1．（2021·江蘇南通·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線 y =x+3與函數(shù)（k>0）的圖象交于點(diǎn) A（1，m），與x軸交于點(diǎn)B .
（1）求 m，k 的值；
（2）過動(dòng)點(diǎn) P（n，0）（n> 0）作平行于y軸的直線，交函數(shù)（k>0）的圖象于點(diǎn)C，交直線 y = x+3于點(diǎn)D；
①當(dāng)n =2時(shí)，求線段CD的長；
②若CDOB，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出 n的取值范圍．
【答案】（1）m=4，k=4；（2）①CD=3；②
【解析】
【分析】
（1）把點(diǎn)A代入一次函數(shù)解析式求解m，然后再代入反比例函數(shù)求解k即可；
（2）①根據(jù)（1）可得：反比例函數(shù)解析式為，由題意可得如圖，把n =2分別代入一次函數(shù)及反比例函數(shù)解析式得點(diǎn)，然后問題可求解；
②設(shè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C上方時(shí)，如圖①圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C下方時(shí)，則有當(dāng)CDOB時(shí)，則有：，進(jìn)而問題可求解．
【詳解】
解：（1）由直線 y =x+3與函數(shù)（k>0）的圖象交于點(diǎn) A（1，m），與x軸交于點(diǎn)B ，可得：把點(diǎn)A代入一次函數(shù)解析式得，
∴點(diǎn)，
∴把點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式得：；
（2）①根據(jù)（1）可得：反比例函數(shù)解析式為，由題意可得如圖所示：
∵當(dāng)n =2時(shí)，
∴把n =2分別代入一次函數(shù)及反比例函數(shù)解析式得：
，
，
∴點(diǎn)，
∴CD=3；
②設(shè)點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C上方時(shí)，如圖所示，
當(dāng)CDOB時(shí)，則有：，解得：（不符合題意，舍去）；
∴當(dāng)時(shí)，CDOB時(shí)；
當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C下方時(shí)，如圖所示：
∵CDOB，
∴當(dāng)CDOB時(shí)，則有：，解得：（不符合題意，舍去）；
∴當(dāng)CDOB時(shí)，n的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·江蘇常州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上（點(diǎn)B的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，連接．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，求四邊形的面積．
【答案】（1）；（2）10
【解析】
【分析】
（1）反比例函數(shù)待定系數(shù)法求解析式，將已知點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可；
（2）四邊形的面積可以拆解為和四邊形
【詳解】
（1）把代入得，
．
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式是．
（2）∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
．
當(dāng)時(shí)．
．
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，第二問考查了求反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
3．（2021·江蘇連云港·一模）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段OA的端點(diǎn)A，O為原點(diǎn)，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，tan∠AOB=．
（1）求k的值；
（2）將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過DC的中點(diǎn)E，求直線AE的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若直線AE與x軸交于點(diǎn)M、與y軸交于點(diǎn)N，請你探索線段AN與線段ME的大小關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由.
【答案】解：（1）k= 6
（2）
（3）AN=ME
【解析】
【分析】
（1）在直角△AOB中利用三角函數(shù)求得A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得k的值.
（2）已知E是DC的中點(diǎn)，則E的縱坐標(biāo)已知，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式.
（3）首先求得M、N的坐標(biāo)，延長DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的長，即可證得.
【詳解】
解：（1）由已知條件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，∴．∴AB=3．
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）．
∴k=xy=6．
（2）∵DC由AB平移得到，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為．
又∵點(diǎn)E在雙曲線上，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，）．
設(shè)直線AE的函數(shù)表達(dá)式為，則
，解得．
∴直線AE的函數(shù)表達(dá)式為．
（3）結(jié)論：AN=ME．理由：
在表達(dá)式中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=．
∴點(diǎn)M（6，0），N（0，）．
解法一：延長DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON－OF=．
∴根據(jù)勾股定理可得AN=．
∵CM=6－4=2，EC=，
∴根據(jù)勾股定理可得EM=．
∴AN=ME．
解法二：連接OE，延長DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，且AF=2，
∵，
∴，
∵AN和ME邊上的高相等，
∴AN=ME．
4．（2021·江蘇南京·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A（4，﹣2）、B（﹣2，n）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求k2，n的值；
（2）請直接寫出不等式k1x+b

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