角形的性質是解題的關鍵．
15.【答案】【解析】解：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，
，，
再次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經過點，得到折痕，同時得到了線段．
，
，
，
，
，
由折疊的性質得：，
在中，
，
故答案為：．
根據折疊的性質可得，，即可得，即得，根據直角三角形的兩銳角互余得，根據折疊的性質即可得出，利用含角的直角三角形三邊關系即可得出結論．
本題考查折疊的性質，直角三角形的性質、矩形的性質等知識，正確的理解題意是解題的關鍵，題目具有一定的綜合性．
16.【答案】【解析】解：如圖，連接，過點作，交于點，
將繞點旋轉，使得點的對應點落在線段上，
，，
，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，，
，，
，
，
，
的面積，
故答案為：．
利用面積的和差關系可求解．
本題考查了矩形的性質，旋轉的性質，等邊三角形的性質等知識，添加恰當輔助線構造等邊三角形是解題的關鍵．
17.【答案】解：
；
．【解析】先化簡，再算加減即可；
先算乘法，再算除法即可．
本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
18.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，．
、分別是、的中點，
，，
．
四邊形是平行四邊形．【解析】由平行四邊形的性質得出，，證出，即可得出四邊形是平行四邊形．
本題考查了平行四邊形的判定與性質；熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解決問題的關鍵．
19.【答案】解：設的長為，則的長為，
，
，
，，
，
，，
，
解得，
，，
，
解得，
，
即的面積是．【解析】根據題意和題目中的數(shù)據，利用勾股定理可以列出相應的方程，然后求出的長，再求出的長，即可計算出的面積．
本題考查勾股定理、數(shù)學常識、二次根式的應用，解答本題的關鍵是求出和的長．
20.【答案】解：過點作的垂線段，使其長度為，作圖如下：
過點作的平行線段，使其長度為，如圖：
作平行四邊形，使得各邊的中點分別為，，，，如圖：
【解析】根據等邊三角形性質，找到點，連接即可；
按要求，找到符合題意的，連接即可；
利用等邊三角形性質，根據中點定義，找到、、、，連接成四邊形即可．
本題考查作圖應用與設計，解題的關鍵是讀懂題意，掌握平行線等概念，按要求畫出圖形．
21.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
在與中，
，
≌，
，
同理可得：，
，
，
四邊形是菱形．【解析】根據平行四邊形的性質和全等三角形的判定和性質得出，進而利用菱形的判定解答即可．
此題考查了平行四邊形的性質以及菱形的判定．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
22.【答案】證明：延長至，使，連接，
，，
，，
為的中點，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：設，
在中，，
，
，，
四邊形為矩形，
，
，
在中，，
，
，
由勾股定理得：，
則，
解得：，
，
．【解析】延長至，使，連接，證明≌，根據全等三角形的性質得到，證明結論；
根據等腰直角三角形的性質得到，根據含角的直角三角形的性質、勾股定理求出，列式計算即可．
本題考查的是三角形中位線定理、矩形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．
23.【答案】證明：如圖，在上截取，連接，
，，
是等邊三角形，
，
，
四邊形是菱形，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
如圖，連接，設與的交點為，
四邊形是菱形，，
，，
是等邊三角形，
，，
是等邊三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．【解析】由“”可證≌，可得結論；
由“”可證≌，可得，可得結論．
本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
24.【答案】【解析】解：如圖，作于點，
四邊形是矩形，，，
，，，
，
，
，
，
點到直線的距離是．
如圖，連接、，
的角平分線交于點，交的延長線于點，，
，
，
，
，
，
，
，
，
為的中點，
，，，
，
≌，
，，
，
．
如圖，連接交于點，
，
，
和都是等邊三角形，
過中點作，交于點，連接、，
，，，
，
，
，
，
，
，
當點在上時，，此時的值最小，
，，，
≌，
，
的最小值為，
故答案為：．
作于點，由四邊形是矩形得，，，根據勾股定理得，由，得，所以點到直線的距離是；
連接、，由的角平分線交于點，交的延長線于點，，，可證明≌，得，，則，所以；
連接交于點，先證明和都是等邊三角形，則，，，根據勾股定理求得，所以，則，當點在上時，，此時的值最小，再證明≌，則，所以的最小值為．
此題考查圖形與坐標、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、垂線段最短、根據面積等式列方程求線段的長度等知識與方法，此題難度較大，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
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