2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)  學(xué)（文）（北京卷）第一部分（選擇題   共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=（A）（–1，1） （B）（1，2） （C）（–1，+∞） （D）（1，+∞）（2）已知復(fù)數(shù)z=2+i，則（A） （B） （C）3 （D）5（3）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增的是（A） （B）y= （C） （D）（4）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（5）已知雙曲線（a>0）的離心率是，則a=（A） （B）4 （C）2 （D）（6）設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件  （D）既不充分也不必要條件（7）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為（k=1,2）．已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（A）1010.1  （B）10.1 （C）lg10.1    （D）（8）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為（A）4β+4cosβ （B）4β+4sinβ （C）2β+2cosβ （D）2β+2sinβ第二部分（非選擇題    共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）已知向量=（–4，3），=（6，m），且，則m=__________．（10）若x，y滿足 則的最小值為__________，最大值為__________．（11）設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l．則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．（12）某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．（13）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．（14）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題13分）在△ABC中，a=3，，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．（16）（本小題13分）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）記{an}的前n項和為Sn，求Sn的最小值．（17）（本小題12分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額支付方式不大于2 000元大于2 000元 僅使用A27人3人僅使用B24人1人（Ⅰ）估計該校學(xué)生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；（Ⅱ）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個月支付金額大于2 000元的概率；（Ⅲ）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元．結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說明理由．（18）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點．（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由．（19）（本小題14分）已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點．（20）（本小題14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時，求證：；（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時，求a的值．  （考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）
絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B（5）D （6）C （7）A （8）B二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）8 （10）–3    1（11） （12）40（13）若，則．（答案不唯一）（14）130    15三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理，得．因為，所以．解得．所以．（Ⅱ）由得．由正弦定理得．在中，．所以．（16）（共13分）解：（Ⅰ）設(shè)的公差為．因為，所以．因為成等比數(shù)列，所以．所以．解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，的最小值為．（17）（共12分）解：（Ⅰ）由題知，樣本中僅使用A的學(xué)生有27+3=30人，僅使用B的學(xué)生有24+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100–30–25–5=40人．估計該校學(xué)生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)為．（Ⅱ）記事件C為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于2 000元”，則．（Ⅲ）記事件E為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，該學(xué)生本月的支付金額大于2 000元”．假設(shè)樣本僅使用B的學(xué)生中，本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒有變化，則由（II）知，=0.04．答案示例1：可以認(rèn)為有變化．理由如下：比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月支付金額大于2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化．所以可以認(rèn)為有變化．答案示例2：無法確定有沒有變化．理由如下：事件E是隨機(jī)事件，比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的．所以無法確定有沒有變化．（18）（共14分）解：（Ⅰ）因為平面ABCD，所以．又因為底面ABCD為菱形，所以．所以平面PAC．（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．所以AE⊥平面PAB．所以平面PAB⊥平面PAE．（Ⅲ）棱PB上存在點F，使得CF∥平面PAE．取F為PB的中點，取G為PA的中點，連結(jié)CF，FG，EG．則FG∥AB，且FG=AB．因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，所以CE∥AB，且CE=AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四邊形CEGF為平行四邊形．所以CF∥EG．因為CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．（19）（共14分）解：（I）由題意得，b2=1，c=1．所以a2=b2+c2=2．所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則直線AP的方程為．令y=0，得點M的橫坐標(biāo)．又，從而．同理，．由得．則，．所以．又，所以．解得t=0，所以直線l經(jīng)過定點（0，0）．（20）（共14分）解：（Ⅰ）由得．令，即，得或．又，，所以曲線的斜率為1的切線方程是與，即與．（Ⅱ）令．由得．令得或．的情況如下：     所以的最小值為，最大值為．故，即．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．綜上，當(dāng)最小時，．

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