2021-2022學(xué)年江西省撫州市臨川第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則集合（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出集合A、B，即可求出.【詳解】集合或，，所以.故選：D2．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（       ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由已知等量關(guān)系，應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法可得，即可得共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)而確定虛部.【詳解】由題設(shè)，，則，所以的虛部為.故選：B3．“”是“過點(diǎn)有兩條直線與圓相切”的（       ）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由已知在外，求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得答案.【詳解】由已知，在圓外，則，解得，所以“”是“過點(diǎn)有兩條直線與圓相切”的必要不充分條件，故選：C4．若，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角正弦公式，將已知等式兩邊平方得，再由誘導(dǎo)公式即可求.【詳解】由題設(shè)，，所以.故選：B5．已知是正實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值為（       ）A． B．9 C． D．2【答案】B【分析】將代入，得到，的關(guān)系式，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最小值即可．【詳解】由函數(shù)的圖象經(jīng)過，則，即．，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號．故選：B．6．觀察下列各式：，，則的個位數(shù)字是（       ）A．3 B．9 C．7 D．1【答案】B【分析】個位數(shù)出現(xiàn)順序?yàn)?/span>，且周期為4，即可確定的個位數(shù)字.【詳解】由題設(shè)，個位數(shù)出現(xiàn)順序?yàn)?/span>，且周期為4，所以，即的個位數(shù)字與相同.故選：B7．已知函數(shù)，則其大致圖象是下列圖中的（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除AD，接著比較選項(xiàng)BD得到只需判斷函數(shù)與直線在時交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小即可，最后結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>定義域?yàn)?/span>，又，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故排除AD，結(jié)合選項(xiàng)BD，只需求解函數(shù)與直線在時交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，令，，解得即，當(dāng)時，，所以函數(shù)與直線在時的第一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，結(jié)合函數(shù)圖象可知，選項(xiàng)C符合題意，故選：C.8．某校舉辦“中華魂”《中國夢》主題演講比賽．聘請7名評委為選手評分，評分規(guī)則是去掉一個最高分和一個最低分，再求平均分為選手的最終得分現(xiàn)評委為選手趙剛的評分從低到高依次為，，……，，具體分?jǐn)?shù)如圖1的莖葉圖所示，圖2的程序框圖是統(tǒng)計選手最終得分的一個算法流程圖，則圖中空白處及輸出的S分別為（       ）A．，86 B．，87 C．，87 D．，86【答案】C【分析】模擬程序的運(yùn)行過程，該程序運(yùn)行后是計算5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此求出對應(yīng)的結(jié)果.【詳解】模擬程序的運(yùn)行過程知，該程序運(yùn)行后是計算5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以i>5，由5個數(shù)據(jù)分別是78、86、85、92、94，計算平均數(shù)為故選：C9．垃圾分類是保護(hù)環(huán)境，改善人居環(huán)境?促進(jìn)城市精細(xì)化管理?保障可持續(xù)發(fā)展的重要舉措.某小區(qū)為了倡導(dǎo)居民對生活垃圾進(jìn)行分類，對垃圾分類后處理垃圾（千克）所需的費(fèi)用（角）的情況作了調(diào)研，并統(tǒng)計得到下表中幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，同時用最小二乘法得到關(guān)于的線性回歸方程為，則下列說法錯誤的是（       ）A．變量、之間呈正相關(guān)關(guān)系 B．可以預(yù)測當(dāng)時，的值為C． D．由表格中數(shù)據(jù)知樣本中心點(diǎn)為【答案】C【分析】利用回歸直線方程可判斷A選項(xiàng)；將代入回歸直線方程可判斷B選項(xiàng)；計算出樣本的中心點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合平均數(shù)公式可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)榛貧w直線方程，故變量、之間呈正相關(guān)關(guān)系，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，B對；對于CD選項(xiàng)，，則，故樣本的中心點(diǎn)的坐標(biāo)為，另一方面，，解得，C錯D對.故選：C.10．已知是2與8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率等于（       ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由等比中項(xiàng)定義求得，根據(jù)的取值確定曲線是橢圓還是雙曲線，然后計算離心率．【詳解】由已知，，當(dāng)時，方程為，曲線為橢圓， ，，離心率為；當(dāng)時，方程為，曲線為雙曲線，，，離心率為．故選：C．11．如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（       ）A．72 B．64 C．56 D．32【答案】A【分析】先根據(jù)三視圖還原幾何體，然后求解幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖可推理得知該幾何體是一個長方體中挖去了一個正四棱錐剩下的幾何體，還原成直觀圖如圖：故該幾何體的體積為.故選：A.12．已知函數(shù)，若，成立，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將不等式變形為，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)區(qū)間，討論、，綜合運(yùn)用參變分離法、構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立，求參數(shù)范圍．【詳解】因?yàn)?/span>，得，整理得：，設(shè)，則，在上，遞增，當(dāng)時，，而原不等式等價于，若時，，則，即在上恒成立，由且，則，即遞增，故，則，所以；當(dāng)時，在時，，滿足題設(shè)，綜上，的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，并討論參數(shù)a研究不等式恒成立問題. 二、填空題13．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，___________．【答案】【分析】因是定義在上的奇函數(shù)，所以，從而可求，再由奇函數(shù)的定義即可求出的值.【詳解】解：是定義在上的奇函數(shù)，又當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，故答案為：.14．已知向量和的夾角為150°，且，，則在上的投影為___________.【答案】或或【分析】對兩邊平方化簡，求出，再利用數(shù)量積的幾何意義可求得結(jié)果【詳解】由，得，因?yàn)橄蛄?/span>和的夾角為150°，且，所以，得，，所以或，當(dāng)時，在上的投影為，當(dāng)時，在上的投影為，綜上，在上的投影為或，故答案為：或15．在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率為_______．【答案】【分析】由題設(shè)列不等式組，畫出對應(yīng)的可行域，應(yīng)用幾何概型—面積型求兩數(shù)之和小于的概率即可.【詳解】由題設(shè)，令，可得如下圖示的對應(yīng)可行域，要求兩數(shù)之和小于的概率，即求陰影部分面積占邊長為1的正方形面積的比例即可.而直線過，，則陰影部分面積，所以兩數(shù)之和小于的概率為.故答案為：.16．如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點(diǎn)，從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測得．已知山高，則山高__________．【答案】150【詳解】試題分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案為150．【解析】正弦定理的應(yīng)用． 三、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系：xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)點(diǎn)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的普通方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）化簡曲線C的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程得到，求得，，得到，分別求得的值，得出直線的參數(shù)方程，進(jìn)而求得直線的普通方程．【詳解】(1)解：由曲線C的極坐標(biāo)方程為，可得，根據(jù)，可得，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程.(2)解：將直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)，），代入曲線的方程，整理得，設(shè)A，B所對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，所以，因?yàn)?/span>，所以，，故直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）或（t為參數(shù)），所以直線l的普通方程為或．18．2022年2月4日，第24屆冬奧會在中國北京和張家口舉行．冬奧會閉幕后，某學(xué)校體育社團(tuán)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對其是否收看冬奧會進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下： 收看沒收看男生8020女生6040(1)根據(jù)上表說明，能否有99.5％的把握認(rèn)為，是否收看冬奧會與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了冬奧會的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取7人參加冰雪運(yùn)動志愿宣傳活動．若從這7人中隨機(jī)選取2人，求選取的2人中有1名男生1名女生的概率．附：，其中．0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)有，理由見解析；(2).【分析】(1)根據(jù)公式計算出即可判斷；(2)先求出選取的7人中，男生的人數(shù)和女生的人數(shù)，再將男女生編號，采用列舉法求概率即可.【詳解】(1)∵，∴有99.5％的把握認(rèn)為“是否收看冬奧會”與性別有關(guān).(2)采用按性別分層抽樣的方法，選取7人，則男生有人，女生有7－4＝3人，男生4人編號為a、b、c、d，女生3人編號為1、2、3，則從這7人里面選取2人有如下21種可能組合：，，，，12，13，23，其中有1名男生1名女生的組合有12種，故所求概率為：.19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，對任意的數(shù)列滿足（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可求出，再根據(jù)求出，進(jìn)而根據(jù)可求出；（2）根據(jù)，利用裂項(xiàng)求和法可求出，再利用單調(diào)性可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，，所以，得，所以，所以.（2）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>為單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)時，取得最小值，又，所以的取值范圍是.20．如圖，四邊形為正方形，若平面，，，．(1)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面，請說明理由；(2)求多面體的體積．【答案】(1)存在，理由見解析；(2).【分析】（1）在線段上取一點(diǎn)，使得，可證明四邊形是矩形，所以，由面面垂直的性質(zhì)定理可得面，，再由線面垂直的判定定理可得面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）將多面體分割為四棱錐和三棱錐，由錐體的體積公式計算即可求解.【詳解】(1)存在這樣的點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，使平面平面，證明如下：在線段上取一點(diǎn)，使得，因?yàn)?/span>，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以四邊形是平行四邊形，又因?yàn)?/span>，所以四邊形是矩形，所以，因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，面，所以面，因?yàn)?/span>平面，所以，因?yàn)?/span>，所以面，因?yàn)?/span>面，所以平面平面.(2)在中，，，可求得，，在中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，，面，所以面，所以即為四棱錐的高， 所以，所以，，所以多面體的體積為．21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)M在橢圓C上移動，的周長為.(1)求橢圓C的方程；(2)若A，B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為直線上的動點(diǎn)，連接AP交橢圓于點(diǎn)Q（異于點(diǎn)A）.判斷是否為定值，若是，求出該定值；若否，請說明理由.【答案】(1)(2)是，4【分析】（1）由離心率及的周長列出方程組，解出與，進(jìn)而求出橢圓方程；（2）設(shè)出，表達(dá)出直線，聯(lián)立橢圓方程，表達(dá)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，計算出為4，得到答案.【詳解】(1)由題意得：離心率，由橢圓定義可得：的周長為，解得：，，則.∴橢圓方程為.(2)，，設(shè)，，則，，，則直線，即，聯(lián)立，得，∵，∴，，∴，，∴.所以為定值4.22．已知函數(shù)在處的切線方程是．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)如果且．求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程列出相應(yīng)的方程組，即可求得m,n的值，繼而根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得答案；（2）將要證明的不等式進(jìn)行變式，分情況考慮，① ；②，①可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解決，②要根據(jù)所給條件將展開，然后根據(jù)其展開的式子特點(diǎn)構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，加以解決.【詳解】(1)由得：，而函數(shù)在處的切線方程是，故，，聯(lián)立解得 ，故， ，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故 ，即，所以在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，即的單調(diào)減區(qū)間為 ，無單調(diào)增區(qū)間；(2)證明:由（1）可知，因?yàn)?/span>且，不妨設(shè)，那么與1的大小關(guān)系有兩種：① ；②，對于①，由（1）知：在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，所以，，所以；對于②，由得：，故，所以=，由知：，設(shè)，則，而，所以，即有是單調(diào)減函數(shù)，故，即，故，即.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用以及和導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式的證明問題，綜合性較強(qiáng)，解答這類題的關(guān)鍵是要將不等式進(jìn)行合理的變式，然后構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性以及求其最值，因此，如何合理的變形是問題突破的重要環(huán)節(jié)，這就要觀察不等式的特點(diǎn)，其中所含有的是何種樣式的函數(shù)，據(jù)此靈活應(yīng)變才可解決問題.

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