河南省濟源市部分校2021-2022學(xué)年八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷  一、選擇題（本大題共10小題，共30分）式子有意義的的取值范圍是A.  B. 且 C. 且 D. 下列各式中，是最簡二次根式的是A.  B.  C.  D. 下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，已知，，則與的關(guān)系是A.  B.  C.  D. 如圖，從一個大正方形中截去面積為和的兩個小正方形，則大正方形的邊長是．A.
B.
C.
D. 如圖，為的角平分線，于，為中點，連接，若，，則
A.  B.  C.  D. 如圖，在?中，平分，交于點，，，則的長是
A.  B.  C.  D. 下列不能判定一個四邊形是平行四邊形的是A. 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
B. 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
C. 一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
D. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點，，在坐標(biāo)軸上，若點的坐標(biāo)為，，則點的坐標(biāo)為
A.  B.  C.  D. 如圖，在矩形紙片中，，，是上的點，且將矩形紙片沿過點的直線折疊，使點落在上的點處，點落在點處，折痕為，則線段的長是
A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共5小題，共15分）已知，那么的值是______．已知實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是______ ．
直角三角形的兩邊長為、，則斜邊上的中線長為______．如圖，某港口位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行海里和海里，小時后兩船分別位于點，處，且相距海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，則乙船沿______ 方向航行．如圖，正方形的對角線，交于點，是邊上一點，連接，過點作，交于點若四邊形的面積是，則的長為______．

    三、解答題（本大題共8小題，共75分）計算：
；
．






 先化簡，再求值：，其中．






 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．
在圖中，畫一個三角形，使它們的三邊長分別為、、．
求邊上的高．






 如圖，菱形的對角線，相交于點，是的中點，點，在上，，．
求證：四邊形是矩形．
若，，求和的長．







 如圖，在四邊形中，，，點是的中點，連接，過點作，垂足為，已知．
求證：四邊形是菱形；
若，，求線段的長．







 如圖，四邊形是面積為的平行四邊形，其中，．
如圖，點為邊上任意一點，則的面積和的面積之和與?的面積之間的數(shù)量關(guān)系是______．
如圖，設(shè)、交于點，則的面積和的面積之和與?的面積之間的數(shù)量關(guān)系是______．
如圖，點為?內(nèi)任意一點時，試猜想的面積和的面積之和與?的面積之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
如圖，已知點為?內(nèi)任意一點，的面積為，的面積為，連接，求的面積．







 在一次課題學(xué)習(xí)活動中，老師提出了如下問題：如圖，四邊形是正方形，點是邊的中點，，且交正方形外角平分線于點請你探究與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論正確．
經(jīng)過探究，小明得出的結(jié)論是而要證明結(jié)論，就需要證明和所在的兩個三角形全等，但和顯然不全等一個是直角三角形，一個是鈍角三角形，考慮到點是邊的中點，小明想到的方法是如圖，取的中點，連接，證明≌從而得到．
請你參考小明的方法解決下列問題：
如圖，若把條件“點是邊的中點”改為“點是邊上的任意一點”，其余條件不變，證明結(jié)論仍然成立．
如圖，若把條件“點是邊的中點”改為：“點是邊延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結(jié)論是否還成立？若成立，請完成證明過程，若不成立，請說明理由．







 如圖，在矩形中，邊上有一點，連結(jié)，若，．
直接寫出的長；
有一點從點出發(fā)，以的速度沿向點運動，有一點從點出發(fā)，以的速度沿向點運動，當(dāng)點到達(dá)點時，點、同時停止運動，設(shè)點的運動時間為秒．
______秒時，四邊形為平行四邊形；
______秒時，四邊形為矩形；
有一點從點出發(fā)，以的速度沿向點運動，有一點從點出發(fā)，以的速度沿射線運動，當(dāng)點到達(dá)點時，點、同時停止運動，設(shè)點的運動時間為秒，問取何值時，以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：由題意得，且，
即且，
故選：．
根據(jù)分式有意義，二次根式有意義的條件進(jìn)行判斷即可．
本題考查二次根式、分式有意義的條件，掌握被開方數(shù)大于或等于，分母不為分別是二次根式和分式意義的條件是正確判斷的前提．
 2.【答案】
 【解析】解：、，故此選項不符合題意；
B、，故此選項不符合題意；
C、是最簡二次根式，故此選項符合題意；
D、，故此選項不符合題意；
故選：．
利用最簡二次根式的定義：被開方數(shù)不含分母，分母中不含根號，且被開方數(shù)不含能開的盡方的因數(shù)，判斷即可．
此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．
 3.【答案】
 【解析】解：、，此選項不符合題意；
B、，此選項符合題意；
C、，此選項不符合題意；
D、，此選項不符合題意．
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理分別進(jìn)行分析，從而得到答案．
此題主要考查了勾股數(shù)的定義，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三邊滿足，則是直角三角形．
 4.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了分母有理化，掌握有理化因式的找法是解題的關(guān)鍵．
先化簡再找關(guān)系即可．
【解答】
解：，
，
，
故選D．  5.【答案】
 【解析】解：兩小正方形的邊長分別為：，，
大正方形的邊長為．
故選：．
先根據(jù)正方形的面積公式計算出兩小正方形的邊長，再把兩小正方形的邊長相加即可得到大正方形的邊長．
本題考查二次根式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用正方形面積公式求出小正方形的邊長．
 6.【答案】
 【解析】解：延長交于，如圖所示：
平分，，
，
，
，
，
≌，
，
為的中點，
是的中位線，
，
，
，
，
，
，
故選：．
延長交于，證≌，得，再由三角形中位線定理得，則，然后求出，即可解決問題．
本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握三角形中位線定理，證明≌是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】
 【解析】解：平分，
，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
，
，
，，
在中，，即，
，
，，
在中，．
故選：．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可得，根據(jù)勾股定理的逆定理可得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)勾股定理可求的長．
此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，勾股定理，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊平行且相等．
 8.【答案】
 【解析】【分析】
根據(jù)平行四邊形的判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可選出答案．
此題主要考查學(xué)生對平行四邊形的判定的掌握情況．對于判定定理：“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．”應(yīng)用時要注意必須是“一組”，而“一組對邊平行且另一組對邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形．
【解答】
解：根據(jù)平行四邊形的判定定理，、、均符合是平行四邊形的條件，則不能判定是平行四邊形．
故選：．  9.【答案】
 【解析】解：菱形，，
，
，
，，，
，
，
，
，，
故選：．
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，的長，進(jìn)而利用菱形的性質(zhì)得出點的坐標(biāo)即可．
此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)得出解答．
 10.【答案】
 【解析】解：連接，如圖，
設(shè)，
，，
，，
由折疊性質(zhì)可知，
，，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
解得：，
．
故選：．
連接，設(shè)，可得出，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，在中和中，根據(jù)勾股定理，，，，因為是公共邊，所以可得，即，求出的值即可得出答案．
本題主要考查了翻折變化、矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練應(yīng)用翻折變化的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)進(jìn)行計算是解決本題的關(guān)鍵．
 11.【答案】
 【解析】解：，
，
，
故答案為：
根據(jù)二次根式的運算以及完全平方公式即可求出答案．
本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的運算以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 12.【答案】
 【解析】解：，


．
故答案為：．
根據(jù)圖示，可得：，據(jù)此求出的結(jié)果是多少即可．
此題主要考查了實數(shù)的運算，以及數(shù)軸的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．
 13.【答案】或
 【解析】解：若，均為直角三角形的直角邊，
由勾股定理可得：
直角三角形斜邊長為，
斜邊上的中線為；
若為直角三角形的斜邊，
斜邊上的中線為，
故答案為或．
由勾股定理可求解直角三角形斜邊的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可求解．
本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】北偏東
 【解析】解：由題意可知：，，，
，
是直角三角形，
，
由題意知，
，
即乙船沿北偏東方向航行，
故答案為：北偏東．
根據(jù)題意即可知，，，利用勾股定理的逆定理可推出是直角三角形，由甲船沿北偏西方向航行，即可推出乙船的航行方位角．
本題考查勾股定理的應(yīng)用以及方位角，熟練掌握勾股定理并能熟練應(yīng)用以及能正確找出方位角是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】
 【解析】解：四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
四邊形的面積是，四邊形的面積的面積的面積，
四邊形的面積的面積的面積的面積，
的面積是，
正方形的面積是，
，
，
故答案為：．
根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得到≌，然后即可發(fā)現(xiàn)四邊形的面積等于的面積，從而可以求得正方形的面積，從而可以求得的長．
本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)四邊形的面積等于的面積，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 16.【答案】原式
．
原式
．
 【解析】根據(jù)二次根式的加減運算法則即可求出答案．
根據(jù)平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
本題考查二次根式混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 17.【答案】解：原式

，
當(dāng)，
原式
．
 【解析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關(guān)鍵．
先化簡分式，然后將的值代入計算即可．
 18.【答案】解：如圖，即為所求作．


設(shè)邊上的高為，
、、，
，
，
，
．
 【解析】利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．
利用面積法求解即可．
本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形的面積，勾股定理以及逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．
 19.【答案】證明：四邊形是菱形，
，
是的中點，
是的中位線，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
平行四邊形是矩形；
解：四邊形是菱形，
，，
，
是的中點，
，
由知，四邊形是矩形，
，
，
，
，
．
 【解析】證是的中位線，得，則四邊形是平行四邊形，再證，然后由矩形的判定定理即可得到結(jié)論；
由菱形的性質(zhì)得到，，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，然后由勾股定理得到，即可得出的長．
本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和三角形中位線定理，證明四邊形為矩形是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】證明：，，
四邊形是平行四邊形，
，點是的中點，
，
平行四邊形是菱形；
解：，，，
，
點是的中點，
，
由得：，四邊形是菱形，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
即線段的長為．
 【解析】先證四邊形是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；
由勾股定理得，再由菱形的性質(zhì)得，然后證，則，即可得出答案．
本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】；
    ；
結(jié)論：
理由：如圖中，作于，延長交于．
，，
，


設(shè)的面積為，的面積為，
則，
，
的面積，
 【解析】解：如圖中，，．
四邊形是平行四邊形，
，
，
，

故答案為

如圖中，四邊形是平行四邊形，
，，
，

故答案為

見答案．

見答案．
【分析】
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：，即可解決問題；
理由平行四邊形的性質(zhì)可知：，即可解決問題；
結(jié)論：如圖中，作于，延長交于根據(jù)；
設(shè)的面積為，的面積為，則，推出，可得的面積；
本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等高模型等正整數(shù)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．  22.【答案】證明：如圖，在上取點，連接，使，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，，
是正方形外角的平分線，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；

證明：延長至，使，連接，
，，
，
，
是正方形外角的平分線，
，
，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
．
 【解析】在上取點，連接，證明≌即可；
延長至，使，連接，證明≌即可．
本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定及方程思想等知識．在中中構(gòu)造三角形全等是關(guān)鍵，在中根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到關(guān)于點坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大．
 23.【答案】 
 【解析】解：四邊形是矩形，，，
，，
在中，，
，
，
由運動知，，，
，，
如圖，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
故答案為；
如圖、四邊形為矩形，
，
，
，
故答案為：；

由運動知，，，
以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形．
，
當(dāng)點在邊上時，，
，
，
當(dāng)點在延長線上時，，
，
，
即：為秒或秒時，以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形．
先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，再用勾股定理求出求出，即可得出結(jié)論；
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，建立方程求解即可得出結(jié)論；
根據(jù)矩形的性質(zhì)建立方程求解即可得出結(jié)論；
分點在邊和延長線上兩種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)建立方程求解即可得出結(jié)論．
本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，利用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
 

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