山東省菏澤市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（B）第I卷（選擇題）評卷人得分  一、單選題1．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)A，B分別對應(yīng)，則向量的長度是（       ）A．0 B．1 C．2 D．32．若復(fù)數(shù)（1–i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．（–∞，1） B．（–∞，–1）C．（1，+∞） D．（–1，+∞）3．已知向量，，則（       ）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），若z是關(guān)于x的方程的一個(gè)虛根，則實(shí)數(shù)m＝（       ）A．2 B．－2 C．1 D．－15．已知，，與的夾角為，那么（       ）A．4 B．3 C．2 D．6．在△ABC中，，AC=4，BC=3，則（       ）A． B． C．1 D．7．秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)一為從陽，開平方得積．”如果把以上這段文字寫成公式就是，其中a，b，c是的內(nèi)角A，B，C的對邊，若，且，則面積S的最大值為（       ）A． B． C． D．8．設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于A．4 B．2 C． D．1評卷人得分  二、多選題9．設(shè)點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（       ）A． B． C． D．與共線10．已知正方形ABCD的邊長為1，向量，滿足，，則（       ）A． B．C． D．11．已知向量，將繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到，，的位置，則（       ）A． B．C． D．點(diǎn)坐標(biāo)為12．在中，D在線段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，，則（       ）A． B．△DBC的面積為3C．的周長為 D．為鈍角三角形第II卷（非選擇題）評卷人得分  三、填空題13．已知A、B、C是不共線的三點(diǎn)，向量與向量是平行向量，與是共線向量，則＝________.14．是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使得，則的值為___________.15．如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動(dòng)圓Q的半徑為1，圓心Q在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，P是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量（m，n為實(shí)數(shù)），則m＋n的最大值為______．評卷人得分  四、雙空題16．在中，內(nèi)角所對的邊分別是.若，，則______，面積的最大值為______．評卷人得分  五、解答題17．已知復(fù)數(shù)滿足，為純虛數(shù)．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)設(shè)z，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求△ABC的面積．18．已知向量，．(1)若，求向量與夾角的余弦值；(2)若，求向量的坐標(biāo)．19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，．(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求 t 的值；(2)若為直角三角形，求 t 的值．20．的內(nèi)角的對邊分別為，滿足.（1）求角；（2）若的面積為，，求的周長.21．如圖所示，在△ABO中，，，AD與BC交于點(diǎn)M．設(shè)，． (1)試用向量，表示；(2)在線段AC上取點(diǎn)E，在線段BD上取點(diǎn)F，使EF過點(diǎn)M，設(shè)，，其中，．證明：為定值，并求出該定值．22．如圖，在中，，是角的平分線，且． （1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若，時(shí)，求的面積的最大值及此時(shí)的值．
參考答案：1．C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)的位置，直接計(jì)算長度，即可得解.【詳解】數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別對應(yīng)，則向量的長度即.故選：C．2．B【解析】【詳解】試題分析：設(shè)，因?yàn)閺?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得：，故選B.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.3．B【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，所以.故選：B.4．A【解析】【分析】將代入到，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可得結(jié)果.【詳解】依題意可得，即，所以.故選：A.5．D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積進(jìn)行求解即可.【詳解】.故選：D.6．B【解析】【分析】利用余弦定理求出邊AB，再利用正弦定理計(jì)算作答.【詳解】在中，，而，由正弦定理得：，所以.故選：B7．B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理得到，代入面積公式并根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】由得，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號成立.故選：B8．A【解析】【詳解】因?yàn)?/span>，，所以,.如圖所以，設(shè)，則,,.所以，所以，所以四點(diǎn)共圓.不妨設(shè)為圓M，因?yàn)?/span>,所以.所以,由正弦定理可得的外接圓即圓M的直徑為.所以當(dāng)為圓M的直徑時(shí)，取得最大值4.故選A.點(diǎn)睛:平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決．9．AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量、相等向量的意義逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】因點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，則O是AC中點(diǎn)，即有，A正確；平行四邊形對角線長不一定相等，則與不一定相等，B不正確；點(diǎn)A，O，B不共線，C不正確；平行四邊形ABCD中，，即有與共線，D正確.故選：AD10．BCD【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而可知，然后逐項(xiàng)分析即得.【詳解】∵，，∴，又正方形ABCD的邊長為1，∴，故A錯(cuò)誤；∴，，即，故BC正確；∴，即，故D正確.故選：BCD.11．ABC【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角判斷A，再由全等三角形可判斷B，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義判斷C，根據(jù)向量的模相等判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到，所以與的夾角為，故，A選項(xiàng)正確；由題意知，，所以，即，故B正確；因?yàn)?/span>,,所以由數(shù)量積的定義知，故C正確；若點(diǎn)坐標(biāo)為，則，故D不正確.故選：ABC.12．ABD【解析】【分析】由同角的三角函數(shù)關(guān)系即可判斷A，設(shè)，利用余弦定理及面積公式即可判斷B，利用余弦定理求得，進(jìn)而判斷C，利用余弦定理可判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故A正確；設(shè)，則，在中，，解得，所以，故B正確；因?yàn)?/span>，所以,在中,，解得，所以的周長為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>為最大邊，所以，即為鈍角，所以為鈍角三角形，故D正確.故選：ABD.13．【解析】【分析】依據(jù)向量共線的定義及零向量定義即可求得向量.【詳解】向量與向量是平行向量，則向量與向量方向相同或相反；向量與是共線向量，則向量與向量方向相同或相反，又由A、B、C是不共線的三點(diǎn)，可知向量與向量方向不同且不共線則＝.故答案為：14．【解析】【分析】先由題意，得到，推出，再由，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合題中條件，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，所以，因此，又，是邊長為的等邊三角形，所以.故答案為：15．5【解析】【分析】根據(jù)及得到，根據(jù)平面向量知識得到，利用可求出結(jié)果.【詳解】在邊長為的正六邊形中，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)，等號成立，又，即，當(dāng)時(shí)，是的延長線與圓的交點(diǎn)，此時(shí)，由可知，.因?yàn)?/span>，且，所以 ，所以，結(jié)合圖形可知，，由，得，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，所以，又，時(shí)，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.即m＋n的最大值為.故答案為：.16．     1     【解析】【分析】由正弦定理，結(jié)合，，可求出；由三角形面積公式以及角的范圍，即可求出面積的最大值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以由正弦定理可得，所以;所以，當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最大.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的問題，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解.17．(1)或；(2)1.【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)模的意義、純虛數(shù)的意義列式計(jì)算作答.（2）利用（1）的結(jié)論，求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，求出三角形面積作答.(1)設(shè)（a，），則，依題意，且，而，解得a=1，b=-1或a=-1，b=1，所以或.(2)當(dāng)時(shí)，，，則，，，，點(diǎn)B到邊AC距離為1，則，當(dāng)時(shí)，，，則，，，，點(diǎn)B到邊AC距離為1，，所以△ABC的面積是1.18．(1)；(2)或.【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式即得；（2）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量模長的坐標(biāo)表示即得.(1)由題意，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，∴，即向量與夾角的余弦值為．(2)設(shè)向量，因?yàn)橄蛄?/span>，所以，得，因?yàn)?/span>，所以，所以得或所以或．19．(1)；(2)，，.【解析】【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示即得；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示即得.(1)由題設(shè)知，，因?yàn)槿?/span>A，B，C三點(diǎn)共線，所以，解得；(2)由題設(shè)知，，，則因?yàn)?/span>為直角三角形，當(dāng)∠A為直角，則，得，得，當(dāng)∠B為直角，則，得，得，當(dāng)∠C為直角，則，得，得；所以 t 的值為，，．20．（1）；（2）.【解析】（1）通過正弦定理將邊化為角可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由三角形面積公式易得，結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而得周長.【詳解】解：（1）由正弦定理可得，·，在中，，.又，.（2）..由余弦定理可得.，.的周長為.21．(1)；(2)證明見解析，定值為5.【解析】【分析】（1）設(shè)，由、、三點(diǎn)共線以及、、三點(diǎn)共線可得出關(guān)于與的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)，即可得出關(guān)于、的表達(dá)式；（2）設(shè)，利用向量的減法運(yùn)算可得出，結(jié)合可建立等式，即得.(1)設(shè)，由A，M，D三點(diǎn)共線，可知存在（，且），使得，則，因?yàn)?/span>，所以，由平面向量基本定理得，即，①同理，由B，M，C三點(diǎn)共線，可知存在（，且），使得，則，又，所以，由平面向量基本定理得 即，②由①②得，，故；(2)由于E，M，F三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)（，且）使得，即，于是，又，，所以，由平面向量基本定理得，消去，得，故為定值，該定值為5.22．（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.【解析】【分析】（1）設(shè)，則，利用可得出，由此可求得的取值范圍；（2）由三角形的面積公式可得，利用余弦定理化簡可得，可得出，利用輔助角公式可得出，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得的最大值及其對應(yīng)的，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)，則，其中，由，可得，所以，，即，所以，；（2），可得，由余弦定理可得，所以，，所以，，可得，所以，，，則，由于函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以，隨著的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，由，可得，所以，，則.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理. 

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