成都石室中學(xué)2021～2022學(xué)年度下期高2022屆“三診模擬”理科數(shù)學(xué)（全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．如果復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為（    ）A．   B．1   C．2   D．1或 2．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程為，則（    ）x456789y5.03.50.51.5A．，   B．，   C．，   D．， 3．從集合的所有子集中任取一個(gè)，這個(gè)集合恰是集合的子集的概率是（    ）A．   B．   C．   D．4．若點(diǎn)在兩條平行直線與之間，則整數(shù)b的值為（    ）A．   B．4   C．   D．55．設(shè)為指數(shù)函數(shù)（且），函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.在，，，四點(diǎn)中，可能是函數(shù)與的圖象的公共點(diǎn)的有（    ）A．0個(gè)   B．1個(gè)   C．2個(gè)   D．3個(gè)6．已知直線l和平面，滿足，.在，，這三個(gè)關(guān)系中，以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論所構(gòu)成的命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（    ）A．0   B．1   C．2   D．37．已知，實(shí)數(shù)滿足對(duì)于任意的，都有，若，則實(shí)數(shù)a的值為（    ）A．   B．3   C．   D．8．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，圓心為C，則過(guò)點(diǎn)A，B，C的圓的方程是（    ）A．     B．C．     D． 9．在中，，則的形狀一定是（    ）A．直角三角形   B．等腰三角形   C．等邊三角形   D．等腰直角三角形 10．在中，，則以A，B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)C的雙曲線的離心率為（    ）A．   B．   C．   D．11．已知，且，則的最小值是（    ）A．49   B．50   C．51   D．5212．如圖1，在中，，，D為AC中點(diǎn)．將沿BD折起，使得，如圖2所示，則二面角的余弦值為（    ）A．   B．   C．   D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件則的最大值為______.14．在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為______.15．為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，在全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為10，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為______.16．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且直線與的圖象有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程成演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求使得成立的最小正整數(shù)n的值.18．（本小題滿分12分）2021年某地在全國(guó)志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊(cè)登記志愿者8萬(wàn)多人，2020年7月份以來(lái)，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開(kāi)展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過(guò)150萬(wàn)小時(shí)，為了了解此地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.（Ⅰ）估計(jì)這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表）；（Ⅱ）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長(zhǎng)X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且.?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；ⅱ）從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)10小時(shí)的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0.001），以及Z的數(shù)學(xué)期望（結(jié)果精確到0.01）.參考數(shù)據(jù)：，，，，.若，則，，.19．（本小題滿分12分）在①，②，③，這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.如圖，在五面體ABCDE中，已知______，，，且，.（Ⅰ）求證：平面平面ABC；（Ⅱ）線段BC上是否存在一點(diǎn)F，使得平面AEF與平面ABE的夾角的余弦值等于？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.20．（本小題滿分12分）（Ⅰ）求證：曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且這個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)；（Ⅱ）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．（本小題滿分12分）已知點(diǎn)，，，，動(dòng)點(diǎn)S，T滿足，，直線MS與NT交于一點(diǎn)P．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，G為線段AB上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，與曲線C交于E，F兩點(diǎn).若的值與點(diǎn)G的位置無(wú)關(guān)，求證：.（二）選考題：共10分.考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分.22．［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值.23．［選修4—5：不等式選講］（本小題滿分10分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，n，且，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.答案及解析1．A【解析】由題意，知，解得或.但當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)，因此.故選A.2．B【解析】作出散點(diǎn)圖易知，回歸直線的斜率，截距.故選B.3．C【解析】集合的子集有（個(gè)），集合的子集有（個(gè)），因此所選集合恰為集合的子集的概率為.故選C.4．B【解析】直線與兩條平行直線和分別交于點(diǎn)及（5，5），因此.由b是整數(shù)，知.故選B.5．B【解析】由題意，知.逐一代入驗(yàn)證可知，僅點(diǎn)N可能同時(shí)在兩條曲線上.故選B.6．C【解析】當(dāng)且時(shí)，成立；當(dāng)且時(shí)，不一定成立；當(dāng)且時(shí)，結(jié)合，得成立.故選C.7．D【解析】由題意及正弦函數(shù)的圖象可知，是的一個(gè)極大值點(diǎn)，由，得.故選D.8．A【解析】由幾何關(guān)系易知，過(guò)點(diǎn)A，B，C的圓以PC為直徑，其圓心為（0，1），直徑為，故所求圓的方程為.故選A.9．B【解析】由題意，知，故.結(jié)合可知，，即，所以一定是等腰三角形.故選B.10．D【解析】設(shè)，則，，得，故，因此，所以雙曲線的離心率.故選D.11．B【解析】由已知，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.因此，的最小值是50.故選B.12．A【解析】由題意易知，為正三角形.如圖，設(shè)點(diǎn)A折疊前的位置為點(diǎn)，則與都是正三角形.設(shè)，由，得.又由，，得，則，即四面體為正四面體.過(guò)點(diǎn)A作平面于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是正三角形的中心.取BD的中點(diǎn)M，連接OM，則，，所以為二面角的平面角，且.由二面角與二面角互補(bǔ)可知，二面角的余弦值為.故選A.13．4【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.由圖易知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值為4.14．7【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，取及可知，的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為1.項(xiàng)的系數(shù)為4.因此，的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為.15．13【解析】設(shè)樣木數(shù)據(jù)由小到大依次為，，，，，記，則，.由于且可知，.若，則，得，，，中要么有1個(gè)是4其余3個(gè)是0，要么4個(gè)都是1，這與樣本數(shù)據(jù)互不相同矛盾.若，則，取，，，滿足題意.若，則，，，，只有，，，滿足，但此時(shí)不滿足.若，則，，，，不滿足.綜上可知，，，即樣本數(shù)據(jù)的最大值為13.16．【解析】由已知可得，是的兩個(gè)零點(diǎn)，因此3和5也是的零點(diǎn)，所以.由題意可知，關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令，則關(guān)于t的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，且關(guān)于x的方程與各有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，因此，.令，則解得，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是.17．解：（Ⅰ）由題意，得，即，；，即，將代入并整理得，.當(dāng)時(shí)，，即.因此，當(dāng)時(shí)，.綜上可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，則，由，得.注意到隨著n的增大而增大，且，，因此所求n的最小值為63.18．解：（Ⅰ），.（Ⅱ）?。┯深}意并結(jié)合（Ⅰ）可知，，，所以，所以 .ⅱ）由?。┛芍?/span>，所以，所以，.19．（Ⅰ）證明：如圖，取BC中點(diǎn)O，AB中點(diǎn)M，連接DO，MO，EM，則MO為的中位線，所以且.又，所以四邊形DEMO為平行四邊形.由，可知，.由，O為BC中點(diǎn)，可知，且.因?yàn)?/span>，，，所以平面DOM.又平面DOM，所以.若選①，則由，可知，.又，所以平面ABC.若選②，則由，，得.又所以平面BCD.又平面BCD，所以，所以四邊形DEMO為矩形，所以.又，，所以平面ABC.若選③，則由，M為AB中點(diǎn)，得.又，所以平面ABC.又平面ABE，所以平面平面ABC.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，OD，OB，OM兩兩垂直，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，得，.易知平面ABE的一個(gè)法向量為.設(shè)，則.設(shè)平面AEF的法向量為，則即令，得平面AEF的一個(gè)法向量．由題意，得，解得或（舍去），所以.20．（Ⅰ）證明：設(shè)兩條曲線交于點(diǎn)，則，即．設(shè)，則對(duì)恒成立，所以在上單調(diào)遞增.注意到，.所以有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).因此，曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且這個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi).（Ⅱ）解：由題意，得對(duì)任意恒成立.設(shè)，則.由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故只需.由，得.設(shè)，則，.由可知，在上單調(diào)遞增.又出（1）可知，，所以，，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.21．（Ⅰ）解：由題意，知，從而，則.設(shè)，則，.由M，P，S三點(diǎn)共線，得.由，得，從而.出N，P，T三點(diǎn)共線，得，消去得，整理得，即曲線C的方程為.（Ⅱ）證明：由題意并結(jié)合（Ⅰ）易知（不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限），，.設(shè)點(diǎn)，其中，則，，所以.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)，，故不為定值.若直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程為.將直線的方程代入曲線C的方程化簡(jiǎn)、整理，得.設(shè)，，則，， 所以，故.因?yàn)?/span>的值與m的值無(wú)關(guān)，所以，解得，所以，所以G是EF的中點(diǎn)，即.22．解：（Ⅰ）對(duì)于曲線C，由且可知，曲線C的普通方程為.對(duì)于直線l，利用可知，直線l的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）設(shè)為曲線C上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).因此，曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為.23．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，解得，即.當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，由，解得，即.綜上所述，不等式的解集為.（Ⅱ）由柯西不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，因此的最大值為5.因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.要使恒成立，只需成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

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