2021-2022學(xué)年貴州省遵義市第四中學(xué)高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線的焦點坐標(biāo)是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦點坐標(biāo)公式求解.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的焦點在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為.故選：C2．命題：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（       ）A．x>0，使得x2－x+1≤0 B．x>0，使得x2－x+1>0C．x>0，都有x2－x+1>0 D．x≤0，都有x2－x+1>0【答案】B【分析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故選：B3．已知橢圓C：的一個焦點為（0，-2），則k的值為（       ）A．5 B．3 C．9 D．25【答案】A【分析】由題意可得焦點在軸上，由，可得k的值.【詳解】∵橢圓的一個焦點是，∴，∴，故選：A4．過點且垂直于直線的直線方程是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)所求直線垂直于直線，設(shè)其方程為，然后將點代入求解.【詳解】因為所求直線垂直于直線，所以設(shè)其方程為，又因為直線過點，所以，解得所以直線方程為：，故選：A.5．已知a、b是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，則下列命題正確的是（       ）A．若a∥α，a∥b ，則b∥α B．若a∥α，a∥β，則α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D．若a⊥α，b⊥α，則a∥b【答案】D【分析】根據(jù)空間線、面的位置關(guān)系有關(guān)定理，對四個選項逐一分析排除，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，直線有可能在平面內(nèi)，故A選項錯誤.對于B選項，兩個平面有可能相交，平行于它們的交線，故B選項錯誤.對于C選項，可能相交，故C選項錯誤.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知D選項正確.故選:D.6．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（       ）A．8 B．16 C． D．【答案】C【分析】畫出直觀圖，利用椎體體積公式進(jìn)行求解.【詳解】畫出直觀圖，為四棱錐A-BCDE，其中BC=4，BE=2，AE=2，且BE，AE，DE兩兩垂直，故體積為.故選：C7．過點（-2，1）的直線中，被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦最長的直線的方程是（       ）A．x+y+1=0 B．x+y-1=0 C．x-y+1=0 D．x-y-1=0【答案】A【分析】當(dāng)直線被圓截得的最弦長最大時，直線要經(jīng)過圓心，即圓心在直線上，然后根據(jù)兩點式方程可得所求．【詳解】由題意得，圓的方程為，∴圓心坐標(biāo)為．∵直線被圓截得的弦長最大，∴直線過圓心，又直線過點（-2，1），所以所求直線的方程為，即．故選：A．8．三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且異面直線AC與BD所成角為60°，E、F分別是棱DC、AB的中點，則EF和AC所成的角等于(       )A．30° B．30°或60° C．60° D．120°【答案】B【分析】取AD中點為G，連接GF、GE，易知△EFG為等腰三角形，且∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，據(jù)此可求∠FEG大小，從而得EF和AC所成的角的大?。?/span>【詳解】如圖，取AD中點為G，連接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，故∠EGF＝60°或120°．故EF和AC所成角為∠FEG或其補角，當(dāng)∠EGF＝60°時，∠FEG＝60°，當(dāng)∠EGF＝120°時，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°．故選：B．9．點F是拋物線的焦點，點，P為拋物線上一點，P不在直線AF上，則△PAF的周長的最小值是（       ）A．4 B．6 C． D．【答案】C【分析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化后求距離最值【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線為過點作準(zhǔn)線于點，故△PAF的周長為，，可知當(dāng)三點共線時周長最小，為故選：C10．在正三棱錐S - ABC中，AB =4， D、E分別是SA、AB的中點，且DE⊥CD，則三棱錐S - ABC外接球的體積為（       ）A．π B．π C．π D．π【答案】C【分析】取中點，連接，證明平面，得證，然后證明平面，得兩兩垂直，以為棱把三棱錐補成一個正方體，正方體的對角線是其外接球的直徑，而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球，由此計算可得．【詳解】取中點，連接，則，，，平面，所以平面，又平面，所以，D、E分別是SA、AB的中點，則，又，所以，，平面，所以平面，而平面，所以，，是正三棱錐，因此，因此可以為棱把三棱錐補成一個正方體，正方體的對角線是其外接球的直徑，而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球，由，得，所以所求外接球直徑為，半徑為，球體積為．故選：C11．已知點，則滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)有（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線條數(shù).【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因為，所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點睛】解答本題的關(guān)鍵是將滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線條數(shù)，從而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷出公切線條數(shù).12．已知F1、F2是雙曲線E ：( a >0， b >0）的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點P、Q．若，M為PQ的中點，且，則雙曲線的離心率為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題干條件得到，設(shè)出，利用雙曲線定義表達(dá)出其他邊長，得到方程，求出，從而得到，，利用勾股定理求出的關(guān)系，求出離心率.【詳解】因為M為PQ的中點，且，所以△為等腰三角形，即，因為，設(shè)，則，由雙曲線定義可知：，所以，則，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故選：D 二、填空題13．已知圓柱的軸截面是邊長為4的正方形，則圓柱的側(cè)面積為______________ .【答案】【分析】由圓柱軸截面的性質(zhì)知：圓柱體的高為，底面半徑為，根據(jù)圓柱體的側(cè)面積公式，即可求其側(cè)面積.【詳解】由圓柱的軸截面是邊長為4的正方形，∴圓柱體的高為，底面半徑為，∴圓柱的側(cè)面積為.故答案為：.14．圓關(guān)于直線的對稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．【答案】【分析】先將已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求得圓心坐標(biāo)(2,2)和半徑2，然后可根據(jù)直線的位置直接看出(2,2)點的對稱點，進(jìn)而寫出方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心(2,2),半徑為2，圓心(2,2)關(guān)于直線的對稱點為原點,所以所求對稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：15．一個四面體有五條棱長均為2，則該四面體的體積最大值為_______．【答案】1【分析】由已知中一個四面體有五條棱長都等于2，易得該四面體必然有兩個面為等邊三角形，根據(jù)棱錐的幾何特征，分析出當(dāng)這兩個平面垂直時，該四面體的體積最大，將相關(guān)幾何量代入棱錐體積公式，即可得到答案．【詳解】一個四面體有五條棱長都等于2，如下圖：設(shè)除PC外的棱均為2，設(shè)P到平面ABC距離為h，則三棱錐的體積V＝，∵是定值，∴當(dāng)P到平面ABC距離h最大時，三棱錐體積最大，故當(dāng)平面PAB⊥平面ABC時，三棱錐體積最大，此時h為等邊三角形PAB的AB邊上的高，則h，故三棱錐體積的最大值為：．故答案為：1．16．設(shè)過點K (-1，0）的直線l與拋物線C ： y2 =4x交于A 、B兩點，為拋物線的焦點，若|BF| =2|AF|，則cos ∠AFB =_______．【答案】【分析】根據(jù)已知設(shè)直線方程為與C聯(lián)立，結(jié)合|BF| =2|AF|，利用韋達(dá)定理計算可得點A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而利用求向量夾角余弦值的方法，即可得到答案.【詳解】令直線的方程為將直線方程代入批物線C: 的方程，得令且，所以由拋物線的定義知，由|BF| =2|AF|可知，，則，解得：，，則A，B兩點坐標(biāo)分別為，則則.故答案為： 三、解答題17．已知集合，．(1)若，求m的取值范圍；(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出，由得到，得到不等式組，求出m的取值范圍；（2）根據(jù)充分不必要條件得到是的真子集，分與兩種情況進(jìn)行求解，求得m的取值范圍.【詳解】(1)，解得：，故，因為，所以，故，解得：，所以m的取值范圍是.(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則是的真子集，當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，需要滿足：或，解得：綜上：m的取值范圍是18．已知直線l：x -y+2=0，一個圓的圓心C在x軸正半軸上，且該圓與直線l和y軸均相切．(1)求該圓的方程；(2)若直線x+ my -1=0與圓C交于 A、B兩點，且|AB|=，求m的值．【答案】(1)(2)0【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用題干條件得到方程，求出，從而求出該圓的方程；（2）利用點到直線距離公式及垂徑定理進(jìn)行求解.【詳解】(1)設(shè)圓心為，，則由題意得：，解得：或（舍去），故該圓的方程為(2)圓心到直線的距離為，由垂徑定理得：，解得：19．如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥AB，PA⊥AD，且E、F分別是AC、PB的中點．(1)證明：EF∥平面PCD；(2)求證：平面PBD⊥平面PAC．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)連結(jié)，證明EF∥PD即可；(2)證明BD⊥平面PAC即可．【詳解】(1)連結(jié)，則是的中點，又是的中點，，又平面，面，平面．(2)∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB、AD平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，∵BD平面ABCD，∴PA⊥BD，是菱形，，又，平面，又平面，∴平面平面﹒20．已知雙曲線C：( a >0， b >0）的離心率為，且雙曲線的實軸長為2．(1)求雙曲線 C 的方程；(2)已知直線x－y + m =0與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且線段AB中點在圓x2＋y2 =17上，求m的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由實軸長求得，再由離心率得，從而求得得雙曲線方程；（2）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理求得中點坐標(biāo)，代入圓方程可求得值．【詳解】(1)由已知，，又，所以，，所以雙曲線方程為；(2)由，得，恒成立，設(shè)，，中點為，所以，，，又在圓x2＋y2 =17上，所以，．21．如圖，在四棱錐P - ABCD中，PD =2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形， M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點．(1)證明：面PAQ//面MNC ；(2)求二面角M - NC - D的余弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解二面角的余弦值.【詳解】(1)因為M，N是DA，PD的中點，所以MN//AP，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因為四邊形ABCD為正方形，且Q為BC中點，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因為，所以面PAQ//面MNC(2)因為PD⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D為坐標(biāo)原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面NMC的法向量為，則，令得：，所以，平面NDC的法向量為，則，設(shè)二面角M - NC - D的大小為，顯然為銳角，則22．已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率e為，點在橢圓上．(1)求橢圓C的方程；(2)若A、B為橢圓的左右頂點，過點(1，0)的直線交橢圓于M、N兩點，設(shè)直線AM、BN的斜率分別為，求證為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于a、b、c的方程組求出a、b、c即可得橢圓方程；(2)設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線方程利用韋達(dá)定理即可求為定值．【詳解】(1)；(2)由橢圓方程可知，，，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立得，∴，，則，∵，，∴，把及代入可得：﹒

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