2018-2019學(xué)年湖南師大附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（文科）及參考答案（四）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2018-2019學(xué)年湖南師大附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（四）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|2x＜1}，集合N＝{x|log2x＞1}，則下列結(jié)論中成立的是（（　?。?br /> A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M∩（?UN）＝M D．（?UM）∩N
【解答】解：M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞2}；
∴M∩N＝?，
M∪N＝{x|x＜0，或x＞2}≠N，
?UN＝{x|x≤2}，M∩（?UN）＝M，
?UM＝{x|x≥0}，（?UM）∩N＝N．
故選：C．
2．（5分）已知三條不重合的直線m、n、l，兩個(gè)不重合的平面α、β，下列四個(gè)命題中正確的是（　?。?br /> A．若l⊥α，m⊥β，且l∥m，則α∥β
B．若m∥n，n?α，則m∥α
C．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n?β，則n⊥α
【解答】解：由三條不重合的直線m、n、l，兩個(gè)不重合的平面α、β，知：
在A中，若l⊥α，m⊥β，且l∥m，則由面面垂直的性質(zhì)定理得α∥β，故A正確；
在B中，∵m與α的位置關(guān)系不確定，∴m∥α不一定成立，故B錯(cuò)誤；
在C中，由于m與n幾何位置關(guān)系不確定，∴α∥β的條件不具備，故C錯(cuò)誤；
在D中，若α⊥β，α∩β＝m，n?β，則n與α相交、平行或n?α，故D錯(cuò)誤．
故選：A．
3．（5分）已知P（1，3）在雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的漸近線上，則該雙曲線的離心率為（（　?。?br /> A． B．2 C． D．
【解答】解：根據(jù)點(diǎn)P（1，3）在雙曲線的漸近線上，所以雙曲線的一條漸近線方程為y＝3x，
所以有＝3，即b＝3a，根據(jù)雙曲線中a，b，c的關(guān)系，
可以得c＝a，所以有e＝，
故選：A．
4．（5分）已知f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則y＝f（x）的解析式是（　?。?br />
A．f（x）＝sin（2x﹣） B．f（x）＝sin（2x）
C．f（x）＝sin（2x+） D．f（x）＝sin（x+）
【解答】解：由函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可得：
A＝1，T＝?＝+，解得ω＝2，
再把點(diǎn)（，1）代入函數(shù)的解析式，可得：1＝sin（2×+φ），即sin（+φ）＝1．
再由|φ|＜，可得：φ＝，
所以函數(shù)f（x）＝sin（2x+）．
故選：B．
5．（5分）公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”．如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖則輸出的值為（　?。?br /> （參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）

A．6 B．12 C．24 D．48
【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得：
n＝6，S＝3sin60°＝，
不滿足條件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，
不滿足條件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，
滿足條件S≥3.10，退出循環(huán)，輸出n的值為24．
故選：C．
6．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式an＝log2（n∈N*），則滿足不等式Sn＜﹣6的n的最小值是（　?。?br /> A．62 B．63 C．126 D．127
【解答】解：an＝log2（n∈N*），
可得前n項(xiàng)和為Sn＝log2+log2+…+log2＝log2（?…）＝log2，
由Sn＜﹣6，可得log2＜﹣6，
可得＜，
解得n＞126，
滿足不等式Sn＜﹣6的n的最小值是127．
故選：D．
7．（5分）設(shè)A，B，C為圓O上三點(diǎn)，且AB＝3，AC＝5，則?＝（　?。?br /> A．﹣8 B．﹣1 C．1 D．8
【解答】解：如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，OD，
∵O是△ABC外接圓的圓心，
∴＝（+），?＝0；
∴?＝（+）?＝?＝（+）?（﹣）＝（﹣）
＝×（52﹣32）＝8．
故選：D．

8．（5分）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（x+2），數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an+2，則f（an）＝（　?。?br /> A．0 B．0或1 C．﹣1或0 D．1或﹣1
【解答】解：∵f（x）＝f（x+2），所以f（x）函數(shù)周期為2，
∵數(shù)列{an}滿足Sn＝2an+2，∴a1＝﹣2，Sn﹣1＝2an﹣1+2，
∴an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，
∴{an}以﹣2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＝﹣2n，
∴f（an）＝f（﹣2n）＝f（0）＝0，
故選：A．
9．（5分）設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）＝，若b＜0，則關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）＝0的不同實(shí)根共有（　?。?br />
A．4個(gè) B．5個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)
【解答】解：y＝|lg|x﹣2||的大致圖象如圖所示，
而方程f2（x）+bf（x）＝0，即f（x）[f（x）+b]＝0，
則化成f（x）＝0或f（x）＝﹣b＞0（b＜0）兩個(gè)方程
如圖，f（x）＝0有2個(gè)根，f（x）＝﹣b有4個(gè)根，
再加上x＝2時(shí)，f（x）＝0一個(gè)根，綜合共有7個(gè)根，
故選：C．
10．（5分）一個(gè)圓錐被過頂點(diǎn)的平面截去了較少的一部分幾何體，余下的幾何體的三視圖如圖，則余下部分的幾何體的體積為（　?。?br />
A．+ B．+ C．+ D．+
【解答】解：由已知中的三視圖，圓錐母線l＝＝2，
圓錐的高h(yuǎn)＝＝2，
圓錐底面半徑為r＝＝2，
截去的底面弧的圓心角為120°，
底面剩余部分為S＝πr2+r2sin120°＝π+，
故幾何體的體積為：V＝Sh＝×（π+）×2＝+，
故選：D．
11．（5分）本周星期日下午1點(diǎn)至6點(diǎn)學(xué)校圖書館照常開放，甲、乙兩人計(jì)劃前去自習(xí)，其中甲連續(xù)自習(xí)2小時(shí)，乙連續(xù)自習(xí)3小時(shí)．假設(shè)這兩人各自隨機(jī)到達(dá)圖書館，則下午5點(diǎn)鐘時(shí)甲、乙兩人都在圖書館自習(xí)的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：據(jù)題意，甲、乙應(yīng)分別在下午4點(diǎn)、3點(diǎn)之前到達(dá)圖書館，設(shè)甲、乙到達(dá)圖書館的時(shí)間分別為x，y，則，所對(duì)應(yīng)的矩形區(qū)域的面積為6．若下午5鐘點(diǎn)時(shí)甲、乙兩人都在自習(xí)，則所對(duì)應(yīng)的正方形區(qū)域的面積為1，所以P＝．
故選：B．
12．（5分）設(shè)函數(shù)d（x）與函數(shù)y＝log2x關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．已知f（x）＝，若函數(shù)f（x）恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A．[）∪[2，+∞） B．[）∪[）
C．[） D．（]
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)d（x）與函數(shù)y＝log2x關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以d（x）＝2x；
設(shè)g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），x≥1，
h（x）＝2x﹣a，x＜1，
因?yàn)閒（x）恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，又因?yàn)閔（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，
故：①若g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，h（x）沒有零點(diǎn)，則得a≥2
②若g（x）和h（x）各有1個(gè)零點(diǎn)，則且得≤a＜1．
綜上，a∈[，1）∪[2，+∞）．
故選：A．
二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分．請(qǐng)把答案填在答題卷對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上．
13．（5分）已知圓C1：（x﹣a）2+y2＝1與圓C2：x2+y2﹣6x+5＝0外切，則a的值為　6或0?。?br /> 【解答】解：由圓的方程得 C1（a，0），C2（3，0），半徑分別為1和2，兩圓相外切，
∴|a﹣3|＝1+2，∴a＝6或0，
故答案為：6或0．
14．（5分）如果復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z+||＝2+i，那么z等于　?。?br /> 【解答】解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），代入z+||＝2+i，得
a+bi+＝2+i，
∴，解得：a＝，b＝1．∴z＝．
故答案為：．
15．（5分）若2a＝5b＝10，則等于　1?。?br /> 【解答】解：2a＝5b＝10，
∴a＝log210，b＝log510，∴＝lg2，＝lg5，∴＝+＝lg2+lg5＝1，
故答案為：1．
16．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞1．若f（4）＝5，則不等式f（3x2﹣x﹣2）＜3的解集為?。ī?，）?。?br /> 【解答】解：設(shè)x1＞x2，則x1﹣x2＞0，
f（x1﹣x2）＞1．
所以f（x1）﹣f（x2）＝f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）﹣1＞0，
即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）是增函數(shù)．
因?yàn)閒（4）＝5，即f（2）+f（2）﹣1＝5，所以f（2）＝3．
所以原不等式化為f（3x2﹣x﹣2）＜3等價(jià)為f（3x2﹣x﹣2）＜f（2），
則3x2﹣x﹣2＜2，即3x2﹣x﹣4＜0，即（x+1）（3x﹣4）＜0，得﹣1＜x＜，
故不等式的解集是（﹣1，）
故答案為：（﹣1，）
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（12分）已知函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx，a≠0，x∈R，f（x）的最大值是2，且在x＝處的切線與直線x﹣y＝0平行．
（1）求a、b的值；
（2）先將f（x）的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將其向右平移個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，已知g（）＝，α∈（），求cos2α的值．
【解答】解：（1）f′（x）＝acosx﹣bsinx，由已知有，解之得：
（2）由（1）有f（x）＝sinx+cosx＝2sin（x+）
因?yàn)閷（x）的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將其向右平移個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，
則g（x）＝2sin（2x﹣），
由g（）＝，α∈（），得sin（2α+）＝，且2α+∈（，π），
則cos（2α+）＝﹣，
cos2α＝cos[（2α+）﹣]＝cos（2α+）cos+sin（2α+）sin＝﹣＝．
18．（12分）如圖，已知三棱柱ABC﹣ABC側(cè)棱柱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面AA′C′C；
（2）設(shè)AB＝λAA′，當(dāng)λ為何值時(shí)，CN⊥平面A′MN，試證明你的結(jié)論．

【解答】解：（1）證明：設(shè)A′B′的中點(diǎn)為E，連接EM，EN，
∵點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)，∴NE∥A′C′，ME∥AA′，
又∵A′C′?平面ACC′A′，AA′?平面ACC′A′，
∴NE∥平面ACC′A′，ME∥平面ACC′A′，
∵NE∩ME＝E，∴面EMN∥面ACC′A′，
∵M(jìn)N?面EMN，∴MN∥面ACC′A′；
（2）連接BN，設(shè)AA′＝a，AB＝λAA′＝λa，
由題意知，BC＝，BN＝CN＝＝，
∵三棱柱ABC﹣A′B′C′側(cè)棱垂直于底面，∴面A′B′C′⊥面BB′C′C，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn)，
∴A′N⊥平面BB′C′C，∴CN⊥A′N，
要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，
∴CN2+BN2＝BC2，即，∴，
則時(shí)，CN⊥平面A′MN．

19．（12分）某地1～10歲男童年齡xi（歲）與身高的中位數(shù)yi（cm）（i＝1，2，…10）如表：
x（歲）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y（cm）
76.5
88.5
96.8
104.1
111.3
117.7
124
130
135.4
140.2

上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．

（xi）2
（yi）2
（xi）（yi）
112.45
82.50
3947.71
566.85
（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程（回歸方程系數(shù)精確到0.01）；
（2）某同學(xué)認(rèn)為，y＝px2+qx+r更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型，他求得的回歸方程是＝﹣0.30x2+10.17x+68.07．經(jīng)調(diào)查，該地11歲男童身高的中位數(shù)為145.3cm．與（1）中的線性回歸方程比較，哪個(gè)回歸方程的擬合效果更好？
（3）從6歲～10歲男童中每個(gè)年齡階段各挑選一位男童參加表演（假設(shè)該年齡段身高的中位數(shù)就是該男童的身高）．再從這5位男童中任挑選兩人表演“二重唱”，則“二重唱”男童身高滿足|yi﹣yj|≤6，（i，j＝6，7，8，9，10）的概率是多少？
參考公式：＝，＝
【解答】【解析】（1）因?yàn)椋剑?.5，＝112.45，（xi）2＝82.50，（xi）（yi）＝566.85，
∴＝＝＝6.87，＝＝112.45﹣6.87×5.5＝74.67，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為：＝6.87x+74.67．
（2）若y關(guān)于x的線性回歸方程是＝6.87x+74.67，所以x＝11時(shí)，＝150.24；
若回歸方程是＝﹣0.30x2+10.17x+68.07，所以x＝11時(shí)，＝143.64；
因?yàn)閨143.64﹣145.3|＝1.66＜|150.24﹣145.3|＝4.94，所以回歸方程＝0.30x2+10.17x+68.07擬合效果更好
（3）設(shè)6歲～10歲男童挑選的5位男童身高分別為a，b，c，d，e，則從中任挑選兩人表演“二重唱”有10種選法：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）；兩男童身高的中位數(shù)滿足|yi﹣yj|≤6，（i，j＝6，7，8，9，10）有3種選法，分別是（124，130），（130，135.4），（135.4，140.2），故概率是P（|yi﹣yj|≤6）＝
20．（12分）如圖，已知拋物線C：y2＝x和⊙M：（x﹣4）2+y2＝1，過拋物線C上一點(diǎn)H（x0，y0）（y0≥1）做兩條直線與⊙M相切于A、B兩點(diǎn)，分別交拋物線于E、F兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時(shí)，求直線EF的斜率；
（2）若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值．

【解答】解：（1）法一：∵當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時(shí)，點(diǎn)H（4，2），
∴kHE＝﹣kHF，
設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），
∴＝﹣，∴＝﹣，
∴y1+y2＝﹣2yH＝﹣4．（5分）
∴kEF＝＝＝＝﹣．（7分）
法二：∵當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時(shí)，點(diǎn)H（4，2），∴∠AHB＝60°，可得kHA＝，kHB＝﹣，
∴直線HA的方程為y＝x﹣4+2，聯(lián)立方程組，
得y2﹣y﹣4+2＝0，∵yE+2＝，∴yE＝﹣2，
xE＝．（5分）同理可得yF＝﹣﹣2，xF＝，
∴kEF＝﹣．（7分）
（Ⅲ）法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
∵kMA＝， ∴kHA＝，
∴直線HA的方程為（4﹣x1）x﹣y1y+4x1﹣15＝0，
同理，直線HB的方程為（4﹣x2）x﹣y2y+4x2﹣15＝0，
∴（4﹣x1）y02﹣y1y0+4x1﹣15＝0，（4﹣x2）y02﹣y2y0+4x2﹣15＝0，（9分）
∴直線AB的方程為（4﹣x）y02﹣yy0+4x﹣15＝0，
令x＝0，可得t＝4y0﹣，（y0≥1）， ∵t′＝4+＞0，
∴t關(guān)于y0的函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)y0＝1時(shí)，tmin＝﹣11．（12分）
法二：設(shè)點(diǎn)H（m2，m）（m≥1），HM2＝m4﹣7m2+16，HA2＝m4﹣7m2+15．
以H為圓心，HA為半徑的圓方程為（x﹣m2）2+（y﹣m）2＝m4﹣7m2+15，①
⊙M方程：（x﹣4）2+y2＝1．②
①﹣②得：直線AB的方程為（2x﹣m2﹣4）（4﹣m2）﹣（2y﹣m）m＝m4﹣7m2+14．（9分）
當(dāng)x＝0時(shí)，直線AB在y軸上的截距t＝4m﹣（m≥1），
∵t′＝4+＞0， ∴t關(guān)于m的函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)m＝1時(shí)，tmin＝﹣11．（12分）
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax2+bx+1在x＝3處的切線方程為y＝5x﹣8．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）＝kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的值；
（3）數(shù)列{an}滿足2a1＝f（2），an+1＝f（an），n∈N*，證明：
①an+1＞an＞1
②S＝＜2．
【解答】（1）解：f（x）＝ax2+bx+1，f′（x）＝2ax+b，
依題意，，即，
解得，∴f（x）＝x2﹣x+1；
（2）解：方程f（x）＝kex，即x2﹣x+1＝kex，
得k＝（x2﹣x+1）e﹣x，
記F（x）＝（x2﹣x+1）e﹣x，
則F′（x）＝（2x﹣1）e﹣x﹣（x2﹣x+1）e﹣x＝﹣（x2﹣3x+2）e﹣x
＝﹣（x﹣1）（x﹣2）e﹣x．
令F′（x）＝0，得x1＝1，x2＝2．
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，F(xiàn)（x）取極小值，當(dāng)x＝2時(shí)，F(xiàn)（x）取極大值．
可知當(dāng)k＝或k＝時(shí)，它們有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此方程f（x）＝kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根；
（3）證明：①2a1＝f（2）＝3，得＞1，又，
∴＞0，
∴an+1＞an＞1．
②由，得an+1﹣1＝an（an﹣1），
，
即．
∴＝
＝＝＜2．
請(qǐng)考生在第22～23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)．[選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]
22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）．
（1）以原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圓C上任意一點(diǎn)M（x，y），求△ABM面積的最大值．
【解答】解：（1）圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）
所以普通方程為（x﹣3）2+（y+4）2＝4．（2分），
x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2＝4，
化簡可得圓C的極坐標(biāo)方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21＝0．（5分）
（2）點(diǎn)M（x，y）到直線AB：x﹣y+2＝0的距離為（7分）
△ABM的面積
所以△ABM面積的最大值為（10分）
[選修4-5：不等式選講]
23．已知函數(shù)f（x）＝k﹣|x﹣4|，x∈R，且f（x+4）≥0的解集為[﹣1，1]．
（1）求k的值；
（2）若a，b，c是正實(shí)數(shù)，且，求證：．
【解答】（本小題滿分10分）選修4﹣5：不等式選講
（1）解：因?yàn)閒（x）＝k﹣|x﹣4|，所以f（x+4）≥0等價(jià)于|x|≤k，
由|x|≤k有解，得k≥0，且其解集為{x|﹣k≤x≤k}．
又f（x+4）≥0的解集為[﹣1，1]，故k＝1．…（5分）
（2）證明：由（1）知＝1，又a，b，c是正實(shí)數(shù)，
由均值不等式得：a+2b+3c＝（a+2b+3c）（）
＝3+≥3+2+2+2＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c時(shí)取等號(hào)，
所以≥1．…（10分）
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日期：2019/11/28 18:22:46；用戶：高中數(shù)學(xué)；郵箱：qgzsx@xyh.com；學(xué)號(hào)：30100772

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