高中數(shù)學(xué)講義微專題56 數(shù)列中的整數(shù)問題學(xué)案

這是一份高中數(shù)學(xué)講義微專題56 數(shù)列中的整數(shù)問題學(xué)案，共18頁。學(xué)案主要包含了基礎(chǔ)知識(shí)，典型例題，歷年好題精選等內(nèi)容，歡迎下載使用。
www.ks5u.com第56煉 數(shù)列中的整數(shù)問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、整數(shù)的基本性質(zhì)：（1）整數(shù)的和，差，積仍為整數(shù)（2）整數(shù)的奇偶性：若，則稱為奇數(shù)；若，則稱為偶數(shù)，在加，減，乘法運(yùn)算中，其結(jié)果有以下規(guī)律：① 奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)                        ② 奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)③ 偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)                        ④ 奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)⑤ 偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)                        ⑥ 奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)（3）若，且，則 （4）已知，若，且，則只能取到有限多個(gè)整數(shù)（也有可能無解）（5）若，稱能被整除，則有：① ② 為的一個(gè)因數(shù)（6）最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集，均有一個(gè)最小的自然數(shù)2、整數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：（1）若變量屬于整數(shù)，則利用方程與不等式均可求出變量的值：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若要求得變量的值，通常要依賴方程，而不等式只能解得變量的范圍。但是在整數(shù)范圍內(nèi)，除了方程，在不等式中也可以利用整數(shù)的離散性求出變量的值（即性質(zhì)（4）），例如：若，則的取值只能是。所以在涉及求整數(shù)的值時(shí)，思路不要局限于尋找等量關(guān)系，構(gòu)造不等關(guān)系依然可以求解。（2）整除問題：若表達(dá)式形式較為簡(jiǎn)單，可通過對(duì)常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而確定變量的取值；若表達(dá)式次數(shù)較高，則可以先利用二項(xiàng)式定理去掉高次的項(xiàng)，再進(jìn)行處理。（3）多元整數(shù)不定方程：當(dāng)變量的值為整數(shù)時(shí)，不定方程的解可能有有限多組解。通常的處理方式有兩個(gè)：① 通過對(duì)表達(dá)式進(jìn)行因式分解，對(duì)另一側(cè)的常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而將不定方程拆成多個(gè)方程的方程組，進(jìn)而解出變量② 將一個(gè)字母視為變量（其余視為參數(shù)）并進(jìn)行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進(jìn)而將參數(shù)置于一個(gè)范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散性求得參數(shù)的值（4）反證法：運(yùn)用反證法處理整數(shù)問題時(shí)，常見的矛盾有以下幾點(diǎn)：① 所解得變量非整數(shù)，或不符合已知范圍② 等式兩側(cè)為一奇一偶3、整數(shù)問題通常會(huì)與數(shù)列聯(lián)系起來，其特征就是數(shù)列中項(xiàng)的序數(shù)，以及前項(xiàng)和的項(xiàng)數(shù)，均為正整數(shù)。二、典型例題： 例1：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若為數(shù)列中的項(xiàng)，則____思路：，中的項(xiàng)為大于等于（）的奇數(shù)，所以考慮將向奇數(shù)形式變形：，可得應(yīng)該為大于等于4的偶數(shù)，所以或，解得（舍）或 答案： 小煉有話說：（1）本題的亮點(diǎn)在于對(duì)的變形，在有關(guān)整數(shù)的問題里，通?？蓪?duì)分式進(jìn)行“分離常數(shù)”的變形，從而將復(fù)雜的分式簡(jiǎn)化，并能立刻找到需處理的部分。例如在本題中通過“分離常數(shù)”可迅速將目標(biāo)鎖定在上。（2）本題對(duì)的處理有多個(gè)角度，還可以從分母出發(fā)，觀察到應(yīng)為奇數(shù)，而，而的奇因數(shù)只有和，同樣可確定的值。例2：已知等差數(shù)列 的公差，設(shè)的前項(xiàng)和為 （1）求的通項(xiàng)公式（2）求的值，使得  例3：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）①符合①   （2）思路：按照奇偶分段，所以要確定的奇偶。觀察可發(fā)現(xiàn)無論為何值，均為一奇一偶，所以只需要對(duì)的奇偶進(jìn)行分類討論，解出符合條件的即可解：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)解得：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)解得：（舍）綜上所述：例4：已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列滿足，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第五項(xiàng)起依次成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）求出所有的正整數(shù)，使得 解：（1）設(shè)前6項(xiàng)的公差為，則 成等比數(shù)列， 解得： 時(shí)， ，則   時(shí)， （2）思路：由于數(shù)列分為兩部分，當(dāng)時(shí)，即為公比是的等比數(shù)列，所以考慮對(duì)于數(shù)列的前幾項(xiàng)可進(jìn)行驗(yàn)證，后成等比數(shù)列，從而可進(jìn)行抽象的計(jì)算，看是否能夠找到符合條件的。解：由（1）可得：則當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在，使得則有即：       ，從而無解時(shí)，不存在這樣的，使得綜上所述：或 例5：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，（）.（1）求，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在整數(shù)對(duì)，使得等式成立？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）在中，令，得： 再令，得：（2）由 ①，可得：②①②可得： 從第二項(xiàng)開始成等比關(guān)系，公比為 而符合上式 （3）思路：所成立的等式為，考慮將進(jìn)行分離得到：，再利用為整數(shù)可得為整數(shù)，從而求出符合條件的，再求出。解：由（2）得： 且  只需，即經(jīng)計(jì)算可得：時(shí)， 解得： 共有三組符合題意： 小煉有話說：（1）在第（2）問中，要注意的取值范圍變化，并且要把所能取到的最小值代入到遞推公式中以了解遞推公式從第幾項(xiàng)開始滿足。（2）二元不定方程在求解時(shí)，參變分離是一種方式，通過變形讓兩變量分居不等號(hào)的兩側(cè)，這樣可以以一側(cè)作為突破口（比如本題中的整除問題），來求得變量的解例6：已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且滿足，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及    （2）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：（1）         且 （2）思路：先假定存在滿足條件的，則由可得，無法直接得到不等關(guān)系，考慮變形等式：，分離參數(shù)可得：，以為突破口可解出的范圍，從而確定的值后即可求出 解：假設(shè)存在，則 即 即解得： ，代入可得：，解得： 存在，使得成等比數(shù)列例7：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求，并確定最小正整數(shù)，使得為整數(shù)解：（1）是公比為2的等比數(shù)列（2）思路：由（1）可得，的通項(xiàng)公式可求但是比較復(fù)雜，不利于求出，但觀察發(fā)現(xiàn)可將中的項(xiàng)重新組合，進(jìn)而能夠和找到聯(lián)系。，求和可得，若為整數(shù)，則能被整除，而，考慮可將寫成，通過二項(xiàng)式定理展開并找到最小的正整數(shù)解：                              若為整數(shù)，因?yàn)?/span>  即        能被整除 所以可得時(shí)，能被整除的最小值是 例8：已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若（1）求（2）對(duì)，將中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為① 求② 記，的前項(xiàng)和記為，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）設(shè)的公差為  解得：   （2）①        ② 思路：由①可得：，，則所解方程變形為：，得到關(guān)于的不定方程，可考慮對(duì)進(jìn)行變量分離，以等式左右邊的符號(hào)作為突破口（左邊為正數(shù)），得到，即，然后代入解出符合條件的即可解：由①可得：由可得：   時(shí)，解得：（舍）時(shí)，解得：（舍）時(shí)，解得：存在這樣的，滿足所給方程小煉有話說：1、本題中②的方程，并沒有在一開始就將代入，否則運(yùn)算會(huì)復(fù)雜的多，所采取的策略為先化簡(jiǎn)變形，變形完成之后再代入?？珊?jiǎn)化不必要的運(yùn)算2、本題在解的不定方程所用的方法為變量分離法，將兩個(gè)只含某一字母的式子用等號(hào)連接，則兩邊式子的范圍應(yīng)當(dāng)一致。以其中一個(gè)式子作為突破口（比如），再結(jié)合變量必須取整數(shù)的條件，便可用不等關(guān)系將變量所能取的值確定下來。例9：已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且對(duì)任意的，都有： ，若，則：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）試探究：數(shù)列中是否存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它項(xiàng)的和？若存在，請(qǐng)求出該項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）    ①           ②①②可得： 令，則 令，則 令，則 所以有：，解得： （2）思路：首先要把命題翻譯為等式，將其他項(xiàng)可設(shè)為，設(shè)存在某項(xiàng)，則，設(shè)，則同除以，就會(huì)出現(xiàn)左右兩側(cè)奇偶不同，從而假設(shè)不成立解：假設(shè)存在某項(xiàng)及數(shù)列中的其他項(xiàng)，所以 兩邊同時(shí)除以可得：，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)。所以等式不成立所以不存在這樣的項(xiàng)小煉有話說：（1）通過本題要學(xué)會(huì)如何表示數(shù)列中某一串項(xiàng)：如果是相鄰項(xiàng)，則可表示為：，如果不一定相鄰，則可用作角標(biāo)，其中體現(xiàn)出這一串項(xiàng)所成數(shù)列中項(xiàng)的序數(shù)，而表示該項(xiàng)在原數(shù)列中的序數(shù)（2）本題還有一個(gè)矛盾點(diǎn)：題目中的項(xiàng)不一定為相鄰項(xiàng)，但是可通過放縮將右邊的項(xiàng)補(bǔ)全，變?yōu)閺?/span> 一直加到 ，即。則①，由整數(shù)性質(zhì)可得，所以，與①矛盾，所以不存在。例10：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，其中均為大于1的正整數(shù)，且，對(duì)于任意的，均存在，使得成立，則____________思路：本題的關(guān)鍵是求出，已知均為大于1的正整數(shù)，所以考慮從兩個(gè)不等關(guān)系入手嘗試求的值或范圍：，所以，從而根據(jù)不等號(hào)方向可得： 解得：，所以，從而，代入可得：，因?yàn)?/span>，所以（舍）或。所以成立，所以， 答案：三、歷年好題精選1、（2014，山東師大附中五模）用部分自然數(shù)構(gòu)造如圖的數(shù)表：用表示第行第個(gè)數(shù)（），使得，每行中的其他各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和，設(shè)第行中的各數(shù)之和為（1）寫出，并寫出與的遞推關(guān)系（不要求證明）（2）令，證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式（3）數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列？若存在，求出的關(guān)系，若不存在，說明理由2、（2016，泰州一模）已知數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．  （1）若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的條件下，設(shè)，求證：數(shù)列中的任意一項(xiàng)總可以表示成該數(shù)列其他兩項(xiàng)之積3、已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若，求正整數(shù)的值（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列中的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的值，若不存在，說明理由4、（2016，無錫輔仁高中12月月測(cè)）已知數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)于任意給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，試用表示；若不存在，請(qǐng)說明理由             習(xí)題答案：1、解析：（1）猜想（2）   是等比數(shù)列，（3）由（2）可得：若為等差數(shù)列則不妨設(shè)為最小的數(shù)，則，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，顯然不成立不存在符合要求的2、解析：（1）因?yàn)?/span>（2）若，則兩式相減可得：時(shí)，為等差數(shù)列可得：，因?yàn)?/span>   （3）由（2）得 ，對(duì)于給定的，若存在，使得，只需，     即，即，則，     …………12分取，則，  ∴對(duì)數(shù)列中的任意一項(xiàng)，都存在和使得3、解析：（1）設(shè)的公差為，設(shè)的公比為由（2）若，則，即解得：，即若，即因?yàn)?/span>為正整數(shù)為正整數(shù)   代入可知不符，故舍去綜上所述：（3）若為中的一項(xiàng)，則為正整數(shù)     故若為中的某一項(xiàng)只能為① 若無解② 若，即，可知是方程的根當(dāng)時(shí)，設(shè)     在單調(diào)遞增   在單調(diào)遞增時(shí)，無解，即是方程唯一解③ 若，則綜上所述：或4、解析：（1），即是公差為的等差數(shù)列    即（2）由（1）及可得：當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列   即         不成立當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，同理可得：設(shè)，此時(shí)  ，符合題意綜上所述：時(shí)，不存在滿足條件的時(shí)，存在，