新人教A版高考數(shù)學二輪復習專題七平面向量1平面向量的概念線性運算及基本定理綜合集訓含解析-試卷下載-教習網

?專題七　平面向量
備考篇
【考情探究】

課標解讀
考情分析
備考指導
主題
內容
一、平面向量的概念、線性運算及基本定理
1.理解平面向量的概念,向量相等及幾何表示,理解向量的加、減法,數(shù)乘向量的運算及其幾何意義,理解兩向量共線的意義及表示.
2.熟練掌握向量的線性運算,能進行準確、快捷的向量計算.
1.從近幾年高考情況來看,考題難度以中低檔為主,題型主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),分值為5分.
2.本專題內容在2020年的高考試題中多以平面向量的線性運算、平面向量的數(shù)量積為考查點(如2020新高考Ⅰ卷第7題是以正六邊形為背景考查向量數(shù)量積的運算,2020課標Ⅰ卷理數(shù)第14題考查了單位向量與用數(shù)量積求向量的模,2020天津卷第15題以四邊形為載體考查用基底表示平面向量及求數(shù)量積,同時與最值問題相聯(lián)系),近幾年的高考試題都注重學生對平面向量的基本知識和基本解題方法的考查.
3.本專題重點考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學運算和邏輯推理.
1.結合圖形理解平面向量的概念、向量的線性運算,熟練掌握平行四邊形法則與三角形法則.
2.理解平面向量基本定理的實質,會用給定的基底表示向量.
3.通過建立平面直角坐標系能求出向量的坐標,會進行平面向量的和、差、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標運算.
4.掌握用數(shù)量積的定義、幾何意義求兩向量的數(shù)量積并能用數(shù)量積求兩向量夾角,判斷或證明向量垂直、求向量的模.
5.利用數(shù)形結合的方法和函數(shù)的思想解決最值等綜合問題.
二、平面向量的數(shù)量積及向量的綜合應用
1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義;了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系;掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算.
2.掌握求向量長度的方法;能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角;會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.
3.了解平面向量基本定理及其意義.

【真題探秘】

命題立意
本題以正六邊形為背景,考查求兩個向量數(shù)量積的取值范圍問題.
解題過程
如圖,過點P作PP1⊥直線AB于P1,過點C作CC1⊥直線AB于C1,過點F作FF1⊥直線AB于F1,AP·AB=|AP|·|AB|·cos∠PAB,當∠PAB為銳角時,|AP|·cos∠PAB=|AP1|,當∠PAB為鈍角時,|AP|·cos∠PAB=-|AP1|,所以當點P與C重合時,AP·AB最大,此時AP·AB=|AC1||AB|=6,當點P與F重合時,AP·AB最小,此時AP·AB=-|AF1|·|AB|=-2,又因為點P是正六邊形ABCDEF內的一點,所以-2b;
④若兩個向量相等,則它們的起點和終點分別重合;
⑤若a∥b,b∥c,則a∥c.
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
答案　A
2.設D為△ABC中BC邊上的中點,且O為AD上靠近點A的三等分點,則 (　　)
A.BO=-16AB+12AC　　B.BO=16AB-12AC
C.BO=56AB-16AC　　D.BO=-56AB+16AC
答案　D
3.設M為平行四邊形ABCD對角線的交點,O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點,則OA+OB+OC+OD等于 (　　)
A.OM　　B.2OM　　C.3OM　　D.4OM
答案　D
4.13(2a-3b)-3(a+b)=　　　　.?
答案　-73a-4b
考點二　平面向量基本定理及坐標運算
5.如圖,在△ABC中,AN=12AC,P是BN的中點,若AP=mAB+14AC,則實數(shù)m的值是 (　　)

A.14　　B.1　　C.12　　D.32
答案　C
6.已知點A(1,3),B(4,-1),則與向量AB同方向的單位向量為 (　　)
A.35,-45　　B.45,-35　　C.-35,45　　D.-45,35
答案　A
7.向量a=13,tanα,b=(cosα,1),且a∥b,則cos2α=(　　)
A.13　　B.-13　　C.79　　D.-79
答案　C
8.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若(a+b)∥(4b-2a),則實數(shù)x的值是 (　　)
A.-2　　B.3　　C.12　　D.2
答案　D
9.向量a,b,c在正方形網格中的位置如圖所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),則λμ=　　　　.?

答案　4

[教師專用題組]
【基礎集訓】
考點一　平面向量的概念及線性運算
1.(2019天津耀華中學統(tǒng)練(2),2)已知A、B、C、D是平面內任意四點,現(xiàn)給出下列式子:
①AB+CD=BC+DA;②AC+BD=BC+AD;③AC-BD=DC+AB.其中正確的有 (　　)
A.0個　　B.1個　　C.2個　　D.3個
答案　C?、偈降牡葍r式是AB-DA=BC-CD,左邊=AB+AD,右邊=BC+DC,不一定相等;
②式的等價式是AC-AD=BC-BD,即DC=DC成立;
③式的等價式是AC=BD+DC+AB=AC成立.
綜上可知正確的是②③.故選C.
2.(2016青海西寧二診,7)已知點P為△ABC所在平面內一點,邊AB的中點為D,若2PD=(1-λ)PA+CB,其中λ∈R,則P點一定在 (　　)
A.AB邊所在的直線上　　B.BC邊所在的直線上
C.AC邊所在的直線上　　D.△ABC的內部
答案　C　因為2PD=(1-λ)PA+CB,所以2(PA+AD)=PA-λPA+CB,2PA+2AD=PA-λPA+CB,PA+2AD-CB=-λPA,因為D為邊AB的中點,所以PC=-λPA,所以P點一定在AC邊所在的直線上.
思路分析　利用向量的線性運算化簡后,結合共線向量定理求解.
解題關鍵　由向量的線性運算得PC=-λPA是求解關鍵.
3.(2018江西師大附中12月模擬,10)設D,E,F分別為△ABC三邊BC,CA,AB的中點,則DA+2EB+3FC= (　　)
A.12AD　　B.32AD
C.12AC　　D.32AC
答案　D　因為D,E,F分別為△ABC的三邊BC,AC,AB的中點,所以DA+2EB+3FC=12(BA+CA)+2×12(AB+CB)+3×12×(AC+BC)=12BA+12CA+AB+CB+32BC+32AC=12AB+12BC+AC=12AC+AC=32AC,故選D.
4.(2018福建高三4月質檢,3)

莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形,且與黃金分割有著密切的聯(lián)系:在如圖所示的正五角星中,以A,B,C,D,E為頂點的多邊形為正五邊形,且PTAT=5-12.下列關系中正確的是(　　)
A.BP-TS=5+12RS　　B.CQ+TP=5+12TS
C.ES-AP=5-12BQ　　D.AT+BQ=5-12CR
答案　A　由題意得,BP-TS=TE-TS=SE=RS5-12=5+12RS,所以A正確;
CQ+TP=PA+TP=TA=5+12ST,所以B錯誤;
ES-AP=RC-QC=RQ=5-12QB,所以C錯誤;
AT+BQ=SD+RD,5-12CR=RS=RD-SD,若AT+BQ=5-12CR,則SD=0,不合題意,所以D錯誤.
故選A.
5.(2019湖南頂級名校摸底考試,4)如圖,已知AB=a,AC=b,BC=4BD,CA=3CE,則DE= (　　)

A.34b-13a　　B.512a-34b
C.34a-13b　　D.512b-34a
答案　D　DE=DC+CE=34BC+13CA=34(AC-AB)-13AC=512AC-34AB=512b-34a.選D.
6.(2018吉林調研,8)已知a,b是不共線的非零向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三點共線,則λ,μ的關系一定成立的是 (　　)
A.λμ=1　　B.λμ=-1
C.λ-μ=1　　D.λ+μ=2
答案　A　若A,B,C共線,則AC∥AB,即存在實數(shù)k,使得AC=kAB.
∵AC=a+μb,AB=λa+b,∴a+μb=k(λa+b),
即(1-kλ)a+(μ-k)b=0.
∵a,b是不共線的非零向量,∴1-kλ=0,μ-k=0,解得λμ=1.
故A,B,C三點共線的充要條件為λμ=1.故選A.
7.如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點,BC=3EC,F為AE的中點,則BF= (　　)

A.23AB-13AD　　B.13AB-23AD
C.-23AB+13AD　　D.-13AB+23AD
答案　C　如圖,取AB的中點G,連接DG,CG,易知四邊形DCBG為平行四邊形,所以BC=GD=AD-AG=AD-12AB,
∴AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23AD-12AB=23AB+23AD,
于是BF=AF-AB=12AE-AB=1223AB+23AD-AB
=-23AB+13AD,故選C.

解題關鍵　選定向量AB、AD為基底,正確利用向量的線性運算是求解關鍵.
8.(2018吉林長春模擬,6)在△ABC中,D為三角形所在平面內一點,且AD=13AB+12AC,則S△BCDS△ABD= (　　)
A.16　　B.13　　C.12　　D.23
答案　B　設直線AD與BC交于點E,AE=xAD.
∵AD=13AB+12AC,∴AE=x3AB+x2AC.
∵E、B、C三點共線,
∴x3+x2=1,∴x=65,∴AE=65AD,
∵AE=AD+DE,∴AD+DE=65AD,∴AD=5DE.
∵AE=25AB+35AC,∴25(AE-AB)=35(AC-AE),
∴BE=32EC.
設S△DEC=2x,則S△DBE=3x,
∵AD=5DE,∴S△ABD=5×3x=15x,
∴S△BCDS△ABD=S△DBE+S△DECS△ABD=3x+2x15x=13.
考點二　平面向量基本定理及坐標運算
1.(2018遼寧丹東五校協(xié)作體聯(lián)考,4)向量a=13,tanα,b=(cosα,1),且a∥b,則cos2α= (　　)
A.13　　B.-13　　C.79　　D.-79
答案　C　∵a∥b,a=13,tanα,b=(cosα,1),
∴13-tanαcosα=0,即sinα=13,
∴cos2α=1-2sin2α=1-2×132=79.故選C.
2.(2018河北衡水中學五調,8)已知平面直角坐標系內的兩個向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面內的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ為實數(shù)),則m的取值范圍是 (　　)
A.(-∞,2)　　B.(2,+∞)
C.(-∞,+∞)　　D.(-∞,2)∪(2,+∞)
答案　D　根據(jù)題意知,向量a,b是不共線的兩個向量,∵a=(1,2),b=(m,3m-2),∴m1≠3m-22,解得m≠2.∴m的取值范圍是(-∞,2)∪(2,+∞).故選D.
3.(2019安徽合肥第一次質檢,5)設向量a=(-3,4),向量b與向量a方向相反,且|b|=10,則向量b的坐標為 (　　)
A.-65,85　　B.(-6,8)
C.65,-85　　D.(6,-8)
答案　D　因為向量b與向量a方向相反,所以可設b=λa=(-3λ,4λ),λ

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