等比數(shù)列專題檢測(cè)1.(2019北京朝陽(yáng)二模,5)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差d≠0,則“a1,a3,a9成等比數(shù)列”是“a1=d”的????????????? (　　)A.充分而不必要條件　　B.必要而不充分條件C.充要條件　　D.既不充分也不必要條件答案　C　由a1,a3,a9成等比數(shù)列,得=a1a9,從而(a1+2d)2=a1(a1+8d),又d≠0,所以a1=d;若a1=d,則a3=3a1,a9=9a1,從而有=a1a9,所以a1,a3,a9成等比數(shù)列.故“a1,a3,a9成等比數(shù)列”是“a1=d”的充要條件,故選C.2.(2018河南新鄉(xiāng)二模,6)在公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a4=4,則當(dāng)2a2+a6取得最小值時(shí),log2q=????????????? (　　)A.　　B.-　　C.　　D.-答案　A　由題意知a2>0,a6>0,所以2a2+a6≥2=2=8,當(dāng)且僅當(dāng)q4=2時(shí)取等號(hào),所以log2q=log2=,選A.3.(20195·3原創(chuàng)沖刺卷三,5)已知數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列,a2=,a3=2a1,則a1a2+a2a3+…+anan+1=????????????? (　　)A.(2+)[1-]　　B.(2+)[-1]C.(2n-1)　　D.(1-2n)答案　C　由{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列,且a2=,a3=2a1,可得a1=1,公比q=,所以數(shù)列{anan+1}是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則a1a2+a2a3+…+anan+1==(2n-1).故選C.4.(2018福建廈門模擬,8)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2n+1+λ,則λ= (　　)A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2答案　A　解法一:依題意,a1=S1=4+λ,a2=S2-S1=4,a3=S3-S2=8,因?yàn)?/span>{an}是等比數(shù)列,所以=a1·a3,所以8(4+λ)=42,解得λ=-2.故選A.解法二:Sn=2n+1+λ=2×2n+λ,易知q≠1,因?yàn)?/span>{an}是等比數(shù)列,所以Sn=-qn,據(jù)此可得λ=-2.故選A.5.(20195·3原創(chuàng)沖刺卷八,5)已知等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=12,a1-a3=6,則當(dāng)a1·a2·…·an取到最大值時(shí),n的值為????????????? (　　)A.3　　B.4　　C.3或4　　D.5答案　C　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a1+a2=12,a1-a3=6,可得解得∴an=8×=(n∈N*),∴a1·a2·…·an==,令f(n)=n(n-7)=(n2-7n)=-,當(dāng)n=3或n=4時(shí),f(n)有最小值,且f(n)min=-6,故當(dāng)n=3或4時(shí),a1·a2·…·an取得最大值,故選C. 6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},a1>1,0<q<1,其前n項(xiàng)和為Sn,則下列說(shuō)法正確的是????????????? (　　)A.數(shù)列{lnan}為等差數(shù)列B.若Sn=Aqn+B,則A+B=0C.Sn·S3n=D.記Tn=a1·a2·…·an,則數(shù)列{Tn}有最大值答案　ABD　由題意可知,an=a1qn-1,Sn=.A選項(xiàng),lnan=ln(a1qn-1)=lna1+(n-1)lnq,lnan+1=ln(a1qn)=lna1+nlnq,∴l(xiāng)nan+1-lnan=lnq,故{lnan}為等差數(shù)列,故A正確;B選項(xiàng),Sn==-qn+,又Sn=Aqn+B,則A+B=-+=0,故B正確;C選項(xiàng),Sn=,S3n=,Sn·S3n=,S2n=,=.明顯Sn·S3n≠,故C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),Tn=a1·a2·…·an,由于a1>1,0<q<1,故數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列,總存在從某一項(xiàng)開(kāi)始使得ak=a1qk-1∈(0,1),故Tk-1=a1·a2·…·ak-1為最大值,故D正確.故選ABD.7.(2020浙江金麗衢十二校聯(lián)考,19)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.(1)證明:數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列;(2)記bn=(an-n)n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解析　本題考查等比數(shù)列的概念以及數(shù)列求和;考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)證明:an+1-n-1=4an-4n=4(an-n),則=4,a1-1=2-1=1≠0,所以數(shù)列{an-n}是以1為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知bn=(an-n)n=n·4n-1.解法一:Sn=1×40+2×4+3×42+…+n·4n-1,①4Sn=1×4+2×42+3×43+…+(n-1)·4n-1+n·4n,②①-②得-3Sn=1+4+42+43+…+4n-1-n·4n=-n·4n=-,故Sn=.解法二:令f(x)=x+x2+…+xn,則f'(x)=1+2x+3x2+…+nxn-1,又(x+x2+…+xn)'='=,所以1+2x+3x2+…+nxn-1=,由題意求bn=n·4n-1的和,只需令x=4即可,即1+2×4+3×42+…+n·4n-1==.8.(20205·3原創(chuàng)題)數(shù)列{an}滿足a1=7,且當(dāng)n≥2時(shí),總有an=λan-1+μ成立(其中λ,μ為常數(shù)).(1)試寫(xiě)出λ,μ滿足的關(guān)系式,使得數(shù)列{an-3}是等比數(shù)列;(2)記bn=,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,若λ=2,μ=-3,不等式Sn<K恒成立,求K的取值范圍.解析　(1)由題意知,對(duì)任意n≥2,an=λan-1+μ①,若{an-3}是等比數(shù)列,則必存在q≠0,對(duì)任意n≥2,有an-3=q(an-1-3),整理得an=qan-1+3-3q②,由①②得消去q,得3λ+μ=3(λ≠1且λ≠0).(2)顯然λ=2,μ=-3滿足(1)中求得的關(guān)系式,此時(shí){an-3}是以7-3=4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故an-3=4×2n-1,an=2n+1+3,則bn===·=,因此Sn=b1+b2+…+bn=++…+=+--=--,顯然{Sn}是遞增數(shù)列,因此,當(dāng)n∈N*時(shí),Sn∈,因?yàn)?/span>Sn<K恒成立,故K≥.  

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