2020-2021學年廣東省深圳中學高一上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．函數(shù)是（       ）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】A【分析】由題可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】∵函數(shù)，∴函數(shù)為最小正周期為的奇函數(shù).故選：A.2．（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩角和的正弦公式和誘導公式，即可求出結果.【詳解】，由兩角和的正弦公式，可知故答案為：C3．容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按從小到大的順序分為8組，如下表：組號12345678頻數(shù)1013141513129 第3組的頻數(shù)和頻率分別是（       ）A．和14 B．14和 C．和24 D．24和【答案】B【分析】根據(jù)樣本容量和其它各組的頻數(shù)，即可求得答案.【詳解】由題意可得：第3組的頻數(shù)為 ，故第3組的頻率為 ，故選：B4．函數(shù)的零點的個數(shù)為 A． B． C． D．【答案】B【分析】略【詳解】因為函數(shù)單調(diào)遞增，且x=3,y>0,x=1,y<0，所以零點個數(shù)為15．在某次測量中得到的樣本數(shù)據(jù)如下：.若樣本數(shù)據(jù)恰好是樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù)，則兩樣本的下列數(shù)字特征對應相同的是（       ）A．眾數(shù) B．平均數(shù) C．標準差 D．中位數(shù)【答案】C【分析】分別求兩個樣本的數(shù)字特征，再判斷選項.【詳解】A樣本數(shù)據(jù)是：，樣本數(shù)據(jù)是：，A樣本的眾數(shù)是48，B樣本的眾數(shù)是50，故A錯；A樣本的平均數(shù)是 ，B樣本的平均數(shù)是，故B錯；A樣本的標準差 B樣本的標準差， ，故C正確；A樣本的中位數(shù)是，B樣本的中位數(shù)是，故D錯.故選：C6．四個函數(shù)：①；②；③；④的圖象(部分)如下，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應的函數(shù)序號安排正確的一組是（       ）   A．④①②③ B．①④②③ C．③④②① D．①④③②【答案】B【解析】根據(jù)各個函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的符號，判斷函數(shù)的圖象特征，即可得到．【詳解】解：①為偶函數(shù)，它的圖象關于軸對稱，故第一個圖象即是；②為奇函數(shù)，它的圖象關于原點對稱，它在上的值為正數(shù)，在上的值為負數(shù)，故第三個圖象滿足；③為奇函數(shù)，當時，，故第四個圖象滿足；④，為非奇非偶函數(shù)，故它的圖象沒有對稱性，故第二個圖象滿足，故選：B．【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.7．若函數(shù) 滿足且的最小值為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A． B．C． D．【答案】D【詳解】分析：首先根據(jù)誘導公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，之后應用題的條件求得函數(shù)的最小正周期，求得的值，從而求得函數(shù)解析式，之后利用整體思維，借助于正弦型函數(shù)的解題思路，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.詳解：，根據(jù)題中條件滿足 且的最小值為，所以有，所以，從而有，令，整理得，從而求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選D.點睛：該題考查的是有關三角函數(shù)的綜合問題，涉及到的知識點有誘導公式、輔助角公式、函數(shù)的周期以及正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，在結題的過程中，需要對各個知識點要熟記，解題方法要明確.8．已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，則正實數(shù)的取值范圍是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】將零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，通過對參數(shù)討論作圖可解.【詳解】在區(qū)間上有且只有一個零點在區(qū)間上有且只有一個解，即在區(qū)間上有且只有一個解令，，當，即時，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增且，，由圖1知，此時函數(shù)與在上只有一個交點；當，即時，因為，所以要使函數(shù)與在上有且只有一個交點，由圖2知，即，解得或（舍去）.綜上，的取值范圍為.故選：D二、多選題9．已知函數(shù)，若，則的值可能為（       ）A．1 B． C．10 D．【答案】AD【分析】首先求得，再討論的取值，解方程即可求解.【詳解】，因為，所以，當時，，解得：，當時，，解得：，故選：AD10．已知角是第一象限角，則角可能在以下哪個象限（       ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ABC【分析】由所在的象限求出的范圍，再求出的范圍，最后對分類討論，即可判斷；【詳解】解：因為角是第一象限角，所以，，所以，， 當，時，，，位于第一象限，當，時，，，位于第二象限，當，時，，，位于第三象限，綜上可得位于第一、二、三象限；故選：ABC11．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象所有點（       ）A．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度C．向左平移個單位長度，再把所得圖象各點橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）D．向左平移個單位長度，再把所得圖象各點橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）【答案】BC【分析】利用三角函數(shù)圖象變化規(guī)律，即可判斷選項.【詳解】的圖象，首先橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得， 再將所得圖象向左平移個單位長度，得的圖象；的圖象，首先向左平移個單位長度，得，再把所得圖象各點橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變，得的圖象.故選：BC12．定義行列式，若函數(shù)，則下列表述錯誤的是（       ）A．的圖象關于點中心對稱B．的圖象關于直線對稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．是最小正周期為的奇函數(shù)【答案】ABD【分析】首先化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項.【詳解】由題中所給定義可知，A.，故A錯誤；B.，故B錯誤；C.時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故C正確；D.，但，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：ABD三、填空題13．半徑為2cm，圓心角為的扇形面積為         .【答案】【分析】求出扇形的弧長,利用扇形面積公式求解即可.【詳解】因為半徑為,圓心角為的扇形,弧長為,所以扇形面積為: 故答案為.【點睛】本題考查扇形的面積公式的應用,考查計算能力，屬于基礎題.14．數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是__________.【答案】16【分析】第50百分位數(shù)為數(shù)據(jù)的中位數(shù),即得.【詳解】數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)，即為數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故答案為：16.15．已知，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是__________.【答案】9【分析】利用求的最小值即可.【詳解】，當且僅當a＝b＝時取等號，不等式恒成立，則m≤9，故m的最大值為9.故答案為：9.16．函數(shù)的值域是__________.【答案】【分析】首先換元，再利用三角變換，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關于的二次函數(shù)，再求值域.【詳解】設，因為，所以，則，，當時，函數(shù)取得最小值，當時，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)的值域是 故答案為：四、解答題17．在平面直角坐標系中，已知角的頁點為原點，始邊為軸的非負半軸，終邊經(jīng)過點.(1)求的值；(2)求旳值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得的值，再利用誘導公式結合同角的三角函數(shù)關系化簡可得結果；（2）利用二倍角的余弦公式可直接求得答案.【詳解】(1)由角的終邊經(jīng)過點，可得 ， ，故；(2).18．已知集合，集合，集合.(1)求；(2)若，求實數(shù)的值取范圍.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合、，即可求出；（2）由，可知，得到不等式組，即得.【詳解】(1)∵，， ，或， ∴或；(2)∵，，由，得，，解得，∴實數(shù)的值取范圍為.19．從某小學隨機抽取100多學生，將他們的身高（單位：）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.(1)求直方圖中的值；(2)試估計該小學學生的平均身高；(3)若要從身高在三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法選取24人參加一項活動，則從身高在內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為多少人？【答案】(1)(2)(3)4人【分析】（1）根據(jù)頻率和為1，求出的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，計算平均數(shù)即可． （3）根據(jù)分層抽樣方法特點，計算出總?cè)藬?shù)以及應抽取的人數(shù)比即可；【詳解】(1)解：因為直方圖中的各個矩形的面積之和為1，所以有，解得；(2)解：根據(jù)頻率分布直方圖，計算平均數(shù)為(3)解：由直方圖知，三個區(qū)域內(nèi)的學生總數(shù)為人，其中身高在內(nèi)的學生人數(shù)為人，所以從身高在范圍內(nèi)抽取的學生人數(shù)為人；20．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中.(1)求的值；(2)若角是的一個內(nèi)角，且，求的值.【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）根據(jù)圖象的特征，列式確定的值；（2）根據(jù)（1）的結果，代入解析式，得，結合同角三角函數(shù)基本關系式，即可求解.【詳解】(1)由圖象可知， ，解得：，，，解得：，當時，，得，因為，所以，綜上可知，，，，；(2)由（1）可知，，即,因為，解得：21．設函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的值域；(2)若，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的最大值.【答案】(1)(2)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(3)【分析】（1）首先化簡函數(shù)，再求函數(shù)的值域；（2）利用代入法，求的范圍，再結合函數(shù)的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的單調(diào)性；（3）由（1）可知，，首先求的范圍，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求的最大值.【詳解】(1) ，所以函數(shù)的值域是；(2)時，，當，，當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；(3)若，則， 若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則，解得：，所以的最大值是.22．已知函數(shù)，其中.(1)若對任意實數(shù)，恒有，求的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，使得且？若存在，則求的取值范圍；若不存在，則加以證明.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】(1)首先求出在上的最大值，問題轉(zhuǎn)化為對任意成立，然后化簡不等式，參變分離構造即可.(2)分a＞0和a＜0兩種情況討論，去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為解不等式的問題.【詳解】(1)，，，∴，∴原問題對任意成立，即對任意成立，即對任意成立，∴.故a的范圍是：.(2)①，，∵，∴，∴不等式變?yōu)?/span>，∴；(2)，，∵，∴此時無解.綜上所述，存在滿足題意. 

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