?2020-2021學年浙江省溫州市共美聯(lián)盟高二（下）期末數(shù)學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1．（4分）函數(shù)y＝log2（﹣2x+1）的定義域為（　?。?br /> A． B． C． D．
2．（4分）設x、y∈R，則“x≥y”是“|x|≥y”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（4分）已知平面α與β平面為兩個不同的平面，m與n為兩條不重合的直線，則下列說法正確的是（　　）
A．若α∥β，m∥α，則m∥β B．若m∥n，n∥α，則m∥α
C．若m⊥α，α∥β，則m⊥β D．若α⊥β，m⊥α，則m⊥β
4．（4分）設變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z＝x+2y的最小值為（　?。?br /> A．1 B．2 C．5 D．7
5．（4分）若tanθ，則等于（　?。?br /> A． B． C． D．
6．（4分）圓O1：x2+y2﹣2x+6y＝0和圓O2：x2+y2﹣6x＝0的公共弦AB的垂直平分線的方程是（　?。?br /> A．2x﹣3y+3＝0 B．2x﹣3y﹣5＝0 C．3x﹣2y﹣9＝0 D．3x﹣2y+7＝0
7．（4分）在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，則（　?。?br /> A．35 B．﹣35 C．25 D．﹣25
8．（4分）在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E分別是BC，AB的中點，AB＝AP＝4，AC＝3，設異面直線PC與DE所成角為α，PD與平面ABC所成角為β，二面角P﹣BC﹣A為γ，則（　?。?br /> A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜β＜α
9．（4分）設點P是雙曲線1（a＞0，b＞0）與圓x2+y2＝a2+b2在第一象限的交點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線的離心率為（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）若不等式（ax﹣2）（|x|﹣b）≥0對任意的x∈（0，+∞）恒成立，則（　?。?br /> A．a(chǎn)＞0， B．a(chǎn)＞0，ab＝2 C．a(chǎn)＞0，a＝2b D．a(chǎn)＞0，b＝2a
二、填空題：本題共7小題，共36分
11．（6分）設集合A＝{1，3}，B＝{a+2，5}，A∩B＝{3}，則a＝　 　，A∪B＝　 ?。?br /> 12．（6分）已知雙曲線C：1的一個焦點為（0，3），則雙曲線C的離心率為 　 　，漸近線方程為 　 ?。?br /> 13．（6分）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為 　 　，最長棱的長度為 　 ?。?br />
14．（6分）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C所對的邊，已知a＝3，c，sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，則A＝　 　，S△ABC＝　 ?。?br /> 15．（4分）在數(shù)列{an}中，an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，則數(shù)列{an}的前20項之和為 　 ?。?br /> 16．（4分）若函數(shù)f（x）＝||x||在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值為M，最小值為m，則M﹣m＝　 ?。?br /> 17．（4分）已知非零平面向量，，滿足，的夾角為，與的夾角為，||＝2，||＝2，則?的取值范圍是 　 　．
三、解答題：本題共5小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
18．（14分）已知函數(shù)f（x）＝2sinx?[cos（x）+cosx]．
（1）求；
（2）當時，求f（x）的值域．
19．（14分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面是邊長為2的正方形，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，PB＝2，E、O分別為PA，BD中點．
（1）求證：OE∥面PDC；
（2）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．

20．（14分）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，前n項和為Sn，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足：2Sn＝bn+an（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式：
（2）設cn，求證：c1+c2+?+cn＜2．
21．（16分）過拋物線C：y2＝4x上一點P（除原點外）作拋物線C的切線l交y軸于點M，過M點作垂直于l的直線交拋物線C于A、B兩點．
（1）若P點的坐標為（1，2），求點M坐標；
（2）若x軸上有一點D（4，0），連接PD延長交拋物線C于Q點，求的最小值．


2020-2021學年浙江省溫州市共美聯(lián)盟高二（下）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1．（4分）函數(shù)y＝log2（﹣2x+1）的定義域為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則﹣2x+1＞0，解得，
∴原函數(shù)的定義域為：．
故選：D．
2．（4分）設x、y∈R，則“x≥y”是“|x|≥y”的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：①若x≥y，∵|x|≥x，∴|x|≥y成立，∴充分性成立，
②當x＝﹣3，y＝2時，|x|≥y成立，但x≥y不成立，∴必要性不成立，
∴x≥y是|x|≥y的充分不必要條件，
故選：A．
3．（4分）已知平面α與β平面為兩個不同的平面，m與n為兩條不重合的直線，則下列說法正確的是（　?。?br /> A．若α∥β，m∥α，則m∥β B．若m∥n，n∥α，則m∥α
C．若m⊥α，α∥β，則m⊥β D．若α⊥β，m⊥α，則m⊥β
【解答】解：若α∥β，m∥α，則m∥β或m?β，故A錯誤；
若m∥n，n∥α，則m∥α或m?α，故B錯誤；
若m⊥α，α∥β，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得，m⊥β，故C正確；
若α⊥β，m⊥α，則m∥β或m?β，故D錯誤．
故選：C．
4．（4分）設變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z＝x+2y的最小值為（　　）
A．1 B．2 C．5 D．7
【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

由圖可知，A（2，0），
化z＝x+2y為y，由圖可知，當直線y過A時，
直線在y軸上的截距最小，z有最小值為2．
故選：B．
5．（4分）若tanθ，則等于（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：∵sin2θ＝2sinθcosθ，cos2θ＝2cos2θ﹣1，tanθ，
∴．
故選：A．
6．（4分）圓O1：x2+y2﹣2x+6y＝0和圓O2：x2+y2﹣6x＝0的公共弦AB的垂直平分線的方程是（　　）
A．2x﹣3y+3＝0 B．2x﹣3y﹣5＝0 C．3x﹣2y﹣9＝0 D．3x﹣2y+7＝0
【解答】解：圓O1：x2+y2﹣2x+6y＝0的圓心O1（1，﹣3），
圓O2：x2+y2﹣6x＝0的圓心O2（3，0），
所以O1O2的中點坐標為（，），即（2，），
k
所以兩圓的公共弦AB的垂直平分線即是圓心O1O2所在的直線：y（x﹣2），即3x﹣2y﹣9＝0，
故選：C．
7．（4分）在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，則（　　）
A．35 B．﹣35 C．25 D．﹣25
【解答】解：在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
則||||cos（π﹣B）+||||cos（π﹣C）+09﹣16＝﹣25．
故選：D．
8．（4分）在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E分別是BC，AB的中點，AB＝AP＝4，AC＝3，設異面直線PC與DE所成角為α，PD與平面ABC所成角為β，二面角P﹣BC﹣A為γ，則（　?。?br /> A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜β＜α
【解答】解：因為D，E分別是BC，AB的中點，所以DE∥AC，則∠PCA＝α，
因為PA⊥平面ABC，則PD在平面ABC內(nèi)的射影為AD，則∠PAD＝β，
在平面ABC內(nèi)過點A作AF⊥BC，垂足為F，連接PF，則PF⊥BC，則∠PFA＝γ，
在Rt△PAC中，tan∠PCA＝tanα，
在Rt△PAD中，tan∠PDA＝tanβ，
在Rt△PAF中，tan∠PFA＝tanγ，
因為AC≠AB，所以必有AF＜AC，AF＜AD，
又AC＞AD，
所以，即tanα＜tanβ＜tanγ，
又α，β，γ，
所以α＜β＜γ．
故選：A．

9．（4分）設點P是雙曲線1（a＞0，b＞0）與圓x2+y2＝a2+b2在第一象限的交點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線的離心率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得：點P到原點的距離，∴∠F1PF2＝90°，
∵|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|＝|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
∴16a2+4a2＝4c2，∴，∴．
故選：A．
10．（4分）若不等式（ax﹣2）（|x|﹣b）≥0對任意的x∈（0，+∞）恒成立，則（　　）
A．a(chǎn)＞0， B．a(chǎn)＞0，ab＝2 C．a(chǎn)＞0，a＝2b D．a(chǎn)＞0，b＝2a
【解答】解：由選項可知a＞0，故原不等式等價于，
當b≤0時，顯然不滿足題意，故b＞0，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，此時必有，即ab＝2．
故選：B．
二、填空題：本題共7小題，共36分
11．（6分）設集合A＝{1，3}，B＝{a+2，5}，A∩B＝{3}，則a＝　1　，A∪B＝　{1，3，5}?。?br /> 【解答】解：∵集合A＝{1，3}，B＝{a+2，5}，A∩B＝{3}，
∴a+2＝3，解得a＝1，
A∪B＝{1，3，5}．
故答案為：1，{1，3，5}．
12．（6分）已知雙曲線C：1的一個焦點為（0，3），則雙曲線C的離心率為 　　，漸近線方程為 　y＝±x　．
【解答】解：雙曲線C：1的一個焦點為（0，3），可得m2+4＝9，解得|m|，
雙曲線C的離心率為：．
漸近線方程為：y＝±x．
故答案為：；y＝±x．
13．（6分）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為 　　，最長棱的長度為 　2?。?br />
【解答】解：由三視圖可得直觀圖，幾何體的體積為：2×2×2．
再四棱錐P﹣ABCD中，
最長的棱為PA，
即PA2 ，
故答案為：；2．

14．（6分）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C所對的邊，已知a＝3，c，sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，則A＝　　，S△ABC＝　?。?br /> 【解答】解：∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，即sin（A+C）+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，
∴sinAcosC+sinCcosA+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，
∴sinCcosA+sinAsinC＝0，
∵0＜C＜π，sinC≠0，
可得：cosA＝﹣sinA，即tanA＝﹣1，
∵0＜A＜π，
∴A，
∵a＝3，c，
∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得9＝b2+2﹣2，整理可得b2+2b﹣7＝0，
∴解得b＝21，（負值舍去），
∴S△ABCbcsinA（21）．
故答案為：，．
15．（4分）在數(shù)列{an}中，an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，則數(shù)列{an}的前20項之和為 　210?。?br /> 【解答】解：∵在數(shù)列{an}中，an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，
∴a2﹣a1＝2×1﹣1＝1，
a3+a2＝2×2﹣1＝3；
a4﹣a3＝2×3﹣1＝5；
a5+a4＝2×4﹣1＝7；
…
從而可得：a1+a3＝2；a2+a4＝8；a5+a7＝2；a6+a8＝24；
…
所以從第一項起，依次取相鄰兩個奇數(shù)項的和為2；
從第二項起，依次取相鄰兩個偶數(shù)項的和構成以8為首項，16為公差的等差數(shù)列；
故其前20項的和為：2×5+（8×516）＝210．
故答案為：210．
16．（4分）若函數(shù)f（x）＝||x||在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值為M，最小值為m，則M﹣m＝　5　．
【解答】解：，又f（2）＝0，所以f（x）min＝0，即m＝0；
，
當 ，即x＝﹣1或x＝﹣4時不等式取等號，
所以f（x）max＝5，即M＝5．
所以M﹣m＝5﹣0＝5，
故答案為：5．
17．（4分）已知非零平面向量，，滿足，的夾角為，與的夾角為，||＝2，||＝2，則?的取值范圍是 ?。?，6+4]?。?br /> 【解答】解：如圖：取BC中點D，以點O為起點作向量，，，

則，，，
由，的夾角為，與的夾角為可知：四點O、A、B、C共圓，設半徑為r．
在△OAB中：2r，∴r＝2．
由圖可得：?（）?（）＝（）?（）1∈（0，6+4]．
故答案為：（0，6+4]．
三、解答題：本題共5小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
18．（14分）已知函數(shù)f（x）＝2sinx?[cos（x）+cosx]．
（1）求；
（2）當時，求f（x）的值域．
【解答】解：（1）∵
，
∴．
（2））∵，
∴，
∴，
∴，
∴f（x）的值域為．
19．（14分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面是邊長為2的正方形，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，PB＝2，E、O分別為PA，BD中點．
（1）求證：OE∥面PDC；
（2）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．

【解答】解：（1）證明：連接 AC，可得 O 為 AC 中點，故 OE∥PC，
OE?面 PDC，PC?面 PDC，即 OE∥面 PDC．
（2）AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，過點A且垂直底面ABCD的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系：
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
設P（a，b，c），
由，
即?，
故點，
設平面PAB的法向量為：（x，y，z），
由
即可得：，
設直線PC與平面PAB所成角為α，
即．

20．（14分）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，前n項和為Sn，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足：2Sn＝bn+an（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式：
（2）設cn，求證：c1+c2+?+cn＜2．
【解答】（1）解：因為，，成等比數(shù)列，所以，
則，所以，
又a1＝1，所以d＝1或d＝0（舍），
則an＝n，
因為2Sn＝bn+an，則n（n+1）＝bn+n，
故bn＝n2；
（2）證明：由題意，cn，
所以c1+c2+?+cn，
故c1+c2+?+cn＜2．
21．（16分）過拋物線C：y2＝4x上一點P（除原點外）作拋物線C的切線l交y軸于點M，過M點作垂直于l的直線交拋物線C于A、B兩點．
（1）若P點的坐標為（1，2），求點M坐標；
（2）若x軸上有一點D（4，0），連接PD延長交拋物線C于Q點，求的最小值．

【解答】解：（1）∵拋物線C為y2＝4x，
∴y，
不妨取y＝f（x）＝2，求導可得，
∵切點P的坐標為（1，2），
∴直線，
∴直線MP的方程為y﹣2＝（x﹣1），即y＝x+1，
又∵M為直線MP與y軸的交點，
∴M的坐標為（0，1）．
（2）設切點為P（x0，y0），則切線l為，y0y＝2（x+x0），
∵M為切線l與軸的交點，
∴當xM＝0 時，，
∴M的坐標為（0，），
∵P（x0，y0），D（4，0），
∴直線PD方程為，
∵直線BM與直線MP垂直，
又∵，M的坐標為（0，），
∴直線BM的方程為，
又∵A，B，M三點共線，
∴直線AB的方程也為，
設A（xA，yA），B（xB，yB），
聯(lián)立直線AB與拋物線方程，可得，
由韋達定理可得，，yA?yB＝﹣4，
，
設P（xP，yP），Q（xQ，yQ），
聯(lián)立直線PD與拋物線方程，可得，
，yP?yQ＝﹣16，
，
∵直線BM的方程為，
∴直線BM與x軸的交點N的坐標為（1，0），
∴ND＝3，
，當且僅當 時，即 等號成立，
∴的最小值為．

聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/5/27 10:15:04；用戶：高中數(shù)學；郵箱：sdgs@xyh.com；學號：28144983

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