2021-2022學(xué)年黑龍江省鶴崗市第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知是公差為d的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和．若，則（       ）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】根據(jù)是公差為d的等差數(shù)列，且，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】因?yàn)?/span>是公差為d的等差數(shù)列，且，所以，解得，故選：C2．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（       ）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．3．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么當(dāng)時(shí)，的最大值為（       ）A．10 B．11 C．20 D．21【答案】C【分析】由題結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，即可判斷當(dāng)時(shí)，的最大值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，知，又，∴和異號(hào)．∵數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，∴數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，∴，，，，∴當(dāng)時(shí)的最大值為20．故選：C.4．若函數(shù)，則的值為（       ）A．12 B．16 C．18 D．24【答案】B【分析】求函數(shù)得導(dǎo)數(shù)，將x=-2代入，即可求得答案。【詳解】由函數(shù)得：，故，則，故選：B5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足、、成等差數(shù)列.其前項(xiàng)和為，且，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)，，成等差數(shù)列以及單調(diào)遞減，求出公比，再由即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式即可求出.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，得：，設(shè)的公比為，則，解得：或，又單調(diào)遞減， ，，解得：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，.故選：C．6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，對(duì)任意的都有，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，數(shù)列為常數(shù)列，令，可得，進(jìn)而可得，利用裂項(xiàng)求和即可求解.【詳解】數(shù)列滿足，對(duì)任意的都有，則有，可得數(shù)列為常數(shù)列，有，得，得，又由，所以．故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法（1）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用倒序相加法（2）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來(lái)求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些項(xiàng)可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和，形如類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解.7．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)R0是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).初始感染者傳染R0個(gè)人，為第一輪傳染，這R0個(gè)人中每人再傳染R0個(gè)人，為第二輪傳染，…….R0一般由疾病的感染周期?感染者與其他人的接觸頻率?每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定.假設(shè)新冠肺炎的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，設(shè)某一輪新增加的感染人數(shù)為M，則當(dāng)M>1000時(shí)需要的天數(shù)至少為（       ）參考數(shù)據(jù)：lg38≈1.58A．34 B．35 C．36 D．37【答案】D【解析】假設(shè)第輪感染人數(shù)為，根據(jù)條件構(gòu)造等比數(shù)列并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，求解出結(jié)果，從而可確定出所需要的天數(shù).【詳解】設(shè)第輪感染人數(shù)為，則數(shù)列為等比數(shù)列，其中，公比為，所以，解得，而每輪感染周期為7天，所以需要的天數(shù)至少為．故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：（1）理解題意構(gòu)造合適的等比數(shù)列；（2）對(duì)數(shù)的計(jì)算.8．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由圖像分析出的正負(fù)，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí), ;當(dāng)x∈(0,2)時(shí), .因?yàn)?/span>可化為或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C 二、多選題9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（       ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求解判斷.【詳解】A. 因?yàn)?/span>，所以，故正確；B.因?yàn)?/span>，所以，故錯(cuò)誤；C. 因?yàn)?/span>，所以，故正確；D. 因?yàn)?/span>，所以，故正確.故選：ACD10．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（       ）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】AB【分析】由題設(shè)有，根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷B，并寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，應(yīng)用分組求和求，即可判斷A、C、D.【詳解】∵，可得，∴數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；又，則，∴，C錯(cuò)誤；則，A正確；∴，D錯(cuò)誤．故選：AB．11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的（       ）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且，，則【答案】ABC【分析】利用并結(jié)合等差等比數(shù)列的定義即可判斷選項(xiàng)A，B；根據(jù)等差求和公式和等差數(shù)列性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)C；舉反例時(shí)，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由，得Sn﹣1=（n﹣1）2+2(n-1)=n2-1，兩式相減得an=Sn﹣Sn﹣1=，又當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=12+2=3，滿足上式，所以an=，故是等差數(shù)列，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由，得，兩式相減得，又，滿足上式，所以，故，即是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由是等差數(shù)列，得，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若等比數(shù)列的公比，則，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．等比數(shù)列的公比為，且滿足，，．記，則下列結(jié)論正確的是（       ）A． B．C． D．使成立的最小自然數(shù)等于2021【答案】AD【分析】求得q的取值范圍判斷選項(xiàng)A；求得與1的關(guān)系判斷選項(xiàng)B；求得與的大小關(guān)系判斷選項(xiàng)C；求得使成立的最小自然數(shù)判斷選項(xiàng)D.【詳解】由，可得①或②由①得，又，則，由②得，，又，則，又，則，則數(shù)列為遞增等比數(shù)列.這與，矛盾.舍去.綜上，可得.選項(xiàng)A判斷正確；，又，則.選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；又?jǐn)?shù)列中，，，，則有，則.選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤.，則使成立的最小自然數(shù)等于2021.選項(xiàng)D判斷正確.故選：AD 三、填空題13．已知函數(shù)，則__________．【答案】10【分析】求導(dǎo)，根據(jù)，利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，，，，．故答案為：1014．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式為______．【答案】【分析】根據(jù)題意求出的前3項(xiàng)，根據(jù)是等比數(shù)列求出r即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴，解得，∴等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比q＝3，∴.故答案為：.15．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是________．【答案】，【分析】求導(dǎo)后，令即可解得所求的增區(qū)間.【詳解】由題意得：定義域?yàn)?/span>，，令，解得：或，的單調(diào)增區(qū)間為，.故答案為：，.16．已知函數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，，，則______．【答案】【分析】可證明，由是等比數(shù)列，可得，即，設(shè)，倒序相加即得解【詳解】∵，∴．∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，∴．設(shè)，①則，②①＋②，得，∴．故答案為： 四、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列求和公式可求得.【詳解】(1)解：由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足，，．(2)解：由（1）知，，則且，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，．18．已知數(shù)列，，，且對(duì)任意，都有，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，得到，再利用等差數(shù)列的定義求解；（2）由（1）得到，再分n為偶數(shù)和奇數(shù)，利用分組求和法求解.【詳解】(1)解：∵，∴，∴數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則，又，∴．(2)∵，由（1）知，∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，，；∴．19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）首先求出，再求出導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)分類(lèi)討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】(1)解:當(dāng)時(shí)，，則，又，設(shè)所求切線l的斜率為k，則，則切線l的方程為：，化簡(jiǎn)即得：．(2)解：因?yàn)?/span>，其定義域?yàn)?/span>，，①若，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．②若，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；③若，則，在單調(diào)遞減④若，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和．20．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求，并證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）由錯(cuò)位相減法求得和，再由的單調(diào)性可證得不等式成立．【詳解】(1)由得   又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.(2)由（1）的結(jié)論有               ①   ②①②得：又為遞增數(shù)列，.21．已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）化簡(jiǎn)數(shù)列的遞推公式，得，進(jìn)而可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)法，求解，列出不等式，即求.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，∴，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故，又由（），當(dāng)時(shí)，也適合，所以.(2)∵，∴，又∵對(duì)任意的，不等式恒成立，，∴，解得或.即所求實(shí)數(shù)的范圍是或.22．已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為點(diǎn)，若不過(guò)點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于，兩點(diǎn).若，的橫坐標(biāo)之積是2，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出關(guān)于a，b的方程求解作答.（2）設(shè)出直線l的方程及點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)并表示出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再聯(lián)立l與E的方程，借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.【詳解】(1)依題意，，橢圓E方程為：，又橢圓過(guò)，于是有，解得，，所以橢圓的方程為.(2)由（1）知，依題意，設(shè)直線的方程為，，，直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由消去y并整理得，，，即，，，因此，，即，解得，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，所以直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與圓錐曲線相交的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問(wèn)題.

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