2022屆陜西省西安中學(xué)高三下學(xué)期五模數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解得集合，再求即可得到其元素個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?/span>，，即，故，解得，即，則，其包含3個(gè)元素.故選：A.2．在空間中，已知命題的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等且不為零，命題：平面平面，則是的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由線面平行的性質(zhì)結(jié)合平面與平面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】當(dāng)平面平面時(shí)，的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等且不為零；當(dāng)的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等且不為零時(shí)，平面可能與平面相交，例如當(dāng)平面且的中點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等且不為零，但平面與平面相交.即是的必要不充分條件故選：B3．西安中學(xué)抗疫志愿者小分隊(duì)中有3名男同學(xué)，2名女同學(xué)，現(xiàn)隨機(jī)選派2名同學(xué)前往社區(qū)參加志愿服務(wù)活動(dòng)，在已知抽取的1名志愿者是女同學(xué)的情況下，2名都是女同學(xué)的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用條件概率求解.【詳解】解：從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)，隨機(jī)選派2名共有種方法，含有1名志愿者是女同學(xué)有種方法，所以含有1名志愿者是女同學(xué)的概率是，2名志愿者都是女同學(xué)有種方法，所以2名志愿者都是女同學(xué)的概率是，所以在抽取的1名志愿者是女同學(xué)的情況下，2名都是女同學(xué)的概率是，故選：C4．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù).當(dāng)基本傳染數(shù)高于1時(shí)，每個(gè)感染者平均會(huì)感染1個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染這種疾病的人數(shù)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng).當(dāng)基本傳染數(shù)持續(xù)低于1時(shí)，疫情才可能逐漸消散.接種新冠疫苗是預(yù)防新冠病毒感染?降低新冠肺炎發(fā)病率和重癥率的有效手段.已知新冠病毒的基本傳染數(shù)，若1個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到個(gè)新人，這人中有個(gè)人接種過(guò)疫苗（稱為接種率），那么1個(gè)感染者新的傳染人數(shù)為，為了有效控制新冠疫情（使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過(guò)1），我國(guó)疫苗的接種率至少為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件建立不等式關(guān)系，然后將代入化簡(jiǎn)即可求出的范圍【詳解】為了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過(guò)1，只需，即，所以，由題意得，所以，，得，所以疫苗的接種率至少為，故選：A5．設(shè)滿足約束條件，則的最大值是（       ）A．0 B．4 C．8 D．10【答案】B【分析】作出可行域，利用數(shù)形結(jié)合求出最大值.【詳解】作出可行域如圖所示：把轉(zhuǎn)化為直線，平移直線經(jīng)過(guò)時(shí)，縱截距最大，所以最大.故選：B6．當(dāng)時(shí)，取得最大值，則（       ）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，求得其取得最大值時(shí)的取值情況，再其正切值即可.【詳解】因?yàn)?/span>，故當(dāng)取得最大值時(shí)，若，則，則.故選：D.7．在直角三角形中，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（       ）A．12 B．8 C． D．6【答案】B【分析】在直角三角形中，易得，作于點(diǎn)，如圖，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，設(shè)，則，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】解：直角三角形中，，所以，所以，作于點(diǎn)，則，如圖，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，設(shè)，則，，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值8.故選：B.8．英國(guó)著名數(shù)學(xué)家布魯克-泰勒以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無(wú)窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世.在數(shù)學(xué)中，泰勒級(jí)數(shù)用無(wú)限連加式來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，并建立了如下指數(shù)函數(shù)公式：，其中，則的近似值為（精確到）（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用題設(shè)泰勒展開式可得 , 隨著的增大，數(shù)列遞減且靠后各項(xiàng)無(wú)限接近于，即可估計(jì)的近似值.【詳解】計(jì)算前四項(xiàng)，在千分位上四舍五入由題意知: 故選：C9．的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，則的面積的最大值（       ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】利用余弦定理求出和，利用面積公式和基本不等式求出的面積的最大值.【詳解】在中，由余弦定理，可化為.因?yàn)?/span>,所以.由余弦定理，可化為：，解得：（a=0舍去）.因?yàn)?/span>，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.所以的面積.故選：B10．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，又稱2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來(lái)源，運(yùn)用中國(guó)書法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊(yùn)與國(guó)際化的現(xiàn)代風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出新時(shí)代的中國(guó)新形象?新夢(mèng)想.會(huì)徽?qǐng)D形上半部分展現(xiàn)滑冰運(yùn)動(dòng)員的造型，下半部分表現(xiàn)滑雪運(yùn)動(dòng)員的英姿.中間舞動(dòng)的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒?賽場(chǎng)?冰雪滑道和節(jié)日飄舞的絲帶，下部為奧運(yùn)五環(huán)，不僅象征五大洲的團(tuán)結(jié)，而且強(qiáng)調(diào)所有參賽運(yùn)動(dòng)員應(yīng)以公正?坦誠(chéng)的運(yùn)動(dòng)員精神在比賽場(chǎng)上相見.其中奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距按以下比例（如圖）：若圓半徑均為12，則相鄰圓圓心水平距離為26，兩排圓圓心垂直距離為11，設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為O1，O2，O3，O4，O5，若雙曲線C以O1，O3為焦點(diǎn)?以直線O2O4為一條漸近線，則C的離心率為（       ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖形可得漸近線斜率，再根據(jù)公式可得.【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，過(guò)向x軸引垂線，垂足為A，易知，故選：A11．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖像，則方程在上實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（       ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，由特殊點(diǎn)坐標(biāo)求出，可得函數(shù)的解析式．再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律求出的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)解得即可．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)，，，的部分圖象，可得，．所以， 結(jié)合五點(diǎn)法作圖，，，因?yàn)?/span>，，故．再把點(diǎn)代入，可得，即，，所以．現(xiàn)將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，因?yàn)?/span>，即，所以或，解得或，因?yàn)?/span>，所以或或或或或，故方程在上實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為個(gè)；故選：B12．已知函數(shù)，若不等式恒成立，則a的最大值為（       ）A．1 B． C．2 D．e【答案】A【分析】先判斷出.利用同構(gòu)，把轉(zhuǎn)化為（），利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最小值，即可得到a的最大值.【詳解】要使不等式恒成立，只需.函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.因?yàn)?/span>，所以令，則.對(duì)于，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.對(duì)于（）. .令，解得：；令，解得：.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以 ，即.所以=1.故選：A【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍. 二、填空題13．拋物線的準(zhǔn)線方程是___________________.【答案】【分析】將化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用拋物線的性質(zhì)求解即可．【詳解】由得：，所以，即：所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．甲?乙?丙?丁四人對(duì)復(fù)數(shù)的陳述如下（為虛數(shù)單位）：甲：；乙：；丙：，在甲?乙?丙?丁四人陳述中，有且只有兩個(gè)人的陳述正確，則___________.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合邏輯推理得出答案.【詳解】設(shè)，則對(duì)于甲：，；對(duì)于乙：對(duì)于丙：；對(duì)于?。?/span>，則.甲乙丙中任意兩個(gè)都可推出第三個(gè)正確，甲與丁矛盾，丙與丁矛盾，因?yàn)樗娜岁愂鲋?，有且只有兩個(gè)人的陳述正確，所以乙和丁的陳述正確，即，故故答案為：15．已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)___________.【答案】1【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】由偶函數(shù)得，即對(duì)恒成立整理得，故故答案為：116．正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為___________.【答案】或3【分析】由正四面體的性質(zhì)，利用外接球半徑與體高、底面外接圓半徑的關(guān)系求，應(yīng)用等體積法求內(nèi)切球半徑為，即可得答案.【詳解】令正四面體的棱長(zhǎng)為3，內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，所以體高，底面外接圓半徑為，則，可得，而，又，故，所以.故答案為： 三、解答題17．隨著2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦，吉祥物“冰墩墩”成為現(xiàn)象級(jí)“頂流”，憨態(tài)可掬的大熊貓?zhí)字鈿ぃ?/span>“萌殺”萬(wàn)千網(wǎng)友.奧林匹克官方旗艦店“冰墩墩”一再售罄，各冬奧官方特許商店外排起長(zhǎng)隊(duì)，“一墩難求”，成了冬奧賽場(chǎng)外的另一場(chǎng)冰雪浪漫和全民狂歡.某商家將6款基礎(chǔ)款的冰墩墩，隨機(jī)選取3個(gè)放在一起組成一個(gè)盲盒進(jìn)行售賣.該店2021年1月到11月盲盒的月銷售量如下表所示：月份數(shù)x1234567891011月銷售量y/萬(wàn)個(gè)2.63.95.77.37.79.91113.81516.117(1)求出月銷售量y（萬(wàn)個(gè)）與月份數(shù)x的回歸方程，并頂測(cè)12月份的銷量；(2)小明同學(xué)想通過(guò)購(gòu)買盲盒集齊6款基礎(chǔ)款冰墩墩，為此他購(gòu)買了2個(gè)盲盒，求小明至少集齊5款基礎(chǔ)款冰墩墩的概率.參考公式及數(shù)據(jù)：回歸直線的方程是，則..【答案】(1)萬(wàn)個(gè)(2)【分析】（1）根據(jù)公式求出和可得月銷售量y（萬(wàn)個(gè)）與月份數(shù)x的回歸方程，根據(jù)此方程可求出12月份的銷量；（2）利用古典概型的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】(1)（1）,,，，所以，所以月銷售量y（萬(wàn)個(gè)）與月份數(shù)x的回歸方程為.當(dāng)時(shí)，萬(wàn)個(gè).故12月份的銷量為萬(wàn)個(gè).(2)第一個(gè)盲盒中有種，第二個(gè)盲盒中有種，所以兩個(gè)盲盒中共有種，兩個(gè)盲盒中恰好集齊5款的有種，恰好集齊6款的有種，所以兩個(gè)盲盒中至少集齊5款的有種，所以小明至少集齊5款基礎(chǔ)款冰墩墩的概率為.18．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)若，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由條件解出的通項(xiàng)公式，得出后求和（2）由錯(cuò)位相減法求后證明【詳解】(1)設(shè)數(shù)列公差為，由題意，又，解得故，，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列(2)兩式相減得故，得證19．如圖1，在梯形中，于E，且，將梯形沿折疊成如圖2所示的幾何體，,為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)《九章算術(shù)》中將四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”，若圖1中且，判斷三棱錐是否為“鱉臑”，并說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見解析(2)是，理由見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，連，，通過(guò)證明四邊形為平行四邊形得到，再根據(jù)直線與平面平行的判定定理可證結(jié)論；（2）先求出，然后通過(guò)計(jì)算可知三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形，從而可得答案.【詳解】(1)取的中點(diǎn)，連，，如圖：因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.(2)三棱錐為“鱉臑”，理由如下：若圖1中且，則，則，即，結(jié)合圖形可得，所以，所以，在圖②中，在三角形中，，所以，所以，即三角形為直角三角形，由題意可知，即三角形為直角三角形，所以，由題意知，，即三角形為直角三角形，所以，所以，所以，即三角形為直角三角形，根據(jù)題意可知，三棱錐為“鱉臑”.20．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性與極值；（2）證明：當(dāng)且時(shí)，不等式恒成立.【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析.【分析】(1)由題知,對(duì)求導(dǎo)后,根據(jù)的正負(fù),分別討論的單調(diào)性與極值即可;(2)設(shè),對(duì)求導(dǎo),根據(jù)的正負(fù)研究的單調(diào)性,從而得出其最值,證明出,即可證明題設(shè)不等式.【詳解】(1),,則,①當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,無(wú)極值;②當(dāng)時(shí),令,令,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因此有極小值,無(wú)極大值.(2)當(dāng)時(shí),設(shè),則,,設(shè),則,因此在上單調(diào)遞增,即在上單調(diào)遞增,所以,所以在上單調(diào)遞增,所以,即且時(shí),不等式恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查了不等式恒成立問(wèn)題的證明,屬于中檔題.解決含參函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題時(shí),常用分類討論法;遇見恒成立問(wèn)題時(shí),常將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題求解.21．在平面直角坐標(biāo)系中，用表示直線與直線的斜率之積，已知，，記點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)為軌跡上的兩點(diǎn)，，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由斜率公式結(jié)合得出軌跡的方程；（2）設(shè)直線的方程為：，并與軌跡的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得出，進(jìn)而得出直線恒過(guò)，再由三角形面積公式結(jié)合基本不等式得出面積的最大值.【詳解】(1)，，設(shè)，整理得，故軌跡的方程為(2)設(shè)，因?yàn)?/span>，所以直線的斜率不為設(shè)直線的方程為：聯(lián)立可得：，聯(lián)立可得令可得：所以，解得或（舍）故直線恒過(guò)，此時(shí)，的面積當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的面積的最大值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題二時(shí)，關(guān)鍵是聯(lián)立直線和軌跡的方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及斜率公式得出，進(jìn)而得出直線恒過(guò).22．已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.(1)若在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，判斷點(diǎn)P與直線的位置關(guān)系；(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線的距離的最小值與最大值.【答案】(1)點(diǎn)P不在直線上；(2)最小值為，最大值為.【分析】（1）先把直線和點(diǎn)P轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，直接代入即可判斷；（2）由，利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)求最值.【詳解】(1)因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），所以消去t得：.因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，代入直線，不成立，所以點(diǎn)P不在直線上.(2)因?yàn)辄c(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以.所以點(diǎn)Q到直線的距離為.所以當(dāng)時(shí)，最大；當(dāng)時(shí)，最小.所以點(diǎn)Q到直線的距離的最小值為，最大值為.23．已知函數(shù)，，且的解集為.（1）求的值；（2）若都為正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】(1)由題設(shè)條件得出，解得，根據(jù)的解集求出的值；(2)將1代換為，利用基本不等式證明不等式即可.【詳解】（1）由得得，因?yàn)?/span>的解集為，所以.（2）由（1）得，∴.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式證明不等式，注意“1”的代換，屬于中檔題.

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